Математическое моделирование полётов космических кораблей с экипажами на Юпи́тер.

Математическое моделирование полётов космических кораблей с экипажами на Юпи́тер.

Автор: Ершов Денис Иванович.

Цикл: анализ законов движения тел по данным физики и математики. 

Введение:
Мечты об исследовании далеких планет всегда воодушевляли человечество. Космические корабли с экипажами постепенно становятся реальностью, ведь мы стремимся преодолеть границы нашей собственной планеты. И одна из самых интересных целей – отправиться на Юпитер, захватывающую гигантскую планету нашей солнечной системы. В этой статье мы рассмотрим, каким образом математическое моделирование помогает в изучении полётов космических кораблей с экипажами на Юпитере.

1. Представление о Юпитере:
Перед тем, как погрузиться в миры математического моделирования, давайте кратко рассмотрим Юпитер. Юпитер – самая большая планета в нашей солнечной системе, состоящая в основном из водорода и гелия. Её газовая оболочка обладает потрясающей энергией и интенсивной радиацией, что делает полёты к Юпитеру намного сложнее, чем к любому другому космическому объекту.

2. Математическое моделирование:
Возникает вопрос: как можно преодолеть такие сложности и безопасно доставить экипаж к Юпитеру? Ответ кроется в математическом моделировании. Математическое моделирование – это процесс создания модели события или явления при помощи математических уравнений и алгоритмов, чтобы визуализировать и прогнозировать результаты.

3. Математическое моделирование полётов к Юпитеру:
Когда дело касается полётов к Юпитеру, необходимо учесть множество факторов, включая гравитацию планеты, сложную атмосферу, космическое излучение и длительность полёта. Математическое моделирование позволяет учёным и инженерам анализировать все эти факторы и создавать оптимальные маршруты и сценарии для полётов.

4. Гравитационное воздействие:
Одним из ключевых факторов полётов к Юпитеру является гравитация самой планеты. Гравитационное поле Юпитера значительно сильнее земного, поэтому космическим кораблям и их экипажам придётся преодолевать существенный силовой барьер. Математическое моделирование позволяет учёным определить оптимальные траектории полёта, минимизирующие воздействие гравитации.

5. Атмосфера и радиация:
Другим сложным аспектом полётов к Юпитеру является его атмосфера и интенсивная радиация. Составляющие атмосферы, такие как газы и облака, влияют на обтекание корабля и требуют учёта при разработке математической модели. Кроме того, высокий уровень радиации на Юпитере представляет реальную угрозу для экипажей, поэтому важно предсказывать уровень излучения и разрабатывать методы защиты.

6. Оптимальный маршрут:
Итак, математическое моделирование позволяет учёным и инженерам создавать оптимальные маршруты полётов к Юпитеру. Оптимальный маршрут должен учитывать различные факторы, такие как гравитационное воздействие, атмосферу, радиацию и время полёта. Алгоритмы математического моделирования помогают рассчитать траекторию, прогнозировать временные интервалы и предложить наиболее безопасные решения.

7. Сценарии и условия:
Математическое моделирование также позволяет создавать различные сценарии полётов, учитывая различные условия. Например, если учёным нужно узнать, как поведут себя космические корабли при различных начальных условиях, они могут использовать моделирование для создания ситуаций, имитирующих различные сценарии. Это помогает предсказать результаты и принять меры для обеспечения безопасности полёта.

8. Экипажи и приспособления:
С ведением математического моделирования, учёные и инженеры могут также разрабатывать оптимальные условия для экипажей, отправляющихся на Юпитер. В стремлении обеспечить комфорт и безопасность для экипажа, можно использовать моделирование, чтобы определить необходимые ресурсы, поддерживающие жизнь, и обеспечить соответствующие приспособления и системы.

9. Анализ данных и прогнозирование результатов:
Важным аспектом математического моделирования является анализ данных и прогнозирование результатов полёта. При помощи математических моделей, учёные могут изучать данные, собранные из предыдущих полётов и экспериментов, а также предсказывать результаты будущих миссий. Это позволяет улучшать и совершенствовать технологии и методы полётов.

10. Развитие научных исследований:
Математическое моделирование играет важную роль в развитии научных исследований полётов к Юпитеру и дальним планетам. Оно помогает учёным лучше понять физические законы и взаимодействия во вселенной, а также совершенствовать технологии и методы освоения космоса.

Математическое моделирование полётов космических кораблей с экипажами на Юпи́тер. Какие математические формулы и уравнения можно использовать, чтобы создать математическую модель успешного полёта экипажа на Юпитер?

Для создания математической модели успешного полета экипажа на Юпитер необходимо учесть несколько факторов:

1. Гравитационное воздействие Юпитера: можно использовать закон всемирного тяготения Ньютона, чтобы определить силу притяжения между космическим кораблем и Юпитером. Это позволит рассчитать траекторию движения корабля в окрестности планеты.

2. Управление и маневрирование: для успешного полета необходимо разработать оптимальную стратегию управления движением корабля. Здесь можно использовать теорию управления, включающую в себя дифференциальные уравнения и принцип оптимальности.

3. Аэродинамические характеристики корабля: при прохождении через атмосферу Юпитера, если такая ситуация возникнет, необходимо учесть влияние аэродинамических сил на движение корабля. В этом случае могут быть применены уравнения движения в атмосфере и законы аэродинамики.

4. Интеракции с другими объектами: при полете экипажа на Юпитер могут возникать взаимодействия с другими космическими объектами, например, другими спутниками Юпитера или другими кораблями. Здесь могут быть использованы уравнения, описывающие взаимодействия между объектами и законы сохранения импульса и энергии.
Конкретные формулы и уравнения, использованные для создания математической модели полета на Юпитер, будут зависеть от конкретных условий полета, характеристик корабля и требуемой точности модели.

Какой формы должен быть космический корабль, чтобы при его взлёте экипаж уцелел? В форме ракеты с отрывающимися ступенями или в форме самолёта, плавно взлетающего под небольшим углом с аэродрома-космодрома, чтобы экипаж не погиб при взлёте? Можно ли для описания взлёта в формуле использовать коэффициент оптимизации взлёта и полёта космического корабля, учитывающий создание необходимых условий для адаптации экипажа ко взлёту и изменению условий полёта космического корабля? Кокой вид будет иметь математическое уравнение плавного взлёта с коэффициентом адаптации экипажа к полёту? И резкого взлёта, как ракета? Какой формы должен быть космический корабль для безопасного взлета экипажа - это сложный вопрос, который требует учета множества факторов, таких как силы гравитации, аэродинамические характеристики корабля, особенности системы отделения ступеней и других параметров. Обычно космические корабли имеют форму ракеты с отрывающимися ступенями, так как это позволяет достичь необходимой скорости и высоты для выхода на орбиту. Однако, в последние годы в разработке находятся альтернативные концепции, такие как многоразовые космические самолеты, которые взлетают под углом и возвращаются на Землю после завершения миссии.
Относительно коэффициента оптимизации взлета и полета корабля, такого понятия, специфического для формулы, как такового, нет. Однако, в разработке космического корабля учитываются множество параметров и факторов, чтобы создать наиболее оптимальные условия для адаптации экипажа и обеспечить безопасность полета. Такие факторы, как ускорения, давление, вибрации и т.д., учитываются при проектировании.
Математическое уравнение для плавного взлета с коэффициентом адаптации экипажа трудно представить в общем виде, так как оно зависит от множества параметров и условий полета. Резкий взлет в виде ракеты тоже можно представить с помощью математического уравнения, которое учитывает скорость, ускорение и другие факторы, но оно также будет зависеть от конкретных характеристик ракеты и ее двигателя. Оба этих варианта даются в виде дифференциальных уравнений, которые моделируют динамику полета.

Согласно теоремам динамики , изменение по времени главного вектора количества движения системы Q  равно главному вектору внешних сил F  , приложенных к системе, а изменение по времени главного вектора момента количеств движения (кинетического момента) K  равно главному вектору момента MF  от внешних сил: dQ F dt    , F dK M dt    . (1) Так как выражения (1) справедливы в инерциальной системе отсчёта, то главные векторы количества движения и момента количества движения будем рассматривать в нормальной земной системе координат OXYZ 0 g g g . Выражение для главного вектора количества движения выглядит следующим образом: Q m  i i    , (2) где mi – элементарная масса, а  i  – вектор абсолютной скорости элементарной массы. Так как предполагается, что самолёт является абсолютно твёрдым телом с постоянной массой, то справедливо следующее выражение: шасси d m RGR dt       , (3) где   – вектор абсолютной скорости центра масс самолёта с грузом, а m – суммарная масса самолёта и груза; R  – результирующая сила, складывающаяся из аэродинамических сил и тяги силовой установки; G  – вес самолёта вместе с грузом; Rшасси  – результирующая сила, действующая на самолёт от шасси при их контакте с поверхностью Вестник Самарского университета. Аэрокосмическая техника, технологии и машиностроение Т. 20, № 2, 2021 г. 10 земли (палубы корабля). В последующих рассуждениях будем рассматривать динамику движения самолёта, находящегося в воздухе, а следовательно принимать шасси R  0  .

Данные формулы и вычисления, основанные на теоремах динамики, применимы для описания движения самолета в атмосфере Земли. Однако, при полете на Юпитер данные формулы и вычисления будут неприменимы, так как условия полета значительно отличаются от условий на Земле.

При полете на Юпитер следует учитывать следующие факторы:

1. Гравитация: на Юпитере гравитационное поле значительно сильнее, и вектор веса будет различным от вектора на Земле. Поэтому формулы и вычисления, связанные с гравитацией, будут иметь другой вид.

