Математика. Игры и стратегии. Игры-шутки. Симметричные стратегии. Выигрышные позиции. Задачи с решениями.

Математика. Игры и стратегии.  Игры-шутки. Симметричные стратегии. Выигрышные позиции. Задачи с решениями.

Основные методы решения игровых задач

Для решения игровой задачи нужно уметь правильно записать его. И эта запись зависит от того, кто выигрывает в данной игре. Поэтому сначала рассмотрим общие правила записи решения игровых задач. Так как же правильно записать решение игровой задачи?

Вообще го­воря, это зависит от того, кто выиграет, так как у начинающего есть воз­можность сделать первый ход, который не зависит от хода соперника.

Итак, если выиграет первый, тогда в решении игровой задачи нужно записать:

I)         его первый ход;

II)        алгоритм его ходов в ответ на каждый ход соперника, т.е. стра­тегию победы;

III) показать, что у него найдется независимо от хода соперника возможность сделать ход, т.е. его последний ход будет победным.

Если же выиграет второй, тогда в решение нужно записать:

I)         алгоритм его ходов в ответ на каждый ход соперника, т.е. стра­тегию победы;

II)        показать, что у него найдется независимо от хода соперника возможность сделать ход.

Иногда, бывает нужно записать еще и последний ход, который мо­жет не вписываться в общую стратегию.

Теперь рассмотрим вопрос о поиске решения задачи. Обычно рассматриваются задачи, в которых один из соперников может предложить выигрышный алгоритм,   т.е. обычно предлагаются результативные игры.

В своей работе я рассмотрел следующие идеи стратегий:

· Игры, использующие симметрию.

· Игры, в которых стратегия — дополнение до фиксированного числа.

· Игры, использующие метод выигрышных позиций

· Игры-шутки.

Метод выигрышных позиций

Бесспорно, самый мощный и универсальный способ решения задач на игры - поиск выигрышных позиций. Здесь мы будем называть выигрышной ту позицию, которую выгодно оставлять после своего хода, а проигрышной, соответственно, ту, которую невыгодно (в согласии с одной половиной методической литературы и в противоположность другой половине :-) Тогда финальная позиция, из которой уже нельзя сделать ход - выигрышная. Основные свойства позиций таковы: 1.) каждая позиция - либо выигрышная, либо проигрышная (промежуточных вариантов нет!); 2.) из выигрышной позиции можно пойти только на проигрышную; 3.) из любой проигрышной позиции можно пойти на выигрышную. Тогда, если начальная позиция - проигрышная, выигрывает первый, если выигрышная - второй. Стратегия одинакова: каждый раз ходить на выигрышную позицию. Тогда противник должен будет походить на проигрышную позицию (свойство 2), а мы опять сможем пойти на выигрышную (свойство 3).

Суть метода: делим всю доску (или все возможные ходы) на два вида полей — выигрываю­щие и проигрывающие (причем под это определение попадают все рассматриваемые клетки или ходы). После этого стратегия играющего заключается в том, чтобы делать свой ход на выигрывающие клетки (или делать выигрывающие ходы). Данный метод пригоден почти для всех игровых задач.

Игры-шутки

Самый первый и простой класс игр - игры-шутки, в которых, на самом деле, нет никакой стратегии (а нас хотят обмануть, что она якобы есть!). Просто... как бы кто ни ходил, либо всегда выиграет первый игрок (тот, кто начинает игру), либо всегда второй. Задача - в том, чтобы математически доказать такую закономерность (а заметить ее можно, сыграв самому с собой раза 3-4). Для доказательства обычно находится какая-то величина, которая понятно чему равна в начале и конце и понятно как изменяется на каждом ходу - тут даже частенько число ходов до конца однозначно посчитать можно. Либо какой-то инвариант (т.е. что-то, не меняющееся ни при какой ходе), однозначно зависящий от начальной позиции (чаще всего - от четности) и определяющий выигравшего в конце.

Отметим, что часто для нахождения идеи решения задачи можно использовать «метод маленьких чисел», т.е. начинать поиск решения с небольших чисел, который мы уже упоминали в предыдущих разделах.