Лекция "Предел функции в точке. Основные теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Некоторые замечательные пределы. Непрерывность функции и ее разрывы"

Пусть функция y =f(x) определена в некоторойокрестностиx₀,кроме, может быть, самой точки x₀.

Определение. Число A называется пределом функции y =f(x) в точке x₀ (или при х →x₀), если для любого сколь угодно малого числа ε 0 найдется такое число δ 0, что для всех х ¹x₀, удовлетворяющих неравенству

│ х –x₀│f(x) –А│

Или кратко: ε 0  δ  0,  x:│ х –x₀│х ¹x₀= │f(x) –А│

Геометрический смысл предела функции заключается в следующем: число  , если для любой ε – окрестности точки A найдется такая δ – окрестность точки x₀, что для всех х ¹x₀ из этой окрестности соответствующие значения функции f(x) лежат в ε – окрестности точки А.

Рис. 1

Пример: Доказать, что 

Решение. Возьмем произвольное   и найдем  такое, что для всехx, удовлетворяющих неравенству,  , выполняется неравенство , то есть .

Взяв  , видим, что для всехx, удовлетворяющих неравенству,  , выполняется неравенство , следовательно,

Пусть функция y =f(x) определена в промежутке (– ; + ).

Определение. Число A называется пределом функции f(x) при х  , если для любого числа ε  0 существует такоечисло M = M (ε)  0, что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству │x│M,выполняется неравенство │f(x) – А│ ε. В этом случае пишут  f(x) = А.

Или кратко: ε 0  M 0, │x│ M= │f(x) –А│

f(x) = А.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Определение 1. Функция f(x) называется бесконечно большой функцией при х →x₀, если  f(x) =  .

Определение 2. Функция f(x) называется бесконечно малой функцией при х →x₀, если  f(x) = 0.

Основные теоремы о пределах функций.

Теорема 1. Предел постоянной величины равен самой постоянной: c = c.

Теорема 2. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов: =  f(x) φ(x).

Теорема 3.Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

=  f(x) φ(x).

Теорема 4. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на передел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:

,  0.¹

Теорема 5. (О пределе промежуточной функции) Если в окрестности точки x₀ выполняются неравенства: и = =А, то  .

Первый замечательный предел .

Второй замечательный предел.

Функция  при и (где х в отличие от натурального n «пробегает» все значения числовой оси) имеет предел, равный числу е:

.

Эквивалентные бесконечно малые функции используются при вычислении пределов отношений двух бесконечно малых для раскрытия неопределенностей вида  .

Запишем следствия из 1-го и 2-го замечательных пределов в виде таблицы эквивалентных бесконечно малых. При 

 Пример. 1) Найти  .

При  и, значит, . Заменяя знаменатель на эквивалентную бесконечно малую, получаем .

2) Найти  .

.

3) Найти  .

Определение 1. Функция , определенная в некоторой окрестности точки , называется непрерывной в точке , если .

Необходимо обратить внимание учащихся на то, что согласно данному определению непрерывность функции в точке означает одновременную выполняемость следующих условий:

1. Функция должна быть определена в точке .

2. У функции должен существовать предел в точке . Как отмечалось выше, это подразумевает существование и равенство односторонних пределов в точке .

3. Предел функции в точке совпадает со значением функции в этой точке.

Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции , то есть .

Определение 3. Если функция определена на полуинтервале и , т.е. , то эта функция называется непрерывной справа в точке .

Определение 4. Если функция определена на полуинтервале и , т.е. , то эта функция называется непрерывной слева в точке .

Для непрерывности функции в точке необходимо и достаточно её непрерывности в этой точке слева и справа.

Определение 5. Если функция непрерывна в каждой точке интервала , то она называется непрерывной на этом интервале.

Определение 6. Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна на интервале и, кроме того, непрерывна справа в точке и непрерывна слева в точке .

Определение 7. Точка называется точкой разрыва функции , если эта функция либо не определена в точке , либо определена, но не является непрерывной в точке .

При этом следует отметить, что в точке разрыва нарушается одно из трех условий непрерывности. В зависимости от того, какое условие нарушается, выделяют точки разрыва первого рода (точки устранимого разрыва, точки разрыва с конечным скачком функции) и точки разрыва второго рода. У каждого типа разрыва есть свои характерные особенности, на которые нужно обратить внимание.

Определение. Точка х₀ называется точкой разрыва 1 - го рода, если в этой точке функция   имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы. 

Для выполнения условий этого определения не требуется, чтобы функция была определена в точке  , достаточно того, что она определена слева и справа от нее.

Из определения можно сделать вывод, что в точке разрыва 1 - го рода функция может иметь только конечный скачок.

Определение. Точка х₀ называется точкой разрыва 2 - го рода, если в этой точке функция   не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.

Пример. Функция Дирихле (Дирихле Петер Густав(1805-1859) - немецкий математик, член-корреспондент Петербургской АН 1837г)

не является непрерывной в любой точке  .

Пример. Функция   имеет в точке   точку разрыва 2 - го рода, т.к.  .

Основные свойства функции, непрерывной в точке:

1. Ограниченность в некоторой окрестности точки непрерывной в точке функции.

2. Знак функции, непрерывной в точке , в некоторой окрестности этой точки.

3. Непрерывность в точке суммы, произведения и частного непрерывных в точке функций.

4. Непрерывность сложной функции.

Формулировка основных свойств функций, непрерывных на отрезке

1. Теорема о нулях непрерывной на отрезке функции.

Если функция определена и непрерывна на отрезке и принимает на его концах значения разных знаков, т.е. , то на интервале имеется по крайней мере один корень функции, т.е. .

2. Теорема о промежуточных значениях непрерывной на отрезке функции.

Если функция определена и непрерывна на отрезке и принимает на его концах различные значения , то для любого числа C, лежащего между A и B, на интервале найдется такая точка с, что .

3. Теорема об ограниченности непрерывной на отрезке функции.

Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.

4. Теорема о достижимости своего наименьшего и наибольшего значений функции, непрерывной на отрезке.

Если функция непрерывна на отрезке ,то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

Контрольные вопросы:

1. Что называется пределом функции в точке?

2. В чем геометрический смысл предела функции?

3. Какая функция называется бесконечно большой? Бесконечно малой?

4. Какие замечательные пределы вы знаете?

5. Какая функция называется непрерывной в точке? Непрерывной справа? Непрерывной слева? Непрерывной на интервале? Непрерывной на отрезке?

6. Какая точка называется точкой разрыва?

7. Какая точка называется точкой разрыва 1-го рода? 2-го рода?