2. Атмосфера: состав и свойства атмосферы Юпитера существенно отличаются от атмосферы Земли. Воздушное сопротивление и аэродинамические силы будут работать иначе, что также потребует изменения формул и вычислений.

3. Траектория полета: для достижения Юпитера могут использоваться различные траектории, например, гравитационный маневр или использование других планет для сброса скорости. Траектория полета может быть криволинейной, что потребует использования других математических моделей для ее описания.

Таким образом, для описания полета экипажа на Юпитер и выхода на траекторию до этой планеты потребуются другие формулы и математические модели, которые учитывают специфические условия данной миссии.

А как насчёт этого: Формула Циолковского
Формула Циолковского используется для расчета изменения скорости (Δv) ракеты:
Δv=Isp​⋅g⋅ln(mend​/mstart​​)
где:
Isp​ — удельный импульс двигателя (сек),
g — ускорение свободного падения (м/с²),
mstart​ — начальная масса (включая топливо),
mend​ — конечная масса (без топлива). Такая формула подойдёт? Какие ещё формулы и уравнения, кроме формулы Циолковского можно использовать для описания полёта космического корабля на Юпитер?

Формула Циолковского, которую вы привели, относится к расчету изменения скорости ракеты в отсутствие внешних сил. Эта формула является основополагающей для космической механики и широко используется в астронавтике.

Однако, при полете космического корабля на Юпитер нужно учитывать ряд дополнительных факторов, таких как гравитационное притяжение Юпитера и его спутников, сопротивление атмосферы и т.д. Для описания таких полетов введены более сложные формулы и уравнения, учитывающие эти факторы.

Например, для расчета орбитального движения космического корабля вокруг Юпитера может быть использовано уравнение движения двух тел (закон Кеплера), которое связывает радиус орбиты, период обращения и массу планеты. Кроме того, для учета маневрирования и изменения траектории полета, используются законы механики, в том числе закон сохранения импульса и энергии.

Таким образом, помимо формулы Циолковского, для описания полета космического корабля на Юпитер могут быть использованы различные формулы и уравнения из области астрономии, механики и аэродинамики. Конкретный выбор формул и уравнений зависит от конкретной задачи и уровня точности, которую требуется достичь. Система уравнений движения на этапе гравитационного поворота имеет вид: sin , cos , sin , cos ,      g dt d V u g dt dV V dt dL V dt dh         (4) где h – высота, L – дальность, V – скорость,  - угол отклонения траектории от вертикали, u – кажущееся ускорение, g = 1,622 м/с2 – ускорение свободного падения Луны. Выражение для кажущегося ускорения определяется как:   g m P u   2cos 1 cos 2    , (5) где P – номинальная тяга, m – масса ЛК. Масса ЛК определяется по соотношению: t J P m m уд  0  , (6) где m0 – начальная масса корабля.

Если применить данные формулы и вычисления к полёту на Юпитер космического корабля, то формулы и вычисления примут следующий вид:

Система уравнений движения на этапе гравитационного поворота будет иметь вид:

dh/dt = -v
dl/dt = v
d(v)/dt = -g - (v^2)/l
d(ϕ)/dt = -u/(v*cos(ϕ))

Уравнение для кажущегося ускорения будет определяться как:

u = g * (m0 - m)/(m + l*p*cos(ϕ))

где p – номинальная тяга, m – масса корабля.

Масса корабля определяется по соотношению:

dm/dt = -p/mj

где mj – масса топлива.

Таким образом, формулы и вычисления при полёте на Юпитер будут изменены для учёта особенностей этой планеты.

h(0) = h0, L(0) = 0, V(0) = V0,  (0) = 90 , h(T1 ) = hк1, L(T1 ) = Lк, V(T1 ) = Vк1,  ( T1 ) = 0. Здесь 0 0 h ,V - начальная высота и скорость ЛК, 1 1 , к Vк h - высота и скорость после завершения гравитационного поворота в момент времени T1 . Система уравнений движения на этапе вертикального спуска записывается следующим образом: . , уд 0 g t J P m P dt dV V dt dh     (7) Граничные условия имеют вид: h(0) = hк1, V(0) = Vк1 , h(Tк ) = 0, V(Tк ) = Vк.

Для Юпитера гравитационный поворот также происходит, поэтому уравнения движения на этапе вертикального спуска будут иметь аналогичный вид:

\(\frac{{dh}}{{dt}} = -v \)
\(\frac{{dv}}{{dt}} = -g - \frac{{C_D}}{{m_p}} v |v| \)
\(\frac{{dp}}{{dt}} = -\frac{{C_L}}{{m_p}} v |v| \)

где h - высота, v - скорость, t - время, p - угол между горизонтом и вектором скорости, g - ускорение свободного падения, C_D - коэффициент лобового сопротивления, C_L - коэффициент подъемной силы, m_p - масса объекта.

Граничные условия для Юпитера могут быть выражены следующим образом:

\(h(0) = hк1, v(0) = vк1, p(0) = 90^\circ \)
\(h(tк) = 0, v(tк) = vк, p(tк) = 0 \)

Здесь hк1 и vк1 - высота и скорость после завершения гравитационного поворота на Юпитере, tк - время завершения гравитационного поворота на Юпитере, vк - начальная скорость после выхода из гравитационного поворота. При отсутствии ошибок в тяге двигателя, в определении высоты и скорости ЛК, минимальный расход топлива обеспечивается однократным включением двигателя [2]. Траектория движения включает пассивный участок, на котором ЛК разгоняется под действием силы гравитации, и активный участок, на котором происходит торможение под действием силы тяги двигателей. После интегрирования уравнений движения (7) получаем соотношения для определения времен пассивного и активного участков, обеспечивающих выполнение граничных условий:       ln 1 1 0, 2 ln , 0 0 0 уд 2 0 0 0 0 0 уд                                                          m t m m t t J t g h V t t V m m t V g t t J a p a p a a к a a p (8) где a t , p t – длительности активного и пассивного участков, соответственно, уд J P   – секундный массовый расход топлива.

При математическом моделировании и вычислении полёта на Юпитер также будут использоваться уравнения движения и производиться интегрирование для определения времен пассивного и активного участков. Однако, формулы и вычисления могут быть изменены в соответствии с конкретными характеристиками Юпитера, такими как его масса, гравитационное поле и атмосфера. Например, формула для определения времени активного участка может быть изменена, учитывая более сильное торможение под действием силы тяги двигателей, а формула для определения времени пассивного участка может учитывать более сложное разгоняющее действие силы гравитации Юпитера. В целом, формулы и вычисления будут адаптированы к специфическим условиям полёта на Юпитер. 1,1 км/с. Не считая импульсов коррекции, на траектории сообщается два импульса (в импульсном приближении): при разгоне с орбиты ожидания у Земли и при переходе на орбиту спутника или посадке на Луне, а как будет на Юпитере? Первый импульс меняется мало, DV1 = 3,126 – 3,224 км/с, при увеличении начальной энергии от минимальной до нулевой параболической. Во второй снизу и в последней строках для данной схемы приведена величина тормозного импульса DVf для перехода на круговую орбиту спутника высотой 100 км, DVf » 0,81 – 0,93 км/с для V¥ = 0,8 – 1,1 км/с. Оптимальным без учета коррекций будет плоский касательный перелет в апогей Лунной орбиты, а какой вид примет перелёт в апогей Юпитерской орбиты? По аналогии с обычным касательным двухимпульсным переходом в центральном поле такой перелет к Луне сейчас иногда называется также Гомановским перелетом. Как в данном случае следует назвать такой перелёт на Юпитер и какими формулами и вычислениями его описать? Какой вид они примут?
Отметим теперь, что если бы был осуществлен захват КА Луной и подлет к Луне проиcходил по эллипсу с апоселением, например, ra = 80 тыс. км, то скорость в периселении и импульс торможения уменьшатся, DVf » 0,65 км/с (или ~2,4км/с для посадки), что меньше на ~ 0,2 км/с импульса торможения для обычного «прямого» перелета. А как, используя метод экстраполяции, применить эти расчёты и вычисления для подлёта и посадки на Юпитер? Это может дать заметную экономию топлива и увеличение полезной массы. Например, пусть начальная масса перед посадкой m0 = 1000 кг, скорость истечения c = 2,9 км/с, масса конструкции m1 ~ 308 кг. Тогда при DV2 = 2,6 км/с масса топлива m2 ~ 592 кг, полезная масса mf = 100 кг. При уменьшении импульса до DV2 = 2,4 км/с масса топлива ~ 563 кг, и, при прежней конструкции, полезная масса mf » 129 кг, т.е. больше на ~ 30%. А как будет это выглядеть на Юпитере?
Поэтому важно для практики и интересно с теоретической точки зрения найти и исследовать траектории полета к Луне и Юпитеру с захватом точки на эллиптическую орбиту. Предварительно выполним, аналогично [10 - 12], анализ еще одной схемы полета к Луне в рамках системы Земля –Луна. А как это сделать в схеме Луна-Юпитер и Земля-Юпитер? Для перелета к Юпитеру с захватом точки на эллиптическую орбиту можно использовать метод экстраполяции известных расчетов и вычислений для подлета и посадки на Луну.

Начальная масса перед посадкой (m0), скорость истечения (c) и масса конструкции (m1) заданы. Известно, что при dv2 = 2,6 км/с масса топлива (m2) составляет около 592 кг, а полезная масса (mf) равна 100 кг.

