Математические модели биологических объектов

Лекция 4. Математические модели биологических объектов, явлений и процессов

1. Модель однородной популяции

Численность (плотность) популяции в момент t равна x(t). Относительный прирост популяции через промежуток времени

d(x) = (x(t + Dt) - x(t)) / (4.1

Закон изменения численности популяции представляется следующим дифференциальным уравнением:

x(t) = kx(t) , (4.2)

где k - коэффициент пропорциональности. Решение дифференциального уравнения имеет вид:

x(t) = x(0)exp(kt), где (4.3)

x(0) - начальное значение численности.

Это - простая (мальтусовская) модель изменения численности популяций. Для учета ограниченности среды обитания (пища,свет,вода и т.д) составляется более сложная модель Ферхюльта-Пирла.

. x(t) = [a - bx(t)]x(t) (4.4)

Решение уравнения:

x(t) = [x(0)exp(at)/[1 + bx(0)*(exp(at) - 1)/a]. (4.5)

Дискретная модель:

xi+1 = xi+axi-bxi2; x0 = c, i = 0.1...n, (4.6)

где n предельное время моделирования.

Усложнение модели может быть выполнено за счет учета переменности коэффициентов - a (скорости роста) и b (скорости гибели) - в зависимости от времени, а также с учетом половых, возрастных различий индивидумов. Необходимо определить значение коэффициентов 0

Рассчитайте, как меняется численность популяции со временем, если а=1, b=0,0001 при начальной численности, равной 10. Какова численность популяции через очень большой промежуток времени (стабильная популяция).

2 Модель “хищник - жертва”

Имеются популяции двух видов, которые представляются отношениями

xi+1 = xi + a1xi - b1xi2 - g1xiyi , x0 = c1, (2.1)

yi+1 = yi - a2yi + b2yi2 - g2xiyi , y0 = c2,

где xi - численность (плотность) жертв,

yi - численность хищников,

g1 - коэффициент защиты жертв,

g2 - коэффициент прожорливости хищников.

Определить характер зависимости периодических коле-баний численности жертв (хищников) от ai, bi, ci, gi и динамику зависимости y=f(x).

3. Модель эпидемии болезни

В изолированном поселке с населением m человек возникла эпидемия болезни, распространение которой описывается соотношениями:

xi+1 = xi - bxiyi; (3.1)

yi+1 = yi - cyi + bxiyi;

zi+1 = zi + cyi;

x0=a0, y0=b0, z0=c0,

где xi, yi, zi - число здоровых, больных (инфицированных) и невосприимчивых (переболевших) в момент времени i=0.1...n;

b - частота контактов больных и здоровых;

c - величина, обратная среднему времени выздоровления и зависящая от эффективности лекарств 0

Более строго соотношение может быть получено из системы дифференциальных уравнений:

dx

—— = - bxy;

dt (3.2)

Построить графики изменений

x, y, z = f(b,c,a0,b0,c0). 

dx

—— = - bxy;

dt (3.3)

Построить графики изменений

x, y, z = f(b,c,a0,b0,c0).

4 Модель прогноза урожая

Для определения прогноза урожая можно воспользоваться экспериментальной зависимостью

, i = 1.2....5, (4.1)

где y - урожайность сельхозкультуры (ц/га),  

x1 - глубина обработки почвы (см),

x2 - густота высева (ц/га),

x3 - содержание влаги в почве (кг/га),

x4 - температура почвы ( С),

x5 - содержание минерального питания (ц/га).

Вычислить прогноз урожайности сельхозкультуры по различным значениям факторов xi.

5 Рост опухоли

Раковая опухоль обычно увеличивается экспоненциально в соответствии с дифференциальным уравнением:

, (5.1)

где v - размер опухоли,

с,a,b - константы.

Определить, при каких значениях параметров С существует предельный размер опухоли. Выяснить, при каких значениях С рост опухоли не превосходит некоторой конечной величины.

6 Модель растворения лекарственного препарата

В процессе растворения лекарственного препарата в определенном объеме жидкости различают твердые F и жидкие (уже растворенные) вещества. Причем скорость растворения веществ может быть пропорциональна количеству вещества или величиa не F (если препарат вводится в виде таблетки сферической формы, а=2/3), а также пропорциональна разности (Lmax-L), где Lmax - растворимость препарата в данной жидкости. Модель кинетики растворения представляется следующими дифференциальными уравнениями:

dL

—— = - k1 * Fa (Lmax-L) - kaLn . (6.1)

dt

Рассчитать кинетику расходования лекарственного препарата при следующих параметрах: а = 2/3, k1= 0-1, Lmax = 0.1-0.8, n = 1, ka = 0.1.

Как будет изменяться кинетический процесс при изменении параметров путем увеличения и уменьшения на шаг h. Как зависит процесс расходования лекарственных препаратов от температуры.

