Лист Мебиуса - символ математики

( разработка открытого мероприятия )

Подготовила

учитель математики Купцова И.Н.

и ученики 9 – х классов

Цель: познакомить учащихся с биографией Мёбиуса и с историей его замечательного открытия, экспериментальным путем выяснить свойства листа Мёбиуса, показать необычность этой геометрической поверхности, показать применение ленты Мёбиуса в различных сферах жизни; способствовать активизации мыслительной и познавательной деятельности, расширять кругозор учащихся, воспитывать активность, настойчивость в достижении целей, прививать интерес к математике

Форма проведения: путешествие по стране «Мёбиусландия»

Оборудование: компьютер, проектор, бумага, ножницы, краски, клей, шарф, краски, кисточки

Ход мероприятия

1. Вокзал приветствий

Здравствуйте, гости! Мы рады приветствовать Вас на мероприятии «Загадки ленты Мёбиуса» или «Страна Мёбиусландия»

Сегодня мы с вами совершим путешествие по загадочной стране Мёбиусландия, где узнаем, что такое лист Мёбиуса и какие загадки он хранит, кто такой Мёбиус, какая наука изучает лист Мёбиуса, проведем интересные эксперименты.

Итак, в путь. Помогать нам будут учащиеся 9-х классов

Девизом нашего путешествия будут слова Альберта Эйнштейна «Не обязательно понимать этот мир, нужно лишь найти себя в нем…»

Лист Мёбиуса – желтая страница,

Односторонний сказочный маршрут,

Летит метелью, песенкой, синицей,

Бульварной лентой, склеенный лоскут.

Эх, Мёбиус, спасибо за науку!

Поверхность одинокой стороны

Подобна закольцованному звуку,

Вибрацией неоновой струны

Во многих парках и скверах и даже в художественных музеях можно встретить необычный круг-ленту. У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка.

Что это за лента и почему она вызывает такой интерес у художников и скульпторов? Оказывается это лента Мебиуса и имеет самое прямое отношение к математике, а точнее к геометрии. Эту ленту часто называют загадочной.

Первая остановка

Лес историй

2.Открытие листа Мёбиуса

17 ноября 1790 года в Германии родился мальчик Август Фердинанд Мёбиус – здоровый и крепкий малыш. Все шло и развивалось своим чередом. Школа, университет. Мальчику повезло: астрономию ему преподавал сам Карл Гаусс, математику – Иоганн Пфафф. Как-то незаметно для окружающих в 26 лет он стал профессором, руководителем астрономической лаборатории в Лейпцигском университете.

Научные статьи, лекции, работа. Рассеянного доброго чудака студенты боготворили. Он любил удивлять их неожиданными задачками и назначал лекции, к примеру, на два часа ночи, чтобы показать ночное небо во всей его красе. Возможно, имя этого человека за 220 лет растворилось в истории, если бы ни одно ненастное утро… На улице шел дождь. Была выкурена трубка, выпита чашка любимого кофе с молоком. Вид из окна навевал тоску. В кресле сидел мужчина. Мысли были разные, но как-то ничего особенного не приходило на ум. На пороге комнаты появилась любимая жена. Она была

разгневана, что для мирного дома Мёбиусов было почти так же невероятно, как три раза в год увидеть парад планет, и категорически требовала немедленно уволить служанку, которая настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту. Хмуро разглядывая злосчастную ленту, профессор воскликнул: "Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. Ведь это же односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!”

Как бы то ни было, но в 1858 году Лейпцигский профессор Август Фердинанд Мёбиус, послал в Парижскую академию наук работу, включающую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы, и, не дождавшись, опубликовал её результаты. Справедливости ради, надо отметить, что почти в это же время предложил в качестве первого примера односторонней поверхности этот лист и другой ученик К.Ф. Гаусса – Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского Университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус, - в 1862 году, но лента все-таки носит имя Мёбиуса.

Теперь и мы и вы знаете, что Мёбиус – это великий немецкий ученый, который внес огромный вклад в развитие науки.

3. Получение листа Мёбиуса

Возьмем бумажную ленту АВСD. Прикладываем ее концы АВ и СD друг к другу и склеиваем так, чтобы точка А совпала с точкой C, а точка B с точкой С. Перед склейкой перекручиваем ленту один раз (на 180). Получилось знаменитое в математике бумажное кольцо – Лист Мёбиуса.

4. Свойства ленты Мебиуса

Что же поразило двух немецких профессоров в этой ленте?

