Математиканын предмети. Математикалык тил, сүйлөм, алфавиттер, шарттуу символдор.

Математика илими байыркы илимдердин бири болуп, алгачкы доордон баштап “акыл – ойдун илими” деген ат менен окутулуп келе жатканы менен, бүгүнкү илимий – техникалык прогресске негизделген жашоону уюштуруу муктаждыгына жараша, математика илиминен өсүп чыккан көптөгөн жаңы илимий тармактарды адам тилинде түшүнүүчү тилге айланып бара жатат. Натыйжада окуучуларга окутулуучу предметтердин саны көбөйүп, “таза математиканы” окутуу максаты менен мазмуну өзгөрдү. Ошентип бүгүнкү математика илимин, өзүнүн тармагынан өсүп өнүгүп калыптанган илимдерди жана кесиптерди таанып өздөштүрүп, үйрөтүүчү тил катары кабыл алууга тийишпиз. Анткени 36 тамганын жардамы менен кыял ойлорубузду чыгарма же кат жүзүндө баяндай алсак, кайсы бир имараттын же ГЭС тин курулушун, трансформатор же болбосо тиричилик техникасын түзүлүшүн, 36 тамга менен толук жазып түшүндүрө албайбыз.

Математика илиминин өнүгүү жолун, кыскача төмөндөгүдөй төрт доорго бөлүүгө болот:

I. Математиканын жаралуу доору;

II .Элементардык математиканын доору;

III. Өзгөрүлмө чоңдуктардын математикасынын доору;

IV. Заманбап математиканын доору.

Жаралуу доорунда математика илими, эксперименталдык тажрыйбалардын, байкоолордун натыйжасында топтолгон билимдерден турган эрежелер сыяктуу кабыл алынган. Мисалы төрт бурчтуктун, үч бурчтуктун, көп бурчтуктун аянттары менен периметрлерин эсептөө формулалары, мейкиндик фигураларын көлөмдөрү, беттерин аянты, сандар менен болгон амалдардын эрежелери ж. б. у. сыяктуу тажрыйбалар аркылуу негизделген универсалдык эрежелер менен формулаларды келтирип чыгарышкан. Байыркы Пифагордон баштап Архимедке чейинки окумуштуулардын баары, атайын лабораторияларда көптөгөн сыноо тажрыйбаларды жүргүзүп, жыйынтыгын жазуу менен убара болушкан. Мисалы, Архимед айлананын узундугу менен тегеректин аянтын эсептөө тажрыйбаларында мааниси толук аныкталбаган санын таап, аны окутуучусу Пифагордун урматына тамгасы менен белгилеген. Тик бурчтуктук, үч бурчтук, көп бурчтук сыяктуу жалпак фигуралардын периметри менен аянттарын эсептөөдө, анын жактарынын узундуктары пайдалангандыктан, Архимед айлананын узундугу менен тегеректин аянтын, алардын радиусу диаметри менен байланыштырып табуу аракетин көргөн. Айланага ичтен жана сырттан адегенде төрт бурчтук, андан кийин беш бурчтук, алты бурчтук ж.б.у.с. көп бурчтуктарды сызуу менен, айланага ичтен жана сырттан курчашкан көп бурчтуктар аркылуу улам жакындап келе берген. Натыйжада сырттан сызылган көп бурчтуктардын периметрлери айлананын узундугуна узунураак, ал эми ичтен сызылган көп бурчтуктардын периметрлери айлананын узундугунан кыскараак болуп, көп бурчтуктардын жактары 5, 6, 7, ..., 1000 бурчтук ж.б. көбөйгөн сайын, ичтен жана сырттан сызылган көп бурчтуктардын периметрлери бири ичтен, экинчиси сырттан айлананын накта узундугуна умтулуп жеткен. Табылган айлананын узундугун диаметрине байланыштыруу максатында, аны диаметрине бөлгөндө, мурда белгисиз саны табылган. Ушундай эле тажрыйба менен аныкталган тегеректин аянтында да, санын тапкан. Ошентип бардык айланалардын узундугу менен тегеректердин аянттарын эсептөөчү универсалдык менен формулаларын табышкан.

