Математика. Тренировка по олимпиадным заданиям + решения.

Участие в олимпиадах по математике — это отличная возможность проверить свои знания и способности, проявить и отточить навыки нестандартного мышления, которые очень пригодится подростку во взрослой жизни. И хотя главный девиз любых олимпийских игр состоит в том, что главное не победа, а участие, каждый атлет хочет стать победителем. Именно поэтому подготовка к олимпиадам по математике – это очень важно. 

Организация и проведение олимпиад по математике среди школьников преследует следующие цели:

• выявление самых умных, сообразительных и одаренных учеников;
• развитие творческих способностей и нестандартного мышления;
• повышение интереса к углубленному изучению предмета;
• создание условий поддержки и поощрения одаренных детей;
• популяризация математики среди учеников школ.

Участие в олимпиадах по математике готовит учеников к жизни в современном обществе. Это своеобразный трамплин в прекрасное будущее. Победа в олимпиаде по математике предоставляет льготные условия поступления в ведущие вузы страны на бесплатное обучение. Плюс к тому это дополнительное преимущество даже при поступлении на общих основаниях.

Как добиться победы в олимпиаде по математике?

Для того, чтобы ученик смог добиться победы в олимпиаде по математике, требуется сочетание следующих важнейших факторов:

• Знание материала школьной программы. Это самая первая и базовая ступенька. Если у ученика есть даже незначительные пробелы со знанием школьной программы, то ни о какой победе на олимпиаде и речи быть не может. Эти пробелы нужно заполнить необходимыми знаниями в самый короткий срок.
• Знание материала, который выходит за пределы школьной программы. Для победы в олимпиаде не достаточно только тех знаний, которые дает учитель на уроке. Нужно более углубленное изучение тем. В таком случае не обойтись без подготовки к олимпиадам по математике с репетитором. Только он, занимаясь с учеником дополнительно и индивидуально, сможет дать ему полный объем необходимой информации. Это не обязательно должен быть посторонний человек, вполне вероятно школьный учитель с радостью справится с такой задачей. К тому же он знает уровень подготовки ребенка и возможные пробелы.
• Смекалка. Не все задачи, особенно олимпиадные, решаются по определенной проработанной схеме. Довольно часто, для того чтоб решить задачу с высоким уровнем сложности, нужно проявить еще и смекалку. Именно гибкость ума помогает учениками находить нестандартный выход в тех ситуациях, в которых остальные просто теряются.
• Практика. Только при наличии постоянной практики в решении задач разных форм, видов, тем, ученик сможет полноценно подготовиться к олимпиаде. Благо сейчас есть большое количество сборников олимпиадных задач, примеры заданий за прошлые года. 

Задача учителя состоит в том, чтобы сформировать образовательную среду и обеспечить развитие одновременно всех этих способностей. Только в таком случае подготовка к олимпиадам по математике пройдет на самом высоком уровне.

Особенности подготовки к олимпиадам по математике

Сложность олимпиады для учеников заключается в первую очередь в том, что в течение весьма ограниченного промежутка времени ученик должен решить несколько достаточно сложных и нестандартных задач. Это возможно только в том случае, если ребёнок хорошо подготовлен. 

Задачи на составление примера решения

Например, такая олимпиадная задача: «Существует такая фигура, которую нельзя разделить на прямоугольники из двух клеток (доминошки), но если к ней добавить доминошку — уже можно. Нарисуйте эту фигуру на клеточной бумаге (это должна быть одна фигура, не состоящая из отдельных частей), добавьте к ней одну доминошку и расскажите, как разделить полученную фигуру на доминошки.»

Подготовленный участник без труда сможет найти решение. Оно может выглядеть, например, вот так:

Логические задачи

Задачи на логическое мышление. Интересно, что часто такие задачи легко решаются с помощью стандартных подходов, которые изучаются в школе, но, к сожалению, в более старших классах. В результате ученику приходится придумывать нетривиальное решение, что требует от него нестандартного мышления. Например, такая задача: «У Маши есть монеты достоинством 2 рубля и 5 рублей. На все монеты достоинством 2 рубля Маша не может купить 4 пирожка, потому что ей не хватает 60 рублей. На все монеты достоинством 5 рублей она не может купить 5 пирожков, потому что ей также не хватает 60 рублей. На все свои деньги она не может купить 6 пирожков, так как ей опять не хватает 60 рублей. Сколько стоит один пирожок?»