Односторонность. У листа Мёбиуса – всего одна сторона. Убедиться в односторонности листа Мёбиуса несложно: если начать постепенно окрашивать его в какой-нибудь цвет, начиная с любого места, и по завершении работы вы обнаружите, что весь он полностью окрашен.

Непрерывность. На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом ни разу не придётся переползать через край “ленты”. Разрывов нет – непрерывность полная.

Если на внутреннюю сторону простого кольца посадить паука, а на внутреннюю сторону муху и разрешить им ползать как угодно, запретив лишь переползать через края кольца, то паук не сможет добраться до мухи. А если их обоих посадить на лист Мёбиуса, то бедная муха будет съедена, если, конечно, паук бегает быстрее!.

3. Связность. Лист Мёбиуса двусвязен, т.к. если разрезать его вдоль, он превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту.

4. Ориентированность – свойство отсутствующее у листа Мёбиуса . Так, если бы человек смог пропутешествовать по всем по всем изгибам листа Мёбиуса, то

когда он вернулся бы в исходную точку, он превратился в своё зеркальное отражение.

5. «Хроматический номер» - максимальное число областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Хроматический номер листа Мёбиуса равен шести.

Все это сложно для понимания, но, говорят, что в замечательной книге Сергея Боброва «Волшебный двурог» или Правдивая история о небывалых приключениях в неведомой стране, где правят Догадка, Усидчивость, Находчивость, Терпение, Остроумие и Трудолюбие, можно прочитать обо всех этих удивительных вещах в доступной для детского понимания форме.

Вторая остановка

Река экспериментов

Слово предоставляется «Экспертам».

4.Эксперименты, подтверждающие свойства листа Мёбиуса

Односторонность

Эксперимент 1.

Взять кисточку и закрасить кольца в каком-нибудь направлении.

Обычное кольцо: одна сторона закрашена, другая – нет.

Лента Мебиуса: закрашенной оказалась вся лента целиком!

Непрерывность .

Эксперимент 2.

Поставить точку на одной стороне каждого кольца и чертить непрерывную линию вдоль него, пока не придешь снова в отмеченную точку.

Обычное кольцо: линия проходит вдоль кольца по одной стороне, сходясь в точке начала.

Лента Мебиуса: непрерывная линия проходит по двум сторонам, заканчиваясь в начальной точке.

Эксперимент 3.

Закрась непрерывной линией только один край колец

Обычное кольцо: один край кольца закрашен, второй край нет.

Лента Мебиуса: линия края получилась непрерывно закрашена на всем кольце.

Эксперимент 4.

На внутренней поверхности стоит некто Х, а по внешней идет в любую сторону некто Y.

Обычное кольцо: Х и Y никогда не встретятся, не пересекая края

Лента Мебиуса: Х и Y встретятся, не пересекая края в любом случае

Связность

Эксперимент 5.

Разрежь кольца вдоль пополам, по линии параллельной краям.

Обычное кольцо: получилось два кольца, уже чем исходное, причем длина окружности каждого будет такой же, как длина окружности первоначально взятого.

Лента Мебиуса: получилось одно кольцо в виде восьмёрки.

Эксперимент 6

Разрежь кольцо вдоль, отступив от края на 1/3 ширины кольца.

Обычное кольцо: получилось 2 кольца одно уже, другое шире.

Лента Мебиуса: получилось два сцепленных друг с другом кольца, одно маленькое – другое большое.

Следующая остановка

Поляна науки

5.Применение ленты Мёбиуса

Технические применения ленты Мёбиуса.

Патентная служба зарегистрировала немало изобретений, в основе которых лежит всё та же односторонняя поверхность. В 1923 году выдан патент изобретателю Ли де Форсу, который предложил записывать звук на киноленте без смены катушек, сразу с двух сторон.

В 1969 году советский изобретатель Губайдуллин предложил бесконечную шлифовальную ленту в виде листа Мёбиуса.

В 1971 году изобретатель с Урала Чесноков П.Н. применил фильтр в виде листа Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполнялась в виде ленты Мёбиуса, что позволяло ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивалась.

Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. В матричных принтерах красящая лента имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности. Придуманы кассеты для магнитофона, где лента перекручивается и склеивается в кольцо, при этом появляется возможность записывать или считывать информацию сразу с двух сторон, что увеличивает ёмкость кассеты и соответственно время звучания.