Для расчетов с использованием метода экстраполяции, нужно определить величину уменьшения импульса торможения (dv2) до 2,4 км/с и проанализировать, как изменится масса топлива и полезная масса.
При уменьшении импульса до dv2 = 2,4 км/с, можно предположить, что масса топлива (m2) будет составлять около 563 кг. При прежней конструкции, полезная масса (mf) будет примерно 129 кг, что больше на 30% по сравнению с первоначальным значением.
Таким образом, перелет к Юпитеру с захватом точки на эллиптическую орбиту с использованием метода экстраполяции может привести к заметной экономии топлива и увеличению полезной массы, аналогично перелету к Луне. Однако точные формулы и вычисления для этого конкретного случая требуют дополнительных исследований. БИЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ТРАЕКТОРИИ ПОЛЕТА К ЛУНЕ В СИСТЕМЕ ЗЕМЛЯ – ЛУНА и к Юпитеру в системах Земля-Юпитер и Луна-Юпитер какой математический вид будут иметь?
3.1. Межорбитальные переходы в центральном поле
Для прояснения ситуации сначала рассмотрим основные типы плоских переходов между круговыми орбитами в центральном ньютоновском гравитационном поле.
Задача оптимизации перехода между орбитами встала перед учеными на заре космонавтики в связи с анализом проблемы перелета c Земли на Марс и Венеру. Будет ли эта проблема актуальная для полёта на Юпитер и как математически её рассчитать? Практически одновременно, в 20-х годах XX века, немецкий ученый В. Гоман и советский ученый Ф.А. Цандер показали, что в классе двухимпульсных плоских переходов между круговыми орбитами оптимальным по сумме величин импульсов является перелет по касательному эллипсу, см. рис. 3. Работы Ф.А. Цандера стали известны широкой научной общественности значительно позже, поэтому данный переход обычно называют Гомановским. А как его назвать при перелёте на Юпитер? В случае перелета между эллиптическими орбитами T0, Tf со свободной ориентацией линий апсид переходная орбита T соединяет перицентр внутренней орбиты, имеющей менее удаленный апоцентр, и апоцентр внешней орбиты. Если ra0 Для математического описания полета к Юпитеру методом экстраполяции можно использовать закон движения в центральном поле тяжести, который имеет вид:

r(θ) = a(1 - ε²) / (1 + εcos(θ - θ₀))

где r - радиус вектор, θ - истинная аномалия, a - большая полуось орбиты, ε - эксцентриситет орбиты, θ₀ - начальная истинная аномалия.

Для перехода между двумя эллиптическими орбитами с нефиксированными апсидальными линиями, формулы для вычисления радиуса и истинной аномалии могут быть сложнее и могут зависеть от конкретных условий полета (начальные условия, значения радиус-векторов, скоростей и т. д.).

Поэтому, для более точных вычислений и формул необходимо проводить специальное исследование на основе решения двухтелесной задачи о движении в центральном гравитационном поле для заданных условий полета к Юпитеру. Это может быть выполнено с применением численных методов, таких как методы интегрирования уравнений движения. А.А. Штернфельд затем открыл, что при большом отношении радиусов исходных круговых орбит T0, Tf указанный «классический» перелет по касательному эллипсу может уступать в энергетике т.н. биэллиптическому перелету, см. рис. 4. А как это будет на Юпитере по уравнению А.А. Штернфельда выглядеть в математических вычислениях? В этом случае используются две эллиптические орбиты: сначала КА отлетает с начальной орбиты T0 по первой переходной ор-бите T1 на расстояние ra, большее радиусов обеих исходных орбит (ra r0, ra rf), затем, после сообщения там некото-рого импульса DV2, летит по второй орбите T2 к конечной орбите Tf. Такой перелет А.А. Штернфельд получил сначала (в 1934 г.) для задачи спуска с орбиты [15], затем - для перехода между орбитами [16]. Рассмотрим характеристики перелета от Земли к Луне при использовании биэллиптических «обходных» траекторий. В случае перехода между эллиптическими орбитами ra max(ra0, raf), переходные орбиты T1 и T2 соединяют перицентры исходных орбит и удаленный апоцентр: rp1 = rp0, ra1 = ra2 = ra, rp2 = rpf. А.А. Штернфельд назвал такие перелеты «обходными». Можно ли их использовать для полёта на Юпитер и какой математический вид формул и уравнений они примут? В приложении к задаче перелета от Земли к Луне оптимальный прямой перелет к Луне будет моделироваться Гомановским касательным перелетом с околоземной круговой орбиты на орбиту Луны, при учете ее эллиптичности – в ее апогей. Как это будет выглядеть при полёте на Юпитер? При этом второй импульс этого перехода DV2 будет играть роль скорости на бесконечности (V¥= - DV2) для гиперболической орбиты селеноцентрического движения КА. Как это применить к вычислениям полёта на Юпитер? К сожалению, математические вычисления полета на Юпитер по уравнению А.А. Штернфельда предоставлены не были, поэтому невозможно обсудить их конкретные детали. Однако, в общих чертах можно рассмотреть принцип использования биэллиптических "обходных" траекторий для полета на Юпитер.

В таком случае, можно предположить, что будут использоваться две эллиптические орбиты. Сначала космический аппарат отлетит с начальной орбиты t0 по первой переходной орбите t1 на расстояние ra, которое будет больше радиусов обеих исходных орбит (ra r0, ra rf). Затем, после выполнения определенного маневра с помощью импульса dv2, аппарат летит по второй орбите t2 к конечной орбите tf. Такой перелет имеет название "биэллиптический перелет".
Для определения формул и уравнений, используемых в этом случае, необходимо провести детальный анализ и применить соответствующие законы движения и законы сохранения энергии и момента импульса. Конкретные выкладки и уравнения будут зависеть от выбранной модели и точных условий задачи.
Таким образом, для проведения вычислений и моделирования полета на Юпитер используется подход, основанный на биэллиптическом перелете и применении соответствующих математических методов и уравнений. Однако, конкретные формулы и алгоритмы рассчета не были предоставлены в данном тексте. Биэллиптический полет к Луне в модельной системе
Земля - Луна может ли быть применён к Юпитеру?
Для оценки характеристик биэллиптического полета к Луне полагаем, что сначала осуществляется перелет с круговой околоземной орбиты высотой H0 = 200 км в перигей орбиты Луны в центральном поле притяжения Земли. Последний импульс скорости этого перехода DV3 физически не сообщается, а станет, по величине, скоростью «на бесконечности», V¥ = - DV3, для гиперболической орбиты дальнейшего селеноцентрического подлета КА к Луне. Полагаем, что в периселении этой орбиты происходит переход на круговую орбиту спутника Луны высотой Hf = 100 км, импульс этого маневра торможения

DVf = (V¥2 + 2 mM / (RM + Hf))1/2 - (mM / (RM + Hf))1/2, (3.1)

здесь RM=1738 км–радиус Луны, mM=4902,65км3/c2 – ее гравитационная постоянная. Как эту формулу применить к полёту на Юпитер и какой вид она примет? Максимальное расстояние ra, достигаемое в точке приложения промежуточного импульса DV2, будет параметром задачи. В таблице 1, во втором столбце приведены основные характеристики данной схемы полеты для ra = (1,5 млн. км; 4 млн. км; ¥). Величина второго импульса DV2 = (0,27; 0,11; 0) км/с, величина конечного импульса DVf = (0,69; 0,70; 0,71) км/с, при этом скорость V¥ уменьшается до (0.25; 0.34; 0.4) км/c. Учитывая, что увеличение ra достигается небольшим изменением начального импульса DV1 и, более того, может быть обеспечено, в основном, пассивно, с помощью гравитационного маневра у Луны, будем сравнивать переходы этого семейства по сумме величин двух последних импульсов:

wf = DV2 + DVf. (3.2)

Получаем, что wf = (0,96; 0,81; 0,71) км/с, т.е. данный перелет экономичнее лучшего прямого перелета при ra 4 млн. км. Время перелета для данной схемы очень велико, Dt= (90; 350; ¥) сут для данных вариантов, не считая времени селеноцентрического полета. Как эти вычисления применить к описанию полёта на Юпитер и какой вид они примут?
Таким образом, биэллиптическая схема полета к Луне, в принципе, при большом расстоянии отлета от Земли позволяет уменьшить энергетику полета. Однако, так как при таких больших расстояниях от Земли велико влияние возмущения от Солнца, в чистом виде эта схема полета нереальна, следует рассмотреть движение КА Земля - Луна - Солнце. А какой вид эта схема примет для математического описания полёта на Юпитер? Для математического описания полета к Юпитеру в модельной системе Земля-Луна можно использовать ту же биэллиптическую схему, но с соответствующими характеристиками и параметрами, аналогичными тем, которые указаны для полета к Луне. Однако следует учесть, что влияние возмущений от Солнца может быть значительным при таком большом расстоянии от Земли, поэтому для более точного описания движения космического аппарата на пути к Юпитеру необходимо учитывать взаимодействие Земля-Луна-Солнце. Это может потребовать более сложных математических моделей и расчетов. АНАЛИЗ «ОБХОДНОГО» ПОЛЕТА КА В СИСТЕМЕ
ЗЕМЛЯ – ЛУНА - СОЛНЦЕ

 

4.1. Схема и основные особенности «обходного» полета
от Земли к Луне

 

Рассматривая идею биэллиптического перелета к Луне в рамках реальной системы Земля – Луна – Солнце, получаем прежнюю схему полета, рис. 4. Сначала КА разгоняется с начальной околоземной орбиты и выходит на сильно вытянутую эллиптическую орбиту (при этом может быть гравитационный маневр у Луны для уменьшения импульса DV₁). После пролета апогея, где, может быть, сообщается промежуточный импульс DV₂, поднимающий, вместе с Солнечными возмущениями, перигей до Лунной орбиты, КА движется к Лунной орбите. Затем осуществляется сближение с Луной, и, если нужно, торможение для перехода на орбиту спутника Луны или для посадки.

