Лекция "Понятие события и вероятности события. Достоверные и невозможные события. Теорема сложения вероятностей. Теорема умножения вероятностей. Случайная величина. Дискретная и непрерывная случайные величины"

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений и событий, способных многократно повторяться при воспроизведении определенного комплекса условий.

Испытание – неопределяемое понятие, понимается как наблюдение того или иного явления. Событие – возможный исход того или иного испытания.

Определение1:Результат наблюдения или эксперимента, который при данном испытании может произойти, а может и не произойти, называется случайным событием.

Определение2:Событие, которое обязательно наступает при каждом испытании, называется достоверным.

Определение3:Событие, которое заведомо не может произойти, называется невозможным.

Определение4:Два события называются равносильными, если при каждом испытании они либо оба наступают, либо оба не наступают.

Определение5:События, которые не могут произойти одновременно в результате испытания, называются несовместными.

Определение6: Под множеством элементарных событий задачи понимают полное множество взаимоисключающих исходов эксперимента.

Пример: 1) Пусть эксперимент состоит в подбрасывании монеты. Два элементарных события: «выпадание орла» и «выпадание решки».

2) Пусть эксперимент состоит в подбрасывании кости. Шесть элементарных событий: выпадание единицы на верхней грани кости, выпадание двойки, тройки и т.д…

Определение7 (классическое определение вероятности): Вероятностью события называется число, равное отношению числа исходов испытания, благоприятствующих событию (m) к числу всевозможных исходов испытания (n). 

Обозначается: P(A)=   , P – вероятность случайного события, A – само событие.

Примеры:

1) Пусть эксперимент состоит в подбрасывании монеты. Два элементарных события: «выпадание орла» и «выпадание решки», значит n=2. Тогда вероятность события-«выпадание орла» равна P(A)=   , где m=1.

2) Пусть эксперимент состоит в подбрасывании кости. Шесть элементарных событий: выпадание единицы на верхней грани кости, и т.д… Вероятность события «выпадание шести очков на грани кости» равна P(A)=   , где m=1.

Определение 8. Событие (А и B), т. е. событие, состоящее в наступлении обоих событий А и B, называется произведением событий А и B и обозначается через АB

Определение 9. Событие (А или B), т. е. событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А и B, называется суммой событий А и B и обозначается через А+B

Теорема сложения вероятностей (для попарно несовместимых событий): вероятность того, что произойдет хотя бы одно из попарно несовместимых событий, равна сумме вероятностей этих событий P(A+B+ C) = P(A) + P(B) + P(C).

Теорема произведения вероятностей (для попарно независимых событий):  вероятность того, что произойдут одновременно независимые события, равна произведению вероятностей P(A•B) = P(A) • P(B).

Задача 1.В двух коробках лежат карандаши.В первой коробке – 4 синих и 3 красных карандаша. Во второй коробке – 2 синих, 2 красных. Одновременно из двух коробок извлекают по одному карандашу. Найти вероятность того, что оба карандаша окажутся красными.

Решение: Пусть А- событие, что вынут красный карандаш из первой коробки. По классическому определению вероятности P(A)=   , где m=3, так как благоприятных исхода 3- в первой коробке 3 красных карандаша, а всего карандашей 7, значит n=7. Пусть В – событие, что вынут красный карандаш из второй коробки. Аналогично, P(В)=   . Тогда по теореме произведения вероятностей, так как события происходят одновременно P(A•B) = P(A) • P(B) =   .

Случайная величина - величина, которая при каж­дом испытании прини­мает то или иное числовое значение (на­перед неизвестно, какое именно), зависящее от случайных при­чин, которые заранее не могут быть учтены. Случайные величины обозначают за­главными буквами латинского алфавита, а возможные значе­ния случайной величины – малыми. Так, при бросании игрального кубика проис­ходит событие, связанное с числом x , где x – выпавшее число очков. Число очков – случайная величина, а числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 – возможные значе­ния этой величины. Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия – тоже случайная величина (зависит от установки при­цела, силы и направления ветра, температуры и других факто­ров), а возможные значения этой величины принадлежат неко­торому промежутку (a; b).

Дискретная случайная величина – случайная величина, которая принимает отдельные, изо­лированные возмож­ные значения с определенными вероятно­стями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным и бесконечным.

Непрерывная случайная величина – случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного проме­жутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины – беско­нечно.