В виде парадоксальной геометрической фигуры можно, оказывается, изготовить лопасти бетономешалки или обычного бытового миксера — энергозатраты снизятся на одну пятую, а качество бетона (или кондитерского крема) улучшится.

Устройство под названием резистор Мёбиуса — это недавно изобретённый электронный элемент, который не имеет собственной индуктивности.

В начале 20 века Никола Тесла изобрел резистор Мебиуса, который противостоит потоку электроэнергии, не вызывая при этом электромагнитных помех. Он состоит из двух проводящих поверхностей, которые скручены на 180 и образуют ленту Мебиуса. На основе ленты Мебиуса создано абразивное кольцо в механизмах для заточки, работает автоматическая передача.

Четвертая остановка

Море искусства

Лист Мёбиуса в искусстве

Лист Мёбиуса стал источником вдохновения у многих художников и скульпторов. Так во многих парках и скверах можно увидеть Лист Мебиуса и даже в музеях.

Одним из первых на это был Макс Билл. Начиная с 1930-х годов, он создал различные "бесконечные ленты". Билл был активным сторонником использования математики в качестве основы для искусства. Макс Билл - швейцарский скульптор, художник-абстракционист, архитектор и дизайнер, представитель цюрихской школы конкретного искусства. Он создал скульптуры «Узел без конца», «Непрерывность», которые имеют форму ленты Мёбиуса.

Лист Мёбиуса в искусстве служит вдохновением для скульптур и для графического искусства.

Английский скульптор Джон Робинсон также использовал различные математические темы в своем творчестве: лист Мебиуса увековечен в бронзе или в виде трилистника.

Мауриц Эшер был одним из художников, кто особенно любил ленту Мёбиуса и посвятил ей работы. Одна из известных, показывает муравьёв, ползающих по поверхности листа Мёбиуса - «Лента Мёбиуса-II». Замкнутая кольцеобразная полоса, на первый взгляд имеет две поверхности - внешнюю и внутреннюю. Вы видите, как 9 красных муравьёв один за другим ползут по той и по другой. Тем не менее, это полоса с односторонней поверхностью.

Вашему вниманию предоставляются другие скульптуры, которые имеют форму листа Мёбиуса.

-скульптура составлена из множества консервных банок;

-скульптура Александра Эткало «Паралокс и совершенство» ( лента Мёбиуса и шар);

-монумент у здания Президиума Национальной Академии наук в Минске;

-памятник ленте Мёбиуса в Москве;

-храм в виде ленты Мёбиуса;

- развлекательный центр в Тайване и другие.

Лиза Владимировна Рэй – художница – сюрреалист, член Союза художников Казахстана. Ее картины есть в частных коллекциях как в России, так и заграницей, в США и Германии. В настоящее время живёт и работает в Алма-Ате в Казахстане. Описание картины «Корабль дураков в бесконечности»

Идея потрясающая: персонажи С.Бранта не уплывают в Никуда, а вертятся вокруг кораблика бесконечно и, такое чувство, будто это никогда не кончится. Что, собственно, так и есть в жизни.

Лист Мёбиуса также постоянно встречается и в рассказе Артура Кларка «Стена Темноты». Иногда научно-фантастические рассказы (вслед за физиками-теоретиками) предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщенным листом Мёбиуса.

Также кольцо Мёбиуса постоянно упоминается в произведениях уральского писателя Владислава Крапивина, цикл «В глубине Великого Кристалла» (напр. «Застава на Якорном Поле. Повесть»). А Козьма Прутков подарил читателям афоризм: "Где начало того конца, которым оканчивается начало?".

Лист Мёбиуса в повседневной жизни

Лист Мёбиуса нашел применение в кулинарии, среди ювелирных украшений встречается лист Мёбиуса, в практике индийской йоги используется принцип движения энергетических потоков по траектории листа Мёбиуса и т.д.

Кроме того, существует, например, теория, что ДНК – это часть листа Мебиуса. Исследователи в области генетики уже научились разрезать одноцепочную ДНК так, чтобы получить из нее ленту Мебиуса.

Физики говорят о том, что оптические законы базируются на свойствах листа Мебиуса. Например, отражение в зеркале – это своего рода передвижение во времени по аналогичной траектории. Есть научная гипотеза о том, что Вселенная – это гигантская лента Мебиуса.

Пятая остановка

Фабрика фокусника

Лист Мебиуса в цирковом искусстве

Более 100 лет лист Мёбиуса используется для показа различных фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цирке, где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса.