Рассматривая в рамках реального силового поля эту схему полета с учетом полученных выше, в п. 3, характеристик модельной схемы полета, отметим некоторые особенности данного «обходного» полета.

Во-первых, интересно понять, можно ли увеличить перигейное расстояние орбиты КА до радиуса лунной орбиты с помощью, в основном, солнечной гравитации. При положительном ответе второй импульс исчезает (или существенно уменьшается), тогда значительно уменьшается энергетика полета (на ~ 0,2 – 0,3 км/с).

Далее, характерным для биэллиптического перелета является существенно меньшая (по сравнению с прямым полетом) скорость V_¥. Встает вопрос, нельзя ли погасить гравитацией Земли энергию селеноцентрического гиперболического движения КА и осуществить захват КА Луной, пусть даже временный. Это еще уменьшит энергетику полета и снимет ряд геометрических ограничений на ориентацию орбиты подлета к Луне. Отметим, что с этой точки зрения выгодно иметь орбиты с минимально возможным апогеем  r_a, это уменьшит скорость V_¥ и время полета.

Сделаем оценки указанных влияний гравитационных возмущений Солнца и Земли.

 

4.2. Оценка влияния гравитации Солнца на перигей орбиты КА

 

Для оценки влияния солнечных возмущения на перигей орбиты КА применим результаты М.Л. Лидова [17]. В этом методе определяются возмущения Dq_ij, причем i = 1 и i = 2 соответсвуют линейному и квадратичному членам в разложении возмущающего ускорения, а j = 1 и j = 2 соответствуют неподвижному и переменному положению возмущающего тела.

Аналогично [17, 18], оценим изменение перигея геоцентрической орбиты КА за промежуток времени от отлета с начальной орбиты до подлета к Лунной орбите в рамках первого приближения, как возмущение от Солнца за виток орбиты КА:

 

Dr_p = - a De₁₁ » (15 / 2) p (m_S / m_E) (a / r_S)³ a e (1 – e²)^1/2 b₃^'.                        (4.1)

 

Здесь: m_E, m_S – гравитационные параметры Земли и Солнца; r_S – расстояние до Солнца; a, e – элементы орбиты КА;

 

b₃^'= cos² g sin 2a,                                                                                           (4.2)

 

g - угол наклона радиус-вектора Солнца к плоскости орбиты КА, a - угол между проекцией на эту плоскость и направлением на перицентр орбиты КА, |b₃^'| £ 1. Получаем, аналогично [17, 18, 12], что для увеличения r_p должно быть sin 2a  0, 0 a p/2, p a p/2. Преобразуем (4.1), учитывая, что 1- e = r_p / a, полагая для данной орбиты e » 1, 1- e² » 2 r_p / a и принимая в качестве r_p среднее значение

 

r_p = (2r₀ + Dr_p) / 2 » Dr_p / 2.                                                                           (4.3)

 

Тогда

 

Dr_p » ((15 / 2) p (m_S /m_E) b₃^')² a⁷ / r_S⁶,                                                             (4.4)

 

или

 

a » [Dr_p r_S⁶ / ((15/2) p (m_S / m_E)b₃^')²]^1/7.                                                          (4.5)

 

Для оценки значения большой полуоси орбиты КА, приводящей к необходимому поднятию ее перигея, полагаем Dr_p = 500 тыс. км. Тогда a » 0,71 млн. км, r_a = 1,2 млн. км при b₃^' = 1; a » 0,87 млн. км, r_a = 1,5 млн. км при b₃^' = 0,5.

Таким образом, оценка влияния гравитации Солнца на перигей орбиты КА показывает, что отлет КА на расстояние r_a » (1,2 – 1,5) млн. км при подходящей ориентации Солнца относительно линии апсид обиты КА позволяет осуществить пассивное увеличение перигейного расстояния орбиты КА до радиуса лунной орбиты. Численные расчеты движения КА соответствуют эти оценкам.

Заметим, что оценка дополнительного изменения перигея за счет члена D₁₂a дает существенно меньшую величину, чем (4.4).

 

 

4.3. Оценка влияния гравитации Земли на гашение энергии селеноцентрического гиперболического движения КА

Для оценки влияния гравитации Земли на гашение энергии селеноцентрического гиперболического движения КА при его подлете к Луне рассмотрим простейшую модель радиального движения КА. На рис. 5

 

приведена схема этого движения КА к Луне. Здесь E, M – центры масс Земли,

Луны, EM  = r_M – радиус-вектор Луны относительно Земли, P – положение КА, MP = r, V – селеноцентрические радиус-вектор и вектор скорости КА. Полагаем, что скорость V направлена к Луне и dr / dt = - V 

Возмущающее ускорение Земли

 

a =a_P–a_M = -(m_E / (r_M + r)²)((r_M + r) / (r_M + r)) + (m_E / r_M²)(r_M / r_M).          (4.6)

          

Здесь a_p, a_M – ускорения притяжения Землей КА и Луны. Так как a_M  a_P, то возмущение a будет направлено противоположно скорости V и будет тормозить движение КА. Величина возмущения

 

a = a_M – a_P = m_E / r_M² - m_E / (r_M + r)².                                                           (4.7)

 

Энергия движения относительно Луны

 

E = V² / 2 - m_M /r.                                                                                          (4.8)

 

 

Ее изменение определяется уравнением:

 

dE /dt º (dE / dr) (dr / dt) º - V dE / dr = V dV/ dt = -V a,

т.е.

 

dE / dr = a = m_E / r_M² - m_E / (r_M + r)².                                                            (4.9)

 

Полагаем r_M = const, тогда

 

E = (m_E /r_M²) (r - r_E) + m_E / (r_M + r) -  m_E / (r_M + r_*).                                  (4.10)

 

Здесь r_* - расстояние до Луны при захвате:

 

E(r_*) = 0.                                                                                                      (4.11)

 

Анализ "обходного" полета к Луне в системе Земля-Луна-Солнце имеет следующие основные особенности:

1. Полет начинается с разгона КА с околоземной орбиты, после чего он выходит на сильно вытянутую эллиптическую орбиту. В процессе этого разгона может быть выполнен гравитационный маневр у Луны для снижения изменения скорости.

2. После прохождения апогея происходит сближение с Луной и выполнение необходимых маневров для входа на лунную орбиту либо для посадки на поверхность спутника.

3. Одна из особенностей такого полета - возможность использования солнечной гравитации для увеличения перигейного расстояния орбиты КА до радиуса лунной орбиты. Это позволяет существенно снизить энергетические затраты на полет.

4. Еще одна особенность состоит в том, что скорость КА в биэллиптическом полете значительно меньше, чем в прямом полете. Возникает вопрос о том, можно ли использовать гравитацию Земли для гашения энергии селеноцентрического гиперболического движения КА и захвата его Луной. Это позволило бы снизить энергетические затраты и снять ограничения на ориентацию орбиты полета.

5. Для оценки влияния гравитации Солнца на перигей орбиты КА используется метод, разработанный М.Л. Лидовым. Для увеличения перигея необходимо, чтобы синус двух углов в определенных интервалах был положительным. Оценки показывают возможность достижения значительного увеличения перигейного расстояния орбиты.

6. Аналогично, для оценки влияния гравитации Земли на гашение энергии селеноцентрического гиперболического движения КА при подлете к Луне рассматривается модель радиального движения. Возмущающее ускорение Земли определяется как разность между ускорениями, вызванными Землей и Луной.

В целом, такой «обходный» полет к Луне в системе Земля-Луна-Солнце имеет ряд уникальных особенностей, которые позволяют сократить энергетические затраты на полет и обеспечить эффективное использование гравитации планет и спутников для маневрирования. В дальнейшем, эти анализ и оценки будут полезны при планировании полетов на другие планеты, например, Юпитер.

Разлагая (4.10) в ряд по степеням (r - r*), получим в квадратичном приближении:

 

E » a (r - r*) – aP (r -r*)2/ (rM + r).                                                            (4.12)

 

Отсюда следует, что

 

r* @ r - (rM + r) [(a/2 ap) – ((a/2 ap)2 – E / aP / (rM + r))1/2].                        (4.13)

 

Рассмотрим численный пример. Пусть V¥ = 0,41 км/с, r = 161 тыс. км, rM = 390 тыс. км. Тогда (4.13) дает r - r* = 74 тыс. км, а r* = 87 тыс. км. При этом a » 1,3×10-6 км/с2. Время достижения нулевой энергии Dt* » 3,6 сут. «Точный» численный расчет траектории движения КА в системе Земля –Луна – Солнце показал, что захват Луной происходит даже быстрее: r* » 105 тыс. км, а Dt* »2,7 сут.

Таким образом, гравитация Земли позволяет для данного класса орбит осуществить гашение гиперболической скорости движения КА относительно Луны и осуществить захват Луной КА.

 

4.4. Оценка влияния гравитации Земли при эволюции на конечную эллиптическую орбиту у Земли

 

Оценим влияние гравитации Земли на уменьшение энергии движения КА относительно Луны от нулевой до значения, соответствующего конечной эллиптической орбите. Пусть в конце перелета КА находится у Луны в периселении орбиты, для которой высота периселения Hpf = 100 км. Оскулирующее расстояние в апоселении raf » 70 тыс. км, т.е. большая полуось af » 35 тыс. км, энергия Ef » - 0.07 км2/с2.

