Математика. Координатные системы в кристаллографии.

Кристаллографические оси координат и наименования граней.

Измерение двугранных углов кристалла и их изображение на стереограммах позволяют выявлять симметрию кристалла. Когда на стереограмме выполнены необходимые построения, как это сделано в качестве примера на рис. 3.22 для кристалла, изображенного на рис. 1 и 2, то становится

Рис.  Вращение стереограммы вокруг оси ДО — двойниковая ось

видно, как другие добавляемые к диаграмме полюса граней будут повторяться на ней для удовлетворения требований симметрии.

На рис. 3.24 в правый нижний квадрант добавлен полюс грани из зоны а'ой'о'а'" стереограммы, представленной на рис. 3.22, и нанесены элементы симметрии с помощью обычных обозначений (квадрат для четверной оси, треугольник — для тройной, эллипс — для двойной). В результате проявления тройной симметрии в точке о исходный полюс грани повторяется при вращении вокруг нее. Если четверная симметрия проявляется в точках а, а" и о, то повторение должно наблюдаться во всех квадрантах стереограммы как в верхней, так и в нижней полусферах.

Свойство симметрии воздействовать на точку, воспроизводя ее много раз по «командам» элементов симметрии, оказывается весьма полезным. Оно является основой, на которой были выведены 32 класса симметрии (см. рис. 3.37). Когда OT-

Рис. Стереограмма граней простой формы {211}. Нижние грани обозначены только в правом нижнем квадранте.

дельный полюс наносится на стереограмму кристалла с данным набором элементов симметрии, представленных осями, зеркальными плоскостями и центром (если он присутствует), то они воспроизводят другие полюса, что приводит к созданию граней,которые совместно образуют форму кристалла (рис. ).

На следующем этапе описания морфологии кристалла необходимо дать обозначения различным имеющимся у кристалла граням, сгруппированным в связанные ряды или формы. Для этого следует установить систему координат, которая позволит определять отдельные грани. Оси координат называются кристаллографическими координатными осями (или простокристаллографическими осями) и выбираются в соответствии с принятыми условиями таким образом, что совпадают с основными осями симметрии и (или) преобладающими направлениями ребер (осей зоны) в кристалле. Обычно эти координатные оси параллельны ребрам элементарной ячейки и имеют с ними одинаковые относительные длины. Важно уяснить, что оси симметрии реальны и их наличие в кристалле может быть установлено вне зависимости от систем номенклатуры граней каждым, кто знает, что такое симметрия. С другой стороны, кристаллографические оси образуют систему координат, выбранную с учетом определенных условий с целью идентификации или спецификации отдельных граней. В некоторых случаях (гексаго-нальнаая и тригональная сингонии) имеются две различные системы координат.

Обычно используемые кристаллографические оси для семи сингонии приведены в табл. 3.3. В ней графически показаны положения, в которых находился кристалл (или его модель) при его описании, и в каждом случае буквами обозначены направления кристаллографических осей — положительные и отрицательные. Отметим, что в моноклинной сингонии ось +x направлена к наблюдателю, в то время как в гексагональной и триго-нальной сингониях линия наблюдения делит пополам угол между осями +x и -u.

Две сингонии, моноклинная и триклинная, не являются ортогональными, т.е. не все их оси образуют между собой прямые или другие фиксированные углы. Следовательно, при их описа-лии должны быть установлены углы между осями х и z в моноклинной сингонии и углы между всеми тремя осями в триклинной. На рисунках табл.  эти углы обозначены греческими буквами. В гексагональной и тригональной системах углы между горизонтальными осями всегда равны 120° и поэтому их величины не требуется указывать.

Любая грань кристалла, если ее представить как безгранично простирающуюся плоскость, будет пересекать одну или несколько координатных осей, и углы, определяющие ее положение, задаются отрезками, которые она отсекает на этих осях от начала координат. При описании кристаллической решетки и закона постоянства двугранных углов было показано , что грани кристалла представляют собой плоскости с достаточно высокой плотностью узлов решетки и что закон рациональности отношений параметров определяет такие соотношения между их углами, которые задаются простым отношением длин, соответствующих ребрам элементарной ячейки.

 Осевые отношения

Выбор элементарной ячейки определяет единицу измерения координатных осей, а также устанавливает осевые отношения, которые являются характерными параметрами каждого кристаллического вещества. Единицы измерения в направлениях x, y и z обозначаются a, b иc соответственно. Мы видели, что в своей основе осевое отношение а : b : с выражает относительные размеры ребер элементарной ячейки. На заре кристаллографии осевое отношение определялось путем измерения углов между гранями. На основе полученных при этом результатов были сделаны лучшие для того времени описания фундаментальных констант кристаллических структур. В настоящее время с помощью дифракционных методов (см. гл. 4) можно измерить длины сторон ячейки в абсолютных единицах и таким путем проверить их отношения, определенные кристаллографами в более раннее время по замеру наклона граней. На основе осевых отношений устанавливается положение единичной грани, позволяющее определять единицу измерения, которая кратна длине ребра истинной ячейки в одном направлении. Но помимо этого осевые отношения позволяют получить описание граней кристалла. Это оказывается возможным благода-

Таблица Кристаллографические (координатные) оси для семи сингоний