Математика. "Теорема трилистника". Среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее квадратичное, среднее гармоническое

Среднее арифметическое двух неотрицательных чисел больше чем среднее геометрические их значение:

^(a + b)/₂ ≥ √ab, для любых a, b ∈ Z ⁺.

Доказывается неравенство достаточно просто. Умножаем обе части на 2 и переносим правую честь влево:

a + b - 2√ab ≥ 0;

(√a - √b)² ≥ 0.

Что и требовалось доказать.

Оказывается, это неравествено - это лишь частный случай т.н. соотношения между средними величинами.

Для двух положительных чисел оно имеет следующий вид (общий случай для n чисел):

Пусть a, b ∈ R, тогда иммет место неравенство:

где части неравества имеют названия (по мере возрастания) - среднее гармоническое, среднее геометрическое, среднее арифметическое, среднее квадратическое.

Докажем его. Покажем, что среднее геометрическое больше, чем среднее гармоническое.

√ab ≥ ²/_{(¹/a + ¹/b)};

√ab ≥ 2ab / (a + b);

√ab(a + b) ≥ 2ab; сокращаем на √ab, т.к. это положительное число.

a + b ≥ 2√ab;

(√a - √b)² ≥ 0.

Что и требовалось доказать.

Соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим рассматривалось выше. Докажем, что среднее квадратическое больше среднего арифметического:

√(a² + b²) / 2 ≥ (a + b) / 2; так как справа положительное число, подносим в квадрат обе части:

(a² + b²) / 2 ≥ (a² + 2ab + b²) / 4; переносим все в левую часть, умножаем на 4:

a² - 2ab + b² ≥ 0;

(a - b)² ≥ 0.

Что и требовалось доказать.

Неравенство имеет место для n чисел и звучит так:  Для любых n положительных чисел a₁ ≤ a₂ ≤ .... ≤ a_n имеет место соотношение:

причем равенство достигается лишь тогда и только тогда, когда a₁ = a₂ = .... = a_n, где