Согласно [17], в линейном приближении изменение большой полуоси за виток орбиты КА

 

D12 a = - (3/2) (mE / mM) (a / rM)3 a T b12.                                                     (4.14)

 

Здесь b12 = e (e + 4) (db2 / dt - db6 / dt / 3) + (2 e2 + 4 e -1) (db1 / dt - db2/dt), b1 =  x12 DM3, b2 = x22 DM3, b6 = DM3, DM = 1 + eM cosn, x1 = cosgE cos aE, x2 = cosgE sin aE, gE, aE – углы, определяющие ориентацию радиус-вектора Земли относительно орбиты КА, T – период орбиты КА. Полагаем приближенно, что эксцентриситет Лунной орбиты eM = 0, e = 1, dgE / dt = 0. Тогда

 

D12a » (15/2) (mE / mM) (a / rM)3 a T b3' nM,                                                 (4.15)

 

где b3’ дано в (4.2), nM = 2p / TM – угловая скорость орбитального движения Луны. Переходим от большой полуоси a к энергии E, тогда получим

 

DE @ (15/2) p mE (-mM /2 E rM)3 nM b3' / (-2 E)-1/2.                                       (4.16)

 

Положим, что среднее значение энергии E » DE / 2. Тогда

 

DE @ sign (b3') ((15/2) p mE (mM / rM)3 nM  |b3'|)2/9.                                      (4.17)

 

Оценка (4.17) дает DE = - 0,11 км2 / с2 при b3’ = -1, DE = - 0,09 км2 / с2 при b3’ = -0,5. Следовательно, оценка возмущения Землей показывает, что необходимое уменьшение энергии до Ef = - 0,07 км2 / с2 может быть обеспечено с помощью гравитации Земли примерно за виток орбиты спутника при ее хорошей ориентации. Отметим, что в данном случае, в отличие от п. 4.2, где поднимался перигей и требовалось положительное значение b3’, теперь необходима отрицательная величина b3’, что отмечено в .

Суммируя результаты анализа в п. 4.2, 4.3, 4.4, видим, что есть принципиальная возможность реализации «обходного» полета от Земли к Луне с захватом КА Луной на указанную эллиптическую орбиту. Численные расчеты траекторий подтверждают этот вывод. Сначала, почти одновременно, американские и японские ученые получили «обходные» траектории полета к Луне , причем японские ученые реализовали такой полет в проекте Hiten. Недавно европейские ученые также получили траектории данной схемы . Ниже приводятся характеристики некоторых полученных автором траекторий. Математическое моделирование и описание полета на Юпитер будут основаны на законах гравитации и движения небесных тел. При расчетах будут использованы следующие формулы:

1. Закон всемирного тяготения:
F = G * m1 * m2 / r^2

Где F - сила гравитационного взаимодействия между двумя телами, G - гравитационная постоянная, m1 и m2 - массы тел, r - расстояние между телами.

2. Второй закон Ньютона:
F = m * a

Где F - сила, действующая на тело массой m, a - ускорение тела.

3. Формулы для описания орбиты планеты или спутника:
a = (GM) / (r^2)
T = 2π * √((a^3) / GM)

Где a - большая полуось орбиты, G - гравитационная постоянная, M - масса центрального тела (например, Юпитера), r - расстояние от центрального тела до планеты или спутника, T - период обращения планеты или спутника вокруг центрального тела.

4. Уравнение движения:
r'' = -GM * r / |r|^3

Где r'' - вектор ускорения, G - гравитационная постоянная, M - масса центрального тела, r - вектор положения.

5. Формулы для расчета энергии и скорости:
E = -GM * m / (2r)
v = √(GM * (2 / r - 1 / a))

Где E - энергия движения, v - скорость, G - гравитационная постоянная, M - масса центрального тела, m - масса планеты или спутника, r - расстояние до центрального тела, a - большая полуось орбиты.

На основе этих формул и законов можно проводить математические расчеты и моделирование полета на Юпитер, учитывая начальные условия и заданные параметры, такие как массы тел, начальные скорости и положения.

 ЧИСЛЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТРАЕКТОРИЙ «ОБХОДНОГО» ПОЛЕТА К ЛУНЕ

 

5.1. Модель расчета траектории

 

Траектория полета КА определяется численным интегрированием системы дифференциальных уравнений движения точки в невращающейся геоэкваториальной геоцентрической системе прямоугольных координат в поле притяжения Земли, Луны и Солнца с учетом главной гармоники С₂₀. Эта система уравнений имеет вид:

 

dr / dt = V, dV / dt = - m_E r / r³ + a_E + a_M + a_S.                                             (5.1)

 

Здесь r, v – радиус-вектор и вектор скорости КА, r = |r|, a_E , a_M , a_S – возмущающие ускорения, вызванные нецентральностью поля тяготения Земли, притяжением Луны, Солнца [19]. Интегрирование системы (5.1) производится методом ИПМ им. М.В.Келдыша РАН [20], с определением координат Луны и Солнца по JPL – эфемеридам DE403. При этом используется среднее равнодействие и средний геоэкватор стандартной эпохи J2000.0. Расчет ведется с двойной точностью.

 

5.2. Характеристики «обходного» полета к Луне

 

Приведем некоторые характеристики двух из полученных автором траекторий «обходного» полета от Земли к Луне. Для одной траектории (T₁) осуществляется довольно быстрый захват КА Луной, для другой (T₂) сравнительно долгий.

На рис. 6 - 10 приведены характеристики первого варианта. Рис. 6 дает проекцию геоцентрической траектории на плоскость XY. Отлет от Земли (r_p0 » 6578 км) происходит 1.1.1997 г. КА отлетает от Земли на расстояние r_max » r_amax » 1,54×10⁶ км. После этого КА летит к Луне, при этом перигейное расстояние под влиянием Солнечной гравитации увеличивается до r_p » 480 тыс. км, большая полуось достигает значения a » 890 тыс.км, затем уменьшается. После подлета КА к Луне на расстояние r » 182 тыс. км в течение ~ 2,6 сут его селеноцентрическая скорость V_¥ уменьшается от ~ 0,4 км/с до 0 при r » 105 тыс. км. Далее, в течение ~ 14 сут. происходит эволюция окололунной эллиптической орбиты. Через ~ 130,5 сут. полета КА приходит в периселений конечной орбиты, для которой r_pf = 1838 км, r_af = 75072 км, а_f = 38455 км, i = 90⁰, W = -45⁰ (относительно геоэкваториальной селеноцентрической системы координат). Полет является полностью пассивным после отлета от Земли. Основные характеристики траекторий этого типа приведены в третьем столбце таблицы 1 (стр. 9).

 

 

 

 

 

 

          Рис. 6. Геоцентрическая траектория Т₁ полета от Земли к Луне

                     в проекции на плоскость XY.

 

На рис. 6 отмечены точки достижения максимального расстояния от Земли r_max , направление на Солнце в этот момент, моменты достижения максимального перигейного расстояния r_pmax = r_pmax и максимальной (до сближения с Луной) большой полуоси a_max. Здесь же отмечены точки, соответствующие определенной скорости на бесконечности V_¥=V_h.

 

 

 

 

 

На рис. 7 приведены для данной траектории Т₁ зависимости от времени расстояния до Земли r(t), большой полуоси a(t), апогейного расстояния r_a=r_a (t), перигейного расстояния r_p=r_p(t) для начальной части геоцентрического полета до сближения с Луной. На кривых даны точки, соответствующие началу захвата, V_¥ = 0.

 

 

 

                На рис. 8 приведена селеноцентрическая траектория полета для второй, окололунной фазы полета, в проекциях на плоскости XY, XZ. Здесь отмечены у Луны точка, соответствующая концу полета, и точки, соответствующие определенной величине скорости на бесконечности V_¥ = V_h. Отмечено также направление на Землю в начале захвата, при V_¥=0.

 

 

 

 

 

На рис. 9 дана зависимость от времени константы селеноцентрической энергии h = 2E для этой части траектории. Отмечена точка начала захвата, E = 0. Конечная энергия соответствует приходу в периселений конечной эллиптической окололунной орбиты.

 

 

 

 

 

 

На рис. 10 дано продолжение селеноцентрической траектории полета КА за конечную точку, если бы там не произошло торможение КА. Через ~ 37 сут. КА опять  приобретет положительную энергию, захват будет закончен.

На рис. 11 – 15 приведены некоторые характеристики для другой траектории, T₂, с более длительным захватом. В данном случае отлет происходит 20.1.2001. Максимальное расстояние отлета от Земли r_max » r_amax » 1,3 млн. км, максимальное перигейное расстояние r_pmax » 510 тыс. км, максимальная большая полуось до сближения с Луной a_max » 876 тыс. км, время полета ~ 111 сут., время захвата ~ 28 сут. При уменьшении скорости на бесконечности с ~0.4 км/с до 0 расстояние до Луны уменьшается с ~ 161 тыс. км. до ~ 105 тыс.км.

 

 

На рис. 11 дана проекция на плоскость XY геоцентрической траектории T₂ полета КА. Здесь отмечены точки достижения максимального расстояния от Земли r_max , направление на Солнце в этот момент, моменты достижения максимального перигейного расстояния r_p max   и максимальной (до сближения с Луной) большой полуоси a_max. Здесь же отмечены точки, соответствующие определенной скорости на бесконечности V_¥=V_h.

 

 

 

 

Рис. 12. Заключительная часть селеноцентрической траектории Т₂ полета

             к Луне в проекции на плоскость XY.