7 Модель процесса переноса тепла

Природа переноса тепла от нагретого тела к окружающему пространству сложен и в общем случае включает в себя механизмы конвекции, излучения, испарения и теплопроводности. Если разность температур между объектом и окружающей средой не очень велика, то скорость изменения температуры можно считать пропорциональной этой разности температур. Для данного случая модель переноса тепла можно описать следующим дифференциальным уравнением:

T + R(T – Т0), (7.1)

где Т - температура тела;

Т0 - температура окружающей среды;

R - коэффициент “остывания”, зависящий от механизма теплопередачи, площади тела, тепловых свойств этого тела. Соотношения обычно называются законом теплопроводности Ньютона.

Требуется определить время остывания кофе от tнач до температуры окружающей среды. Как зависит скорость остывания от коэффициента остывания.

Лекция 5. Оптимизационные математические

модели объектов и систем

1 Модель выпускаемой продукции

Имеются определенные виды сырья b1, b2, ... bm, из которых могут быть изготовлены различные виды продукции x1, x2, ... xn. Цена единицы j-го вида продукта равна cj. Для изготовления j-го продукта необходимо затратить i-й вид сырья в количестве аij единиц. Приведенные условия изготовления i-ой продукции можно представить в виде таблицы и уравнений:

xi і 0, i=1,2,...n (условие неотрицательности производимых продуктов).

i=1,2…..m (5.1)

Суммарные затраты сырья каждого вида не должны превышать имеющиеся ресурсы.

Требуется вычислить, какие виды продукции выгодно выпускать предприятию, т.е. найти максимум целевой функции

2 Модель рационального раскроя

На предприятии (мастерской) из листов металла (материала) размером n*m требуется выкроить заготовки определенных размеров . Кроме того, необходимо иметь S таких заготовок.

Обозначим xi (i=1,2,3,...,k) количество листов материала, которые раскраиваются i-тым способом.

Условия выполнения плана для заготовок A и B:

(2.1)

Требуется выкроить заготовки с минимальными затратами металла (материала), т.е. вычислить минимум целевой функции

(2.2)

3 Модель размещения предприятий

Пусть в нескольких пунктах расположены предприятия, производящие некоторый продукт. В пунктах размещаются потребители готовой продукции с соответствующими потребностями . Затраты на производство единицы продукта в пункте равны , обьем производства в этом пункте равен , а затраты по транспортировке единицы продукта из i в j равны . Количество перевезенных продуктов из i в j составляет единиц.

Уравнения модели:

1.(перевозится неотрицательное количество продукта);

2. (выпускаемое количество продукта не

больше возможного обьема производства и равно вывозимому количеству продукта);

3. , j=1,...,n (потребности потребителей),

(3.1

(каждый пункт потребления получает столько, сколько ему требуется).

Необходимо получить минимальные затраты на производство и на транспортировку продукции, т.е. обеспечить минимум функции

, (3.2)

где - затраты на производство,

- затраты на транспортировку.

Целевая функция состоит из аналогичной целевой задачи. Однако, различие состоит в том, что здесь добавляются затраты на производство. Для однотипности подхода к решению этих двух моделей добавляется фиктивный пункт с характеристикой: потребность равна разности между возможным обьемом производства продукта и суммарной потребностью, а затраты на перевозку из всех пунктов равны 0.

4 Модель выбора предприятия

Затраты на выпуск продукции различными предприятиями можно разделить на постоянные, не зависящие от обьема производства, и переменные, зависящие от обьема производства, т.е.

,

(4.1)

где x - объем выпускаемой продукции;

U - постоянные затраты;

- переменные затраты.

В отрасли, выпускающей определенный вид продукции, имеется m - предприятий . Каждое предприятие характеризуется функцией , которая выражает затраты в зависимости от объема выпуска . Суммарная потребность равна X.

Уравнение модели:

i=1,2,...m (объем выпуска продукции

предприятием не может быть отрицательным).

(потребность в продукции должна быть удовлетворена).

Целевая функция модели представляется зависимостью:

где y - количество выпускаемой продукции.

5 Модель транспортной задачи

Имеются m складов товаров и n пунктов потребления

.- количество товаров, перевозимых с i-го склада на j-ый пункт потребления.

- стоимость перевозки с i-го склада на j-ый пункт потребления. Ограничения:

(5.1)

где

- количество единиц груза соответственно на пунктах потребления и складах.

Общая сумма заявок на доставку товаров равна имеющимся запасам товаров, т.е.

(5.2)

Требуется найти такие неотрицательные значения переменных Xij, чтобы выполнялись ограничения, а линейная функция суммарной стоимости перевозок L обращалась в минимум.

(5.3)

8