Математика. Симедианы треугольника. Точка Лемуана. Задачи с решением.

СИМЕДИАНА ТРЕУГОЛЬНИКА — прямая, проходящая через вершину треугольника и делящая противоположную сторону (внутренним образом) на части, пропорциональные квадратам длин прилежащих сторон. 

Симедиана – это чевиана треугольника, симметричная медиане относительно биссектрисы, проведенной из той же вершины.

Свойства:

• Отрезки, на которые симедиана делит противоположную сторону, пропорциональны квадратам прилежащих сторон.
• Симедианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется точкой Лемуана ( обозначается K или L.)
• Сумма квадратов расстояний от точки на плоскости до сторон треугольника минимальна, когда эта точка является точкой Лемуана.
• Расстояния от точки Лемуана до сторон треугольника пропорциональны длинам сторон.
• Точка Лемуана — единственная точка, которая является центроидом своего педального (Тангенциальный )треугольника.

• Длина симедианы равна:    

  Тангенциальный треугольник    точки  относительно  . Треугольник, вершинами которого являются основания перпендикуляров, опущенных из точки   на стороны треугольника    (или их продолжения).