Лекция "Определение производной. Дифференцируемость функции. Правила дифференцирования. Производные основных функций. Производная сложной функции"

Производной функции f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Производная обозначается (x₀).

Е
сли (x₀) существует, то говорят, что функция f (x) дифференцируема в точке x₀.

Теорема. Если функция f(x) дифференцируема в точке x₀, то она непрерывна в этой точке.

Замечание. Если в точке x₀ функция f (x) непрерывна, то в этой точке функция может и не иметь производной.

Угловой коэффициент касательной к графику y = f (x) в точке с абсциссой x₀ равен производной функции f(x) в точке x₀: (x₀) = k = tg

В этом состоит геометрический смысл производной. Очевидно, что уравнение касательной M₀K имеет вид: y – f (x₀) = (x₀)(x – x₀).

Производная от пути S = f(t) в момент времени t₀ есть скорость в момент времени t₀. Производная от скорости есть ускорение. В этом состоит физический смысл производной.

Основные правила дифференцирования

Теорема 1. Если функции u (x), v (x) дифференцируемы в точке x, то их сумма дифференцируема в этой точке, причем

(u(x) + v(x))' = u'(x)+v'(x).

Теорема 2. Если функции u(x), v(x) дифференцируемы в точке x, то их произведение дифференцируемо в этой точке, причем

(u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

Теорема 3. Если функции u(x), v(x) дифференцируемы в точке x и v(x) 0, то их частное дифференцируемо в этой точке, причем:

Таблица производных:

Сложная функция: Элементарная функция:

1)    1) 

2)    2)   

3)    3) 

4)    4) 

5   5 

6    6     

7    7 

8    8   

9    9 

10    10 

11    11      

Теорема 4 Производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента.

Контрольные вопросы:

1. Что такое производная функции в точке?

2. В чем геометрический смысл производной?

3. В чем физический смысл производной?

4. Каковы основные правила дифференцирования?

5. Как найти производную сложной функции?