 

Рис. 12 представляет селеноцентрический полет для заключительной части траектории, фазы захвата, в проекции на плоскость XY. Точкой отмечено направление на Землю в момент начала захвата КА Луной.

 

 

Рис. 13. Заключительная часть селеноцентрической траектории Т₂ полета

             к Луне в проекции на плоскость XZ.

 

На рис. 13 для данной траектории представлена проекция на плоскость XZ этой заключительной фазы полета к Луне – фазы захвата КА Луной. В конце движения фактически видна половина витка конечной орбиты, ортогональной плоскости XY.

 

 

 

 

     Рис. 14. Зависимость селеноцентрической константы энергии h =2E от

                    времени для заключительной фазы полета при захвате Луной.

 

          Рис. 14 представляет зависимость от времени механической энергии селеноцентрического движения КА на заключительной фазе полета при захвате Луной до достижения периселения конечной орбиты. Точкой отмечен момент начала захвата, E(t)=0.

 

 

 

 

                Рис. 15. Геоцентрическое продолжение траектории Т₂ за конечный

                                периселений

 

На рис. 15 дано геоцентрическое продолжение этой траектории за конечную точку (при условии отсутствия в ней торможения). Следовательно, данный захват тоже временный, он продолжается ~ 42 сут.

Анализ численных результатов полного моделирования движения КА в системе Земля –Луна – Солнце показывает, что они хорошо соответствуют качественным аналитическим оценкам, выполненным в п. 4. Для моделирования полета к Юпитеру можно использовать ту же систему дифференциальных уравнений движения точки, которая была использована для полета к Луне. Различие будет только в учете дополнительных возмущающих ускорений, вызванных гравитацией Юпитера.

В уравнении (5.1) заменим возмущающие ускорения ae, am, as на возмущающие ускорения, вызванные гравитацией Юпитера, обозначенные aj. Таким образом, система уравнений будет иметь вид:

dr / dt = v,
dv / dt = - me r / r^3 + aj.

Для численного интегрирования этой системы можно использовать тот же метод, что и для полета к Луне, с той разницей, что необходимо использовать эфемериды JPL, указывающие положения Юпитера в пространстве. Формула Эйлера – это математическое равенство, которое связывает комплексные числа, тригонометрические функции и экспоненту.

Формула Эйлера имеет следующий вид:

e^(i * theta) = cos(theta) + i * sin(theta)

где e – основание натурального логарифма, i – мнимая единица, theta – угол в радианах.

Эта формула устанавливает связь между экспонентой и тригонометрическими функциями с помощью комплексных чисел.

С помощью формулы Эйлера можно представить комплексные числа в тригонометрической форме, а также вычислять их степени и корни. Как применить эту формулу к расчётам полёта на Юпитер? Какой она примет вид? Как будет выглядеть уравнение комплексных чисел, описывающее полёт на Юпитер? Формула Эйлера будет иметь следующий вид в контексте расчётов полёта на Юпитер:

e^(i * ϴ) = cos(ϴ) + i * sin(ϴ)

где ϴ - угол, описывающий положение в пространстве на пути к Юпитеру.

Уравнение комплексных чисел, описывающее полёт на Юпитер, может быть представлено следующим образом:

z = r * e^(i * ϴ)

где z - комплексное число, описывающее положение объекта на пути к Юпитеру,
r - радиус-вектор, определяющий расстояние от объекта до центра координатной системы,
ϴ - фазовый угол, определяющий положение объекта в пространстве.

Доказательство формулы Эйлера. Как их применить к математическому доказательству возможности полёта на Юпитер?
Для доказательства формулы Эйлера воспользуемся рядом Тейлора для функций sin(x) и cos(x).

Ряд Тейлора для функции sin(x) имеет вид:

sin(x) = x – (x^3)/3! + (x^5)/5! – (x^7)/7! + …

Ряд Тейлора для функции cos(x) имеет вид:

cos(x) = 1 – (x^2)/2! + (x^4)/4! – (x^6)/6! + …

Заметим, что ряды для sin(x) и cos(x) являются альтернирующимися рядами, то есть знаки членов чередуются.

Теперь рассмотрим выражение e^(i * x), где i – мнимая единица, x – угол в радианах.

По определению экспоненты, e^x = 1 + x + (x^2)/2! + (x^3)/3! + (x^4)/4! + …

Подставим в это выражение i * x:

e^(i * x) = 1 + (i * x) + ((i * x)^2)/2! + ((i * x)^3)/3! + ((i * x)^4)/4! + …

Раскроем степени i:

e^(i * x) = 1 + i * x – (x^2)/2! – i * (x^3)/3! + (x^4)/4! + i * (x^5)/5! – …

Разделим это выражение на две части – действительную и мнимую:

e^(i * x) = (1 – (x^2)/2! + (x^4)/4! – …) + i * (x – (x^3)/3! + (x^5)/5! – …)

Заметим, что первая часть этого выражения совпадает с рядом Тейлора для cos(x), а вторая часть совпадает с рядом Тейлора для sin(x).

Таким образом, мы получаем:

e^(i * x) = cos(x) + i * sin(x)

что и является формулой Эйлера. Какой вид примут эти доказательства при перенесении их методом экстраполяции на доказательство возможности и вероятности успешных полётов на Юпитер, вычисленных методом математического моделирования? Какой математический вид эти доказательства примут при описании возможности успешных полётов на Юпитер?

Доказательство формулы Эйлера, основанное на ряде Тейлора, не может быть применено напрямую для доказательства возможности полета на Юпитер с использованием математического моделирования.

При описании возможности успешных полетов на Юпитер необходимо провести детальное анализ условий и ограничений, таких как расстояние до Юпитера, гравитационное взаимодействие, требования к скорости, топливу и т. д.

Эти доказательства будут иметь отличный от формулы Эйлера математический вид, включая использование законов гравитации, механики, аэродинамики и других дисциплин, чтобы определить силы, напряжения и требуемые ресурсы для полета на Юпитер.

Эти доказательства включают создание численных моделей и компьютерных симуляций с учетом различных факторов, таких как орбитальная механика, атмосферные условия и многое другое. Свойства формулы Эйлера

Сложение и вычитание комплексных чисел в тригонометрической форме

Пусть у нас есть два комплексных числа в тригонометрической форме:

z1 = r1 * (cos(θ1) + i * sin(θ1))

z2 = r2 * (cos(θ2) + i * sin(θ2))

Тогда их сумма и разность будут:

z1 + z2 = (r1 * cos(θ1) + r2 * cos(θ2)) + i * (r1 * sin(θ1) + r2 * sin(θ2))

z1 – z2 = (r1 * cos(θ1) – r2 * cos(θ2)) + i * (r1 * sin(θ1) – r2 * sin(θ2))

То есть, при сложении и вычитании комплексных чисел в тригонометрической форме, мы просто складываем или вычитаем соответствующие действительные и мнимые части.

Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме

Пусть у нас есть два комплексных числа в тригонометрической форме:

z1 = r1 * (cos(θ1) + i * sin(θ1))

z2 = r2 * (cos(θ2) + i * sin(θ2))

Тогда их произведение будет:

z1 * z2 = r1 * r2 * (cos(θ1 + θ2) + i * sin(θ1 + θ2))

То есть, при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме, мы перемножаем их модули и складываем аргументы.

Возведение комплексного числа в степень

Пусть у нас есть комплексное число в тригонометрической форме:

z = r * (cos(θ) + i * sin(θ))

Тогда его возведение в степень n будет:

z^n = r^n * (cos(nθ) + i * sin(nθ))

То есть, при возведении комплексного числа в степень, мы возводим его модуль в степень и умножаем аргумент на степень.

Корни комплексного числа

Пусть у нас есть комплексное число в тригонометрической форме:

z = r * (cos(θ) + i * sin(θ))

Тогда его корни степени n будут:

√z = √r * (cos(θ/n) + i * sin(θ/n))

То есть, чтобы найти корни комплексного числа, мы извлекаем корень из его модуля и делим аргумент на степень. Формула Муавра и извлечение корней Основная статья: Формула Муавра Эта формула помогает возводить в целую степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид^]:

��=[�(cos⁡�+�sin⁡�)]�=��(cos⁡��+�sin⁡��),

где �  — модуль, а �  — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 году. Приведённая формула справедлива при любом целом � , не обязательно положительном.

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней � -й степени из ненулевого комплексного числа:

�1/�=[�(cos⁡(�+2��)+�sin⁡(�+2��))]1/�==��(cos⁡�+2���+�sin⁡�+2���),

Корни пятой степени из единицы (вершины пятиугольника)

где k принимает все целые значения от �=0  до �=�−1 . Это значит, что корни � -й степени из ненулевого комплексного числа существуют для любого натурального �,  и их количество равно � . На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного � -угольника, вписанного в окружность радиуса ��  с центром в начале координат (см. рисунок).

Главное значение корня

Если в формуле Муавра в качестве аргумента �  выбрано его главное значение, то значение корня при �=0  называется главным значением корня. Например, главное значение числа 2+11�3  равно 2+�.

Квадратный корень

Для извлечения квадратного корня из комплексного числа можно преобразовать это число в тригонометрическую форму и воспользоваться формулой Муавра для �=2.  Но существует и чисто алгебраическое представление для двух значений корня. При �≠0  корнями из числа �+��  является пара чисел: ±(�+��),  где^]:

�=�+�2+�22,

�=sgn⁡(�)−�+�2+�22.

Здесь sgn  — функция «знак», а радикалы обозначают обычный арифметический корень из неотрицательного вещественного числа. Формула легко проверяется возведением �+��  в квадрат. Число �+��  является главным значением квадратного корня.

