Математика. Свойства и график функции y=tgx. Примеры.

Функция y=tgx определена при x≠π2+πn,n∈Z, является нечётной и периодической с периодом π.

Поэтому достаточно построить её график на промежутке [0;π2) Выберем для построения контрольные точки, через которые проведём плавную кривую на координатной плоскости.  tg0=0tgπ6=3√3tgπ4=1tgπ3=3√   Затем, отобразив её симметрично относительно начала координат, получим график на интервале (−π2;π2)  Используя периодичность, строим график функции y=tgx на всей области определения.   График функции y=tgx называют тангенсоидой.   Главной ветвью графика функции y=tgx обычно называют ветвь, заключённую в полосе (−π2;π2) Свойства функции y=tgx 1. Область определения - множество всех действительных чисел x≠π2+πn,n∈Z   2. Множество значений - множество R всех действительных чисел   3. Функция y=tgx периодическая с периодом π   4. Функция y=tgx нечётная   5. Функция y=tgx принимает: - значение 0, при x=πn,n∈Z; - положительные значения на интервалах (πn;π2+πn),n∈Z; - отрицательные значения на интервалах (−π2+πn;πn),n∈Z.   6. Функция y=tgx возрастает на интервалах (−π2+πn;π2+πn),n∈Z.  

Пример 1. Решить уравнение tg х =  Решение. Построим в одной системе координат графики функций у =tg х — тангенсоиду и у =  — прямую, параллельную оси х. Они имеют бесконечно много точек пересечения (рис. 64), причем абсциссы этих точек отличаются друг от друга на пк. На главной ветви абсцисса соответствующей точки равна  (мы воспользовались известным числовым равенством —  это один корень уравнения, а все решения описываются формулой  Ответ: 

Пример 2. Построить график функции  Решение. Для начала разберемся с главной ветвью тангенсоиды. 1)    Перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке       проведена на рис. 65 пунктиром). 2)   "Привяжем" функцию у = tg хк новой системе координат — это будет график функции  , а точнее, главная ветвь искомого графика (рис. 65 — сплошная кривая). 3)    Чтобы получить график функции  достаточно построенную ветвь отобразить симметрично относительно оси х (рис. 66). 4)    Зная одну ветвь, можно построить весь график (рис. 67).   

На самом деле, на рис. 67 построен график функции у=сtgх. Почему? Потому, что имеет место тождество (формула приведения)  График функции у=сtg х, как и график функции у =tg х, называют тангенсоидой. Главной ветвью графика функции у=сtg х обычно называют ветвь, заключенную в полосе от х=0 до х = к.