Математика. Уравнения, приводящиеся к однородным. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения и методы их решения. Примеры.

Дифференциальное уравнение вида

где  — непрерывные функции переменной x, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Например: 

Далее рассмотрим два метода решения указанных уравнений: с использованием интегрирующего множителя и метод вариации постоянной.

Метод с использованием интегрирующего множителя

Для  линейного дифференциального уравнения (1) интегрирующий множитель определяется формулой:

Умножение левой части этого уравнения на интегрирующий множитель  преобразует ее в производную произведения функций . Тогда  общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Метод вариации постоянной

Сначала находим общее решение однородного дифференциального уравнения 

Общее решение этого уравнения содержит постоянную интегрирования C. Далее заменяем константу C на некоторую функцию , которую необходимо найти. Подставляя это решение в неоднородное дифференциальное уравнение  (1), определяем функцию .

Примеры решения задач

ПРИМЕР

Задание	Решить уравнение
Решение	Найдем решение заданного уравнения с помощью интегрируемого множителя. Для заданного уравнения . Тогда    А тогда искомое решение
Ответ

ПРИМЕР

Задание	Решить дифференциальное уравнение
Решение	Решение данной задачи будем искать методом вариации постоянной. Приведем заданное уравнение к стандартному виду:    Сначала найдем общее решение однородного уравнения    Оно является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Поэтому разделяем их:    Общий интеграл уравнения    Найдем теперь решение исходного неоднородного дифференциального уравнения. Для этого варьируем константу интегрирования C, считаем, что она есть функцией переменной x, то есть . Тогда решение исходного неоднородного уравнения принимает вид . Откуда    Поскольку функция  является решением, то она должа удовлетворять заданное уравнение, тогда    После упрощения получаем:    То есть    Таким образом, общее решение заданного уравнения
Ответ