Пример: для квадратного корня из 3+4�  формулы дают два значения: 2+�;−2−�.

Свойства формулы Эйлера, описанные выше, могут быть применены для вычисления и моделирования полетов на Юпитер путем представления положения и скорости космического корабля в комплексной числовой форме и применения операций с ними.

Для моделирования полетов на Юпитер можно представить положение и скорость космического корабля как комплексные числа в тригонометрической форме, где модуль соответствует расстоянию, а аргумент - направлению относительно некоторого исходного положения.

Применение сложения и вычитания комплексных чисел позволяет моделировать перемещение космического корабля на Юпитере в различные точки и его перемещение относительно других объектов на планете.

Умножение комплексных чисел можно использовать для моделирования изменения скорости космического корабля и воздействия гравитации Юпитера. Перемножение модулей комплексных чисел позволит учитывать ускорение или замедление, а сложение аргументов будет учитывать влияние гравитационного поля планеты на направление полета.

Возведение комплексного числа в степень можно применять для моделирования изменения траектории полета космического корабля. Умножение модуля на степень позволит учитывать изменение расстояния до центра планеты, а умножение аргумента на степень обеспечит изменение направления движения.

Корни комплексного числа можно использовать для моделирования различных маневров и поворотов космического корабля на Юпитере. Вычисление корней степени n позволит представлять различные возможные положения и направления движения космического корабля.

Для вычисления и моделирования полетов на Юпитер, данные вычисления могут быть представлены в виде формулы Эйлера и применены для расчета перемещения, скорости, изменения траектории и маневров космического корабля на планете. В итоге, данные вычисления могут быть использованы для построения трехмерной модели полета космического корабля на Юпитере и предсказания его поведения в различных условиях. Примеры применения формулы Эйлера

Вычисление тригонометрических функций

Формула Эйлера позволяет выразить тригонометрические функции с помощью комплексных чисел. Например, для любого угла θ:

cos(θ) = Re(e^(iθ))

sin(θ) = Im(e^(iθ))

Таким образом, мы можем использовать формулу Эйлера для вычисления значений тригонометрических функций.

Решение дифференциальных уравнений

Формула Эйлера также может быть использована для решения дифференциальных уравнений. Предположим, у нас есть дифференциальное уравнение вида:

y” + a * y’ + b * y = 0

Мы можем представить решение этого уравнения в виде:

y = e^(rt)

Подставив это выражение в уравнение, мы получим:

r^2 + a * r + b = 0

Это уравнение можно решить с помощью формулы дискриминанта. Найдя значения r, мы можем выразить решение дифференциального уравнения с помощью формулы Эйлера.

Преобразование сигналов

Формула Эйлера также широко используется в области сигналов и систем. Она позволяет представить сигналы в комплексной форме и производить с ними различные операции, такие как умножение, суммирование и фильтрация.

Например, преобразование Фурье, которое используется для анализа и обработки сигналов, основано на формуле Эйлера. Оно позволяет разложить сигнал на сумму гармонических компонент, представленных в комплексной форме.

Таким образом, формула Эйлера играет важную роль в обработке сигналов и позволяет анализировать и модифицировать различные типы сигналов.
Таким образом, основные шаги для моделирования полета к Юпитеру будут следующими:

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений (5.1) с учетом возмущающих ускорений, вызванных гравитацией Юпитера (aj). Для этого можно использовать метод ипм им. м.в.келдыша ран или другие численные методы.

2. Определение координат Юпитера по эфемеридам JPL. Это позволит учесть точное положение Юпитера в пространстве на каждом шаге интегрирования.

3. Расчет траектории полета к Юпитеру с учетом действия всех гравитационных возмущений и определенных начальных условий (начальное положение и скорость).

4. Анализ полученных характеристик траектории, таких как расстояние до Юпитера, большая полуось, перигейное и апогейное расстояния и т.д. Эти характеристики могут быть использованы для определения оптимальной траектории полета и планирования маневров.

Результаты моделирования полета к Луне исследователем могут быть использованы для определения начальных условий полета к Юпитеру. Например, можно использовать значения начальной скорости, полученные при моделировании полета к Луне, и внести корректировки, чтобы адаптировать их для полета к Юпитеру.

Таким образом, метод экстраполяции результатов моделирования полета к Луне может быть применен для моделирования полета к Юпитеру, с определенными корректировками, связанными с учетом возмущающих ускорений, вызванных гравитацией Юпитера и определением его точного положения в пространстве.

Заключение:
Математическое моделирование полётов к Юпитеру играет ключевую роль в исследовании этой уникальной планеты и обеспечивает безопасность экипажей. Оно позволяет учёным и инженерам анализировать и прогнозировать различные аспекты полётов, такие как гравитация, атмосфера и радиация, а также разрабатывать оптимальные маршруты и условия для экипажей. Благодаря математическому моделированию, человечество может добраться до новых горизонтов и расширить свои познания о вселенной. На основании выводов о траекториях полета на Луну, можно экстраполировать эти выводы на моделирование полетов на Юпитер:

1. Анализ особенностей траекторий полета на Луну может быть использован для определения траекторий полетов на Юпитер. Основываясь на данном анализе, можно вычислить оптимальные траектории для полета к планете.

2. Исследование гравитационных возмущений на траекториях полета к Луне может быть расширено на анализ влияния гравитационных сил на полеты к Юпитеру. Это позволит определить дополнительные подходы для сохранения энергии и улучшения эффективности полета к планете.

3. Численный анализ, использованный для моделирования полетов к Луне, может быть применен для создания численных алгоритмов для вычисления полетов на Юпитер. Например, на основе этого анализа можно разработать алгоритм для определения оптимальной траектории, включающей временный захват Юпитером, для достижения искусственного спутника планеты или посадке на ее поверхность.

4. Процесс подготовки препринта для печати, описанный в работе, может быть применен к моделированию полетов на Юпитер. Это позволит создать препринт с описанием числового алгоритма и результатами моделирования, которые могут быть опубликованы в научных журналах. Для вычисления и моделирования полётов на Юпитер формула Эйлера может быть применена для решения дифференциальных уравнений, описывающих движение объекта в пространстве. Кроме того, она может использоваться для представления и обработки сигналов, таких как данные о положении и скорости объекта.

Например, при моделировании полёта на Юпитер можно использовать дифференциальные уравнения, описывающие движение объекта под действием гравитации и других сил. Формулу Эйлера можно применить для нахождения численных решений этих уравнений, выразив координаты и скорости объекта с помощью комплексных чисел.

Кроме того, преобразования Фурье могут быть использованы для анализа сигналов, представляющих данные о положении и скорости объекта при полёте на Юпитер. Это может помочь в определении основных частот и амплитуд различных компонент движения, а также в фильтрации шумов и артефактов в сигналах.

Таким образом, формула Эйлера и преобразования Фурье могут быть использованы при вычислении и описании моделирования полётов на Юпитер для анализа и обработки данных о движении объекта. Они позволяют получить численные решения дифференциальных уравнений и анализировать спектральные характеристики сигналов, представляющих данные о полёте.

Литература и источники

 

1.     Егоров В.А. О некоторых задачах динамики полета к Луне. – Успехи физических наук, т. 63, вып. 1а, 1957, 73 – 117.

2.     Егоров В.А. К вопросу о захвате в ограниченной круговой проблеме трех точек. – ИСЗ, 1959, вып. 3.

3.     Егоров В.А. Пространственная задача достижения Луны. – М.: Наука, 1965.

4.     Егоров В.А., Гусев Л.И. Динамика перелетов между Землей и Луной. – М.: Наука, 1980.

5.     Фесенков В.Г. О возможности захвата при близком прохождении. – Астрономический журнал, N 23, вып. 1, 1946, 45-58.

6.     Davidson M.C. Numerical examples of transition orbits in the restricted three body problem. – Astronaut. Acta, 1964, 10, 308-313.

7.     Себехей, В. Теория орбит. Ограниченная задача трех тел. – Пер. с англ. М.: Наука, 1982.

8.     Belbruno E. Lunar capture orbits, a method of constructing Earth – Moon trajectories and the Lunar GAS Mission. – AIAA Paper No 87-1054. International Electric Propulsion Conference, 1987.

9.     Космонавтика, энциклопедия. Главный редактор В.П. Глушко. М.: Советская энциклопедия, 1985.

10.  Miller, J.K. and Belbruno, E.A. A method for the construction of Lunar transfer trajectory, using ballistic capture. – AAS/AIAA Spaceflight Mechanics Meeting, AAS Paper 91-100, 1991.

11.  Belbruno, E.A., and Miller, J.K. Sun-perturbed Earth – to – Moon transfer with ballistic capture. – Journal of Guidance, Control and Dynamics, vol. 16, No. 4,  July – August 1993, 770-775.

12.  Biesbroek R., Janin G. Ways to the Moon? - ESA Bulletin, 103, August 2000, 92-99.

13.  Hohmann W. Die Erreichbarkeit der Himmelskoerper. – R. Oldenbourg, Munich, 1925.

14.  Цандер Ф.А. Полеты на другие планеты. (Теория межпланетных путешествий), 1924-1925 гг.

 а) Проблема полета при помощи реактивных аппаратов. Межпланетные полеты. Сборник статей». - М.: Оборонгиз, 1961, 285-360.

б) Пионеры ракетной техники. Кибальчич, Циолковский, Цандер, Кондратюк. Избранные труды. - М.: Наука, 1964, 277 – 359.

15.  Штернфельд А.А. Введение в космонавтику. – а) М. – Л. – ОНТИ. 1937. б) М.: Наука, 1974.