Проблема завязывания узлов

Как завязать на шарфе узел, не выпуская из рук его концов? Это можно сделать так. Положите шарф на стол. Скрестите руки на груди. Продолжая держать их в таком положении, нагнитесь к столу и возьмите поочередно по одному концу шарфа каждой рукой. После того как руки будут разведены, в середине шарфа сам собой получится узел.

Наше путешествие подходит к концу

Итак, Ленту Мёбиуса можно встретить в различных сферах деятельности человека.

Каких? ( технике, искусстве, скульптуре, литературе, кулинарии, цирковом искусстве,украшения)

Но главное, что лист Мёбиуса:

Дал мощный толчок новым математическим исследованиям.

Мёбиуса часто считают символом современной математики

Рефлексия

• Понравилось ли вам занятие?

• Как ваше настроение?

• За что вы можете себя похвалить?

Я хвалю себя за …

• Зачем же нам нужен лист Мебиуса?

(Полоса ленточного конвейера выполненная в виде ленты Мёбиуса, позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивается. Также в системах записи на непрерывную плёнку применялись ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). В матричных принтерах красящая лента имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности)

Мир разнообразней и необычней, чем мы привыкли его считать. И всё же, так ли уж нужно ломать голову над тем, как устроен этот мир? Или всё что нам нужно уже есть, и нам остается лишь выбрать «правильный» вариант? Выбор как всегда за вами. Он у вас есть даже в том – делать этот выбор или нет.

Последняя остановка

Поэтическая

Листу Мёбиуса посвящены стихи. Одно из стихотворений «Лист Мёбиуса» написано Натальи Юрьевны Ивановой

Лист Мёбиуса – символ математики

Что служит высшей мудрости венцом

Он полон неосознанной романтики:

В нем бесконечность свернута кольцом.

В нем – простота и вместе с нею сложность,

Что недоступна даже мудрецам.

Здесь на глазах преобразилась плоскость

В поверхность без начала и конца.

Здесь нет пределов, нет ограничений,

Стремись вперед и открывай миры,

Почувствуй силу новых ощущений,

Прими познанья высшего дары.

Спасибо за внимание! Поаплодируйте !

Вывертывание жилета на изнанку, не снимая с человека. Владельцу жилета необходимо сцепить пальцы рук за спиной. Окружающие должны вывернуть жилет наизнанку, не разнимая рук владельца. Для демонстрации этого опыта необходимо расстегнуть жилет и стянуть его по рукам за спину владельца. Жилет будет висеть в воздухе, но, конечно, не снимется, потому что руки сцеплены. Теперь нужно взять левую полу жилета и, стараясь не измять жилет, просунуть ее как можно дальше в правую пройму. Затем взять правую пройму и просунуть ее в ту же пройму и в том же направлении. Осталось расправить жилет и натянуть его на владельца. Жилет окажется вывернутым на изнанку. Тот же самый эксперимент можно провести и, не расстегивая жилета. Единственное неудобство будет заключаться в том, что жилет слишком узок для снятия через голову. Поэтому жилет можно заменить свитером. Манипуляции со свитером в точности повторяются. Этот эксперимент можно демонстрировать и на себе, для чего нужно соединить шнуром кисти рук, оставляя между ними 40 сантиметров, чтобы обеспечить свободу движений, и руки сцепить впереди.

Распутывание колец из верёвок. Двое участников связаны веревками за руки. Тем самым руки и веревки образовывают два сцепленных кольца. Необходимо , не развязывая веревок, распутаться. Отгадка этого опыта кроется в том, что на руках у участников есть еще по две петли. Необходимо одну веревку протянуть через одну из петель на руках другой веревки и снять петлю через кисть руки.

Приложение 2

Кроссворд

1. Доску, верхнюю часть парты, можно назвать словом …….., а у Листа Мёбиуса она односторонняя

2. Кто одновременно с Мёбиусом изобрел этот лист и другой ученик К. Ф. Гаусса

3. Кто помог Мёбиусу сделать открытие

4. Фамилия учителя Мёбиуса, великого математика

5. Немецкий геометр и астроном, профессор университета города Лейпциг

6. из какого листа бумаги нельзя сделать лист Мёбиуса

7. науки, изучающей свойства фигур, не изменяющихся при любых деформациях, производимых без разрывов и склеиваний.

8. сегодня мы познакомились с математическим объектом, который называется ……… Мёбиуса

14