Кийинки доордо математиканы илим катары расмийлештирүү процесси жүрүп, анын негизин Эвклиддин “Башталма” аттуу эмгеги түзгөн. Бул эмгекте аныктоосуз кабыл алынган алгачкы же негизги түшүнүктөр деп “чекит, түз, тегиздик, натуралдык сан, көптүк” ж.б. алынып, алардын негизинде көптүктөр менен геометриянын далилдөөсүз кабыл алынган ырастоолору же аксиомалары түзүлгөн. Эвклиддин төмөндөгүдөй 5 багытты камтыган 20 аксиомалары аркылуу, математиканын теориясы негизделген:

1) байланыш (таандык) аксиомалары; 2) тартиптештирүү аксиомалары;

3) кыймылдардын (конгруэнттик) аксиомалары; 4) параллелдүүлүк аксиомалары; 5) үзгүлтүксүздүк аксиомалары деп аталышкан.

Бул аксиомалардын тобу, кийинчээрек Гильберт тарабынан толукталып, 21 – аксиома киргизилген: “Түздө жайгашышкан каалагандай төрт чекиттерге: В чекити А менен С чекиттеринин, ошондой эле А менен Д чекиттеринин арасында; С чекити А менен Д чекиттеринин, ошондой эле В менен Д чекиттеринин арасында жайгашышкан деген аттарды коюп белгилөөгө болот.”

Бул аксиома менен толукталгандан кийин, төмөндөгү аталыштагы

1.Математикалык структура жөнүндө түшүнүк ......

2.Группоид жана жарым группа ......

3.Группа жана анын касиеттери .....

4.Алкак, тело жана талаа ......

5.Конгруенция .......

аксиомалар тобу аркылуу МАТЕМАТИКАНЫН АКСИОМАЛЫК МЕТОДУ түзүлгөн. Мындайча айтканда бардык математикалык түшүнүктөрдү, ырастоолорду, теоремаларды далилдөө, жогорудагы аксиомалардын тобуна таянылып жүргүзүлөт. Ал эми аксиомалардын өзү болсо: «натуралдык сан», «чекит», «түз сызык», «аралык» сыяктуу алгачкы же негизги түшүнүктөргө таянган далилдөөсүз кабыл алынган ырастоолор болушат. Мисалы, “Бир тегиздикте жатышкан эки чекит аркылуу бир гана түз жүргүзүүгө болот.” – деген аксиоманы далилдөө мүмкүн эмес.

Жогоруда биз бир нече алгачкы түшүнүктөрдү жана аксиомаларды алып, кандайдыр бир теорияны, нерсени аксиомалык жол менен түзүүгө болот деп айтып кеттик. Алгачкы объектилерди, катыштарды жана алгачкы аксиомаларды каалагандай эле тапдап ала берүүгө болбойт. Каалагандай эле тандап алуунун негизинде анык бир теорияны, нерсени түзө берүүгө болбойт. Негизинен тандап алынган аксиомалардын системасы төмөнкү шарттарды канааттандырышы зарыл: 1) аксиомалардын системасынын карама – каршы эместиги; 2) системадагы аксиомалардын толук болушу; 3) системадагы аксиомалардын өз ара көз каранды болбостугу.

Аксиомалар методун салыштырмалуу түшүнүү үчүн, математикага байланышы жок башка бир мисалды карайлы: Чөйрөдө жер, суу, от, аба, топуракты аныктоосуз кабыл алынган алгачкы түшүнүктөр деп алсак, анда жердеги бардык кубулуштарды алар аркылуу негиздеп түшүндүрүүгө болот. Мисалы: “шамал” – абанын кыймылы, “жылулук” – оттун таасири, “имарат” – топурак менен сууну аралашмасынан жана жердеги топуракта өнүп чоңойгон дарактан курулат – деген сыяктуу түшүндүрмөлөрдү айтууга болот. Ошондой эле тил илиминде: “тамга”, “чекит, утүр ж.б.” сыяктуу белгилерди аныктоосуз алынган алгачкы түшүнүктөр деп алып, алар аркылуу далилдөөсүз аксиома сыяктуу же аксиомаларга таянып далилденүүчү эрежелердин негизинде, тил илими түзүлөт. Демек, бардык эле илимдерде аныктоосуз кабыл алынган алгачкы же негизги түшүнүктөр жана аларга негизделген далилсиз аксиомалар сыяктуу ырастоолор болот. Ал эми бардык калган ырастоолор менен ачылыштар, ошол илимдеги аксиомалар аркылуу далилденишет.

