МАРШРУТНЫЙ ЛИСТ ЗАНЯТИЯ №3 Диофантовы уравнения

Шаг

Инструкция для учащихся

1

Повторение.

1.Определение Дилфантового уравнения.

2. Перечислите правила решения линейных Диофантовых уравнений.

3. При каком условии уравнение не имеет решения целых числах?

2

Теоретический материал:

Диофантовы уравнения имеют, как правило, много решений. Убедились в этом при решении линейных Диофантовых уравнений. Поэтому их называют неопределенными уравнениями.

Методы решения диофантовых уравнений:

МЕТОД РАЗЛОЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ

Рассмотрим случай, когда в уравнениях можно применить различные способы разложения на множители.

Пример 1.Найдите все целочисленные решения уравнения

х²-3ху+2у²=3

Разложим леву часть уравнения на множители

Получаем .

Целочисленными решениями являются пары чисел (-1;-2), (5;2), (1;2), (-5;-2).

Пример 2. Найдите все целочисленные решения уравнения

х²-4х-у²+2у+6=0

Выделим в левой части уравнения х²-4х-у²+2у+6=0 квадраты относительно х и относительно у:

(х²-4х+4)-4-(у²-2у+1)+1+6=0;

(х-2)²-(у-1)²=-3;

(х-у-1)(х+у-3)=-3;

Целочисленными решениями являются пары чисел (3;-1), (1;3), (3;3), (1;-1).

Пример 3. Найдите все натуральные решения уравнения

1+х+х²+х³=2^у.

Разложим леву часть уравнения на множители

(1+х)(1+х²)=2^у;

1-й случай. Пусть m=0. Тогда

Вывод: нет натуральных решений.

2-й случай. Пусть m0,

.

Решениями является пара чисел (1;2).

Пример 4. (Белорусская математическая олимпиада школьников 2012). Найдите все пары (n;m) целых чисел n и m, для которых выполняется равенство

n²+n+1=(m²+m-3)(m²+m+5)

Преобразуем правую часть уравнения

n²+n+1=m⁴+m²+8m-15;

n²+n-(m⁴+m²+8m-16)=0;

Рассмотрим полученное уравнение как квадратное относительно n. Для того чтобы существовали натуральные решения этого уравнения, необходимо, чтобы дискриминант являлся квадратом некоторого целого числа

D=4m⁴+4m²+32m-63=(2m²+2)²-4(m-1)²-59m²+2)² и при всех натуральных m2.

D=4m⁴+4m²+32m-63=(2m²+1)²-32(m-2)(2m²+1)²

Натуральные решения уравнения n²+n-(m⁴+m²+8n-16)=0 могут существовать лишь при натуральных m=1 или m=2.

Если m=1, то n2+n+6=0, откуда n=-2 или n=-3.

Если m=2, то n2+n-20=0, откуда n=-5 или n=4.

Единственная пара натуральных чисел, удовлетворяющих условию, является пара чисел (4;2).

Пример 5.

3

Проверьте, насколько хорошо вы усвоили тему, для этого предлагается решить следующие уравнения.

Задачи для самостоятельного решения

1. Найдите все целочисленные решения уравнения

а)х+у=ху;

б)х⁴(х²-х⁴+2у)=у²+1999;

в)10х²+11ху+3у²=7;

2.Найдите все натуральные решения уравнения

(х-у+z)(x²+y²+z²)=2005

3.(Белорусская математическая олимпиада школьников 2012). Найдите все тройки (х; n; p) натуральных х и n и простых р, для которых 2х³+х²+10х+5=2рⁿ.

4

Урок закончился, а что осталось, поделитесь своими впечатлениями от занятия!