Маше не хватает 60 рублей, чтобы купить четыре пирожка, если она возьмёт все свои монеты достоинством 2 рубля. Также Маше не хватает 60 рублей, чтобы купить пять пирожков, если она возьмёт все свои монеты достоинством 5 рублей. Значит, если она возьмёт все свои деньги и ещё 120 рублей, то сможет купить 9 пирожков. С другой стороны, в условии сказано, что на все свои деньги Маша могла бы купить шесть пирожков, если бы добавила к ним 60 рублей. Из последних двух утверждений следует, что три пирожка стоят 60 рублей. То есть один пирожок стоит 20 рублей.

Задачи, содержащие элемент догадки

Для того чтобы решить такие задачи, ученик должен проявить смекалку и до чего-нибудь догадаться. Эта догадка появляется не на пустом месте, а в результате размышления над задачей, но решение начинается именно с догадки, которая затем приводит к выстраиванию логической цепочки, которая приводит к результату. Например, разберём следующую задачу: «В команде 38 борцов. Каждый более слабый борец всегда проигрывает более сильному, а бой двух борцов одинаковой силы всегда оканчивается ничьей. Всегда ли борцов удастся разбить на пары так, что все победители в полученных парах окажутся не слабее, чем все те, кто свёл поединок вничью или проиграл, а все те, кто свёл поединок вничью окажется не слабее всех тех, кто проиграл?»

Если приписать всем борцам число, соответствующее уровню их силы, то получится множество из 38 элементов. Догадка состоит в том, чтобы элементы этого множества записать в порядке неубывания. После этого формируем следующие пары: первый с последним, второй с предпоследним и т. д. В каждой паре в порядке формирования находим победителя или сделавшего ничью. Полученная последовательность будет невозрастающей, причём последний её элемент будет не меньше 19-го в исходной последовательности. То есть получается, что требуемое условие выполняется.

Задачи, для решения которых не достаточно знания только школьной программы

Для решения таких задач ученик должен знать больше, чем преподают на уроках в школе. Необходимые знания ученик может получить на основе самообразования или с помощью грамотного репетитора. Например, для решения следующей задачи требуется знание того, что биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, которые пропорциональны прилежащим сторонами: «В треугольнике ABC биссектрисы AA₁ и BB₁пересекаются в точке O. Известно, что 2AO = 7OA₁ и BO = 2BO₁. Найдите отношение высоты, опущенной из точки A, к радиусу вписанной в треугольник ABC окружности.»

Используя свойство биссектрисы, находим, что . То есть . Аналогично находим, что . То есть длины сторон треугольника выглядят следующим образом:

Тогда вновь по свойству биссектрисы получаем, что:

Итак, получаем , , . Тогда полупериметр данного треугольника равен . Тогда с одной стороны площадь треугольника ABC равна , где  — радиус вписанной окружности. С другой стороны он равен , где  — высота, проведенная к стороне BC. Отсюда получаем, что .

Задачи по темам, которым в школе уделяется совсем мало внимания

Например, задачи по теории чисел: «Дана последовательность из 2014 натуральных числа. Если взять из этой последовательности любые 100 чисел, то среди них обязательно будет хотя бы одно чётное число. Если взять из этой последовательности любые 1916 чисел, то среди них обязательно будет хотя бы одно нечётное число. Может ли сумма всех этих чисел равняться 2014⋅2015? Обоснуйте свой ответ.»

Подготовленный ученик решит эту задачу без особого труда. Поскольку в любой выборке из 100 чисел оказывается хотя бы одно чётное число, то нечётных чисел в наборе не больше 99. Аналогично, поскольку в любой выборке из 1916 чисел оказывается хотя бы одно нечётное число, то чётных чисел в наборе не больше 1915. А поскольку всего в наборе 2014 чисел, то в наборе 99 нечётных чисел и 1915 чётных чисел. Их сумма является нечётным числом. А произведение 2014⋅2015 оканчивается на 0, следовательно, является чётным числом. То есть сумма не может быть равна этому произведению.

В заключении отметим, что для успешной подготовки к олимпиадам по математике придётся усердно потрудиться.