Акыркы IV – этапта таануунун тилине айланган математика илими, бардык эле тил илимдерине окшоп өзүнүн тамгаларынан турган математикалык алфавитке ээ. Башка тилдердин алфавиттеринен айырмаланып, математикалык символдордон жана белгилерден куралган математикалык алфавит, жашоодогу кесиптер менен илимдерди таануу процессинин зарылчылыгына жараша жаңыланып, улам жаңы тамгалар менен толукталып бара берет. Ошентип адамзаттын жакшы жашоого болгон муктаждыгын канааттандыруу жолунда математикалык символдордун тили, математика илими менен кошо өнүгүп келет.

Математикалык символдор айрыкча XV – XVI кылымдардан баштап тез өнүктү. Жаңы символдорду киргизүү жана аларды пайдаланууда Ф. Виет, Р. Декард, Ньютон, Лейбниц ж. б. у. сыяктуу окумуштуулар чоң салым кошушкан.

Мисалы: символдору 1698-ж Лейбниц тарабынан, - символу Кеплер тарабынан, - символдору 1753-жылы Эйлер тарабынан, белгилери 1631-жылы Горриот тарабынан, параллел, перпендикуляр” - символдору 1677-жылы Эригон, - символдору Декарт, интеграл Ньютон тарабынан ж.б.у.с киргизилген.

Кыргыз тилинде, орус тилинде ж. б. жазуу үчүн пайдаланып жүргөн символдор — тамгалар деп аталган сыяктуу эле математикада пайдаланылган символ­дор да математикалык тамгаларды түзүшөт.

Матема­тикалык тамгалардын семантикалык (маанини билдирүүчү) жагын таштап коюп, алардын тилинин синтаксисин карайбыз. Ал тамгалар:

1. Цифралар:

2. Турактуу чоңдуктар:

3. Өзгөрмөлүү чоңдуктар:

4. Жардамчы белгилер:

5. Ажыратуучу белгилер:

6. Амалдар:

7. Катыш белгилери:

8. Атайын белгилери:

9. Логикалык белгилер:

10. Өзгөртүп түзүүлөр: көрүнүштөрдө болушат.

Математикалык тамгалардан түзүлгөн комбинациялар математикалык сөз – сүйлөмдөр деп аталышат. Жогорудагы тамгалардын семантикалык маанилерин билдирген белгилердин баары, сөзгө мисалдар боло алат. комбинациясын алсак, бул дагы сөз. Тамгалардын ар бири деле, өзүнчө бир сөздү түзө алат. Мисалы: ж. б.

Математикалык сөз чектүү гана тамгалардан турушу мүмкүн. Мисалы:

, . Айрым сөздөрдү кыскартып жазуу да кабыл алынган. Мисалы, сөзү кыскача деп, сөзү — деп, сөзүн 5 деп, сөзүн деп, сөзүн деп алууга болот ж. б. у. с.

Тамгалардан түзүлгөн бардык эле сөздөр мааниге ээ боло бербейт. Мисалы, сөзү эч кандай маанини бербейт. Ошондой эле төмөнкү: сөздөр маа­ниге ээ болушпайт.

Жогоруда көрсөтүлгөн математикалык символдор­дун көптүгү алфавит деп аталат.

Математика, өзүнүн түрдүү бөлүктөрү үчүн жалпы болгон анык бир символдордон пайдаланат, алар математикалык тилдин тамгалары болуп эсептелишет. Зарыл болгон учурда жаңы тамгалар кийирилип турат. Бирок, киргизилген тамгалардын баары эле кеңири колдонуп кетти дегенден алыспыз. Айрым учурларда баш айланткан математикалык тамгаларды киргизүү менен, математикалык тилди чектен сырткары ашкере колдонуу да туура эмес. Бирок жашоо зарылдыгына жараша, кесиптик билимдерде колдонулган математикалык тамгалардын маани – маңызын түшүнүп, аларды туура окуп билүүгө милдеттүүбүз. Анткени “бакалавр” илимий даражасына ээ болгон адамдын көз карашы менен таанып билүү жөндөмдүүлүгү, катардагы орто билимдүү жарандардан жогору турушу керек. Алар мамлекеттик расмий документтерди, иш келишимдерин, ММК маалыматтарын, коомдук жашоонун жүрүшүн толук түшүнүп, аларга анализ жүргүзө билүүсү зарыл. Мисал катары айрым математикалык символ – тамгаларды колдонуп, сүйлөм түзүү мисалдарын көрсөтүп кетебиз:

1. “ ”символу аныктоо боюнча дегенди билдирет. Мисалы, жазуусу: « аныктоо боюнча бирге барабар» ( ); дегенди: «( —боюнча а жана b түз сызыктары бир тегиздикте жатышып, алар кесилишпейт же өз ара дал келишет» деп окууга болот. - биссектриса ж. б. у. с. Айрым китептерде «анык­тоо боюнча» деген сөздү « » символу менен да белгилешет. Мисалы: мында ; ж. б. у. с.