Например, число выпавших очков при бросании кубика, балльная оценка за кон­трольную работу – дискретные случайные величины; рас­стояние, которое пролетает снаряд при стрельбе из орудия, по­грешность измерений показателя времени усвоения учебного мате­риала, рост и вес человека – непрерывные случайные величины.

Раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненным тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов называется комбинаторикой.

Правило суммы: если элемент   можно выбрать   различными способами и независимо от него элемент   можно выбрать   различными способами, то выбрать все различные комбинации элементов «  или  » можно сделать   способами.

Правило произведения: если элемент   можно выбрать   различными способами и независимо от него элемент   можно выбрать   различными способами, то все различные комбинации элементов «  и  » можно выбрать   способами.

Правила суммы и произведения естественным образом обобщаются и на случай комбинаций многих элементов, а именно, если первый элемент совокупности из   различных элементов можно выбрать   способами, второй —   способами и так далее,  -й элемент —  способами, то всевозможных комбинаций соответственно   и  . 

Произведение   первых натуральных чисел называется n-факториал и обозначается n!; По определению:  .

Перестановки без повторений

Перестановки в ряд

Перестановкой из   элементов (или  -перестановкой) называется  -элементное упорядоченное множество, составленное из элементов  -элементного множества.

Иначе: Перестановкой из   элементов (или  -перестановкой) называется размещение из  элементов по   без повторений.

Число перестановок из   элементов без повторений обозначается   от французского слова perturbation.

Теорема: число способов расположить в ряд   различных объектов есть

Замечание: Рекуррентная формула:  .

Перестановки симметричных объектов

 различных предметов можно расположить по кругу   способами, а если их можно еще и переворачивать, то   различными способами.

Размещения без повторений

Подсчитаем количество способов расположить   различных элементов по   различным позициям ( ). Такие расположения называются размещениями, а их количество, от французского слова arrangement обозначается  . В случае, если   количество предметов совпадает с количеством имеющихся мест, и это уже изученная задача о числе перестановок.

Если из   объектов выбирают   штук, то число выборов последнего объекта есть  невыбранных объектов, что означает наличие   возможности выбора последнего выбранного объекта. То же, другими словами: после выбора первых   элемента остается выбрать   элемент.

Теорема: число размещений   различных элементов по   различным позициям есть

,

или, в терминах факториалов,

.

Примечание: заметим, что в случае, когда число мест, по которым размещают предметы, совпадает с количеством самих предметов, т. е. когда  , рассматриваемая задача становится задачей о числе перестановок. В нашем случае при этом мы получаем в знаменателе дроби ноль факториал, и для того, что бы разные формулы, соответствующие одной и той же задаче, приводили к одинаковым результатам, полагают, что  .

Сочетания

Подсчитаем количество способов, которыми можно выбрать   из   различных предметов. Такие выборки называются сочетаниями, а их количество обозначается  .

При  , выбрать k предметов из n можно   способами, переставляя их   способами:

.

Рекуррентная формула:  .

Свойства сочетаний:  ; .

Перестановки с повторениями

Пусть даны   элементов первого типа,   — второго типа, ...,   —  -го типа, всего  элементов. Способы разместить их по   различным местам называются перестановками с повторениями. Их количество обозначается  .

Теорема: число перестановок с повторениями есть

.

Размещения с повторениями

Пусть даны   различных видов предметов, которые можно разместить по   различным местам, причем выбирать предметы можно с повторениями (т.е. можно выбрать несколько предметов одного вида). Такие выборки называются размещениями с повторениями, а их количество вычисляется по формуле:  .

Сочетания с повторениями

Пусть имеются предметы   различных видов предметов, и из них составляются наборы, содержащие   элементов. Такие выборки называются сочетаниями с повторением. Их число обозначается  .

Теорема: число сочетаний с повторениями может быть вычислено по формулам:

.

Контрольные вопросы:

1. Что изучает теория вероятностей?

2. Что такое испытание? Событие?

3. Какое событие называется случайным? Достоверным? Невозможным?

4. Какие события называются равносильными? Несовместными?

5. Как звучит классическое определение вероятности события?

6. Какие теоремы вероятностей вам известны? Сф1ормулируйте их

7. Какая величина называется случайной? Дискретной? Непрерывной?

8. Что изучает комбинаторика?

9. Что такое перестановка? Размещение? Сочетание? (без повторений)

10. Как найти число перестановок/ размещений/ сочетаний с повторениями?