16.  Штернфельд А.А. Искусственные спутники. - М.: Гоcтехиздат, 1958.

17.  Лидов М.Л. Эволюция орбит искусственных спутников планет под действием гравитационных возмущения внешних тел. – Искусственные спутники Земли, вып. 8, 1961, 5 –45.

18.  Эльясберг П.Е. Введение в теорию полета искусственных спутников Земли. – М.: Наука, 1965.

19.  Ивашкин В.В., Баум Ф.И. Использование гравитационного маневра у Луны для полета космического аппарата к сближающемуся с Землей астероиду. – Препринт ИПМ им. Келдыша РАН, 2000, N 67.

20.  Степаньянц В.А. , Львов Д.В. Эффективный алгоритм решения системы дифференциальных уравнений движения. - Математическое моделирование. 2000, т.12, вып. 6, 9-14.

 Краткий словарь иностранных слов. — 7-е изд. — М.: Русский язык, 1984. — С. 121. — 312 с.

↑ Перейти обратно:1 2 3 4 5 Комплексное число // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1979. — Т. 2. — С. 1007.

↑ Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 227.

↑ Справочник по элементарной математике, 2006, с. 211, подстрочное примечание.

↑ Справочник по элементарной математике, 2006, с. 222.

↑ Перейти обратно:1 2 3 4 5 6 7 Алгебра и математический анализ, 1998, с. 180—181.

↑ Real Part. Дата обращения: 16 января 2018. Архивировано 31 марта 2018 года.

↑ Мнимое число // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 708.

↑ Imaginary Part. Дата обращения: 16 января 2018. Архивировано 31 марта 2018 года.

↑ Ahlfors Lars V., 1979, с. 2.

↑ История математики, том III, 1972, с. 72.

↑ Перейти обратно:1 2 Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 237—239.

↑ История математики, том III, 1972, с. 61—66.

↑ Перейти обратно:1 2 Bunch, Bryan. Mathematical Fallacies and Paradoxes. Chapter «Eliminating paradox by definition». — Dover Publications, 1997. — 240 p. — (Dover Books on Mathematics). — ISBN 978-0486296647.

↑ Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 233—234.

↑ Перейти обратно:1 2 3 4 5 Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 234—235, 239—240.

↑ ГОСТ Р 52002-2003. Электротехника. Термины и определения основных понятий Архивная копия от 16 марта 2018 на Wayback Machine. Пункт 152. Комплексная амплитуда (синусоидального электрического) тока — комплексная величина, модуль и аргумент которой равны соответственно амплитуде и начальной фазе данного синусоидального электрического тока.

↑ Перейти обратно:1 2 3 4 5 6 Ahlfors Lars V., 1979, с. 6—10.

↑ Свешников А. Г., Тихонов А. Н., 1967, с. 14—15.

↑ Перейти обратно:1 2 Алгебра и математический анализ, 1998, с. 183—1851.

↑ Перейти обратно:1 2 3 4 Ahlfors Lars V., 1979, с. 15—16.

↑ Соломенцев Е. Д., 1988, с. 7.

↑ Weisstein, Eric W. nth Root (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

↑ Ahlfors Lars V., 1979, с. 3—4.

↑ Перейти обратно:1 2 3 Клайн Моррис. Математика. Утрата определённости. — М.: Мир, 1984. — С. 138—139.

↑ Перейти обратно:1 2 Стиллвелл Д. Математика и ее история. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — С. 258—266. — 530 с.

↑ История математики, том III, 1972, с. 57—61.

↑ Юшкевич А. П. Леонард Эйлер. Жизнь и творчество // Развитие идей Леонарда Эйлера и современная наука. Сб. статей. — М.: Наука, 1988. — ISBN 5-02-000002-7. — С. 15—47.

↑ Острая О. Теория функций комплексного переменного. Дата обращения: 30 ноября 2017.

↑ Ренэ Декарт. Геометрия. С приложением избранных работ П. Ферма и переписки Декарта. — М.—Л.: Гостехиздат, 1938. — С. 233. — 297 с. — (Классики естествознания).

↑ Глейзер Г. И. История математики в школе. IX—X классы. — М.: Просвещение, 1983. — С. 193. — 351 с.

↑ Перейти обратно:1 2 3 4 Смирнов В. И., 2010, с. 7—15.

↑ Бронштейн, Семендяев, 1985, с. 360.

↑ Смирнов В. И., 2010, с. 15—22.

↑ Свешников А. Г., Тихонов А. Н., 1967, с. 44.

↑ Перейти обратно:1 2 Заславский А. А. Геометрические преобразования. — 2-е изд.. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 58. — 86 с. — ISBN 5-94057-094-1.

↑ Перейти обратно:1 2 Евграфов М. А., 1968, с. 180—186.

↑ MAXimal :: algo :: Преобразование геометрической инверсии. e-maxx.ru. Дата обращения: 9 мая 2021. Архивировано 7 мая 2021 года.

↑ Е. А. Морозов, “Обобщённая задача Аполлония”, Матем. просв., сер. 3, 23, Изд-во МЦНМО, М., 2019, 80–111. www.mathnet.ru. Дата обращения: 9 мая 2021. Архивировано 9 мая 2021 года.

↑ Привалов И. И., 1984, с. 43.

↑ Соломенцев Е. Д., 1988, с. 10.

↑ Перейти обратно:1 2 3 Ahlfors Lars V., 1979, с. 17—18.

↑ Соломенцев Е. Д., 1988, с. 12.

↑ Числовые системы, 1975, с. 165.

↑ Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 249—251.

↑ Числовые системы, 1975, с. 167.

↑ Топологическое поле // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1985. — Т. 5. — С. 386.

↑ Комплексные числа. 9—11 классы, 2012, Глава 5.

↑ Реальные применения мнимых чисел, 1988, с. 78.

↑ Реальные применения мнимых чисел, 1988, с. 114—124.

↑ Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. — Астрель, 2010. — 464 с. — ISBN 978-5-271-25422-2.

↑ Привалов И. И., 1984, с. 14.

↑ Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. — Эдиториал УРСС, 2004. — 240 с. — ISBN 5354004160.

↑ Разностное уравнение // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4. — С. 838. Архивировано 21 января 2022 года.

↑ Свешников А. Г., Тихонов А. Н., 1967, Глава 5.

↑ Свешников А. Г., Тихонов А. Н., 1967, Глава 8.

↑ Смирнов В. И., 2010, с. 22—25.

↑ Маркушевич А. И. Комплексные числа и конформные отображения. — М.: Гостехиздат, 1954. — 52 с. — (Популярные лекции по математике, выпуск 13). Архивировано 28 января 2018 года.

↑ Shao-Feng Bian, Hou-Pu Li. Mathematical Analysis in Cartography by Means of Computer Algebra System. Дата обращения: 28 января 2018. Архивировано 29 января 2018 года.

↑ Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. — М.: Наука, 1973.

↑ Перейти обратно:1 2 Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 6-е, исправленное. — М.: Физматлит, 2004. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0530-2.

↑ Е. Вигнер. Непостижимая эффективность математики в естественных науках // УФН. — 1968. — Т. 93. — С. 535—546. — doi:10.3367/UFNr.0094.196803f.0535.

↑ Реальные применения мнимых чисел, 1988, с. 132—144.

↑ Молчанов А. П., Занадворов П. Н. Курс электротехники и радиотехники, глава «Линейные цепи». — BH V. — 608 с. — ISBN 978-5-9775-0544-4.

↑ Афонский А. А., Дьяконов В. П. Цифровые анализаторы спектра, сигналов и логики / Под ред. проф. В. П. Дьяконова. — М.: СОЛОН-Пресс, 2009. — С. 248. — ISBN 978-5-913-59049-7.

↑ Числовые системы, 1975, с. 164—165.

↑ Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 227—233.

↑ Числовые системы, 1975, с. 166.

↑ Real and Complex Numbers. Дата обращения: 13 февраля 2018. Архивировано 6 февраля 2021 года.

↑ Перейти обратно:1 2 3 Числовые системы, 1975, с. 167—168.

↑ Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 230—233.

↑ John Stillwell. The Four Pillars of Geometry. — Springer Science & Business Media, 2005-12-30. — С. 84—86. — 240 с. — ISBN 9780387290522.

↑ Перейти обратно:1 2 Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. — М.: Наука, 1984. — С. 200—201. — 416 с.

↑ F. Brackx, R. Delanghe, H. Serras. Clifford Algebras and their Applications in Mathematical Physics: Proceedings of the Third Conference held at Deinze, Belgium, 1993. — Springer Science & Business Media, 2012-12-06. — С. 33. — 405 с. — ISBN 9789401120067.

↑ David Marker. Model Theory: An Introduction, ISBN 978-0-387-22734-4. Proposition 2.2.5. Springer Science & Business Media, 2002. См. также некоторые пояснения Архивная копия от 14 мая 2018 на Wayback Machine.

↑ William Weiss and Cherie D’Mello. Fundamentals of Model Theory Архивная копия от 13 апреля 2018 на Wayback Machine. Lemma 7: Any two algebraically closed fields of characteristic 0 and cardinality ℵ1  are isomorphic и комментарий после неё.

↑ Перейти обратно:1 2 p-адическое число // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 1. — С. 100.: «Это расширение есть пополнение поля рациональных чисел относительно неархимедова нормирования… Поле ��  локально компактно».

↑ Перейти обратно:1 2 Dickson, L. E. (1919), "On Quaternions and Their Generalization and the History of the Eight Square Theorem", Annals of Mathematics, Second Series, Annals of Mathematics, 20 (3): 155—171, doi:10.2307/1967865, ISSN 0003-486X, JSTOR 1967865

 

19