2. « » символу жалпылык квантору деп аталып, «каалаган», «бардык» деген маанини билдирет. Ми­салы: ж.б. Ал эми « »символу жашоо кван­тору деп аталып, ал «жашайт», «болот», «бар», «табылат» деген маанини билдирет. Мисалы: ж. б. у. с. Акыркы сүйлөмдү «каалаган а, b натуралдык сандары үчүн, кандайдыр бир с натуралдык саны табылып, болот» — деп окууга болот.

3. « » символу менен «зарыл» сөзү белгиленген. , — «п дин 4 кө бөлүнүшү үчүн, анын 2 ге бөлүнүшү зарыл» — деп окулат;

• деген жазуу: «АВС үч бурчтугунда бурчтарынын болуш үчүн, [АС] жана [ВС] кесиндилеринин узундуктарынын барабар болушу зарыл» дегенди билдирет.

деген жазуу «Эгерде болсо, анда барабардыгы аткарылышы үчүн, жок дегенде өз ара барабар эмес эки сандары жашап, жана

барабардыктарынын аткарылышы зарыл» деп окулат.

4. « ◊ » символу мүмкүн болор дегенди билдирет.

жазуусун: «АВС үч бурчтугу бар болуп, анын ички бурчтарынын суммасы 100° ка барабар болушу мүмкүн» — деп окууга болот (Н. И. Лобачевскийдин сүйлөмү). Ал эми Ферманын «улуу проблемасын, символдор аркылуу көрүнүштө жазууга болот ж. б. у.с.

5. «├» символу келтирип чыгарууга болот деген маанини түшүндүрөт. Мисалы, сүйлөмүн «п дин 10 го бөлүнүшүнөн, анын 5 ке бөлүнүшүн келтирип чыгарууга болот» — деп окууга болот.

6. Мурдатан эле теңдемелердин жана барабарсыздыктардын системасын «{» символу менен белгилечүбүз. Ал «жана» сөзүн билдирет. Мисалы,

же

болбосо ж. у. с.

7. деп, « Төмөн жагы О огунун аралыгы, ал эми жогору жагы функциясынын графиги менен чектелген жалпак фигуранын аянтын» белгилейбиз.

8. – деп, « элементтүү көптүктүн элементтерин элементтен орундаштыруу»; ал эми деп: « бир учурда А окуясынын же В окуясынын аткарылуу ыктымалдыгы»; деп, «А окуясынын аткарылуусуна сандагы жалпы жагдайлар жана сандагы көмөктөшүүчү жагдайлар түзүлгөн учурдагы А окуясынын аткарылуу ыктымалдыгы»; деп, «А окуясынын жана В окуясынын бир учурда аткарылуу ыктымалдыгы» белгиленишкен.

Математика курсун окуунун жүрүшүндө, кайсы кубулуштарды жана кесиптерди таанып өздөштүрүүдө, кандай математикалык тамгалар колдонгонуна күбө болосуңар жана гуманитардык кесиптерде окуган студенттер болсо, “Пушкинге математиканын кереги тийгенби?” – деген суроосуна жооп алат деген ойдомун. Анткени, ат арабада жүргөн Пушкин самолётто учкан эмес, чөнтөк телефон, смартфон компьютер, электр жарыгы, санариптик технлогиялар, кир жуугуч автомат, космос корабли сыяктуу нерселерди көргөн эмес. Пушкин жашаган доордо эл ат жумшап тиричилик өткөрсө, бүгүн электрон жумшап тиричилик өткөрүшүүдө. Эгерде Пушкин бүгүн жашаса, ал коомго аралашып жашоо үчүн, өзүнүн 36 тамга аркылуу тааныган тар дүйнөсүн, математикалык тил менен байытууга аракет кылмак.