Математические фокусы на отгадывание чисел

Математические фокусы

1. Математическая забава М.Ю.Лермогтова.

2. Отгадывание чисел.

1. Известно, что М.Ю.Лермонтов был большим любителем математики и в своих вольных и невольных переездах из одного места службы в другое всегда возил с собою учебник математики. Современники, близко знавшие Лермонтова, рассказывают: "В начале 1841 года Тенгинский полк стоял в Анапе. Скучающие офицеры, в том числе Лермонтов, собирались друг у друга. Раз речь зашла о каком-то ученом кардинале, который мог решать в уме самые сложные математические задачи.

- Что вы скажете на это, Лермонтов? - обратился к нему один из почтенных батальонеров, старик с Георгием.

- Говорят, что вы тоже хороший математик?

- Ничего тут удивительного нет, - отвечал поэт. - Я тоже могу представить вам, если хотите, весьма замечательный опыт математических вычислений.

- Сделайте одолжение.

- Задумайте какое угодно число, и я с помощью простых арифметических действий определю это число.

- Ну, что же, попробуйте, - рассмеялся старик, очевидно, сомневавшийся. - Но как велико должно быть задуманное число?

- А это безразлично. Но на первый раз, для скорости вычислений, ограничьтесь числом из двух цифр.

- Хорошо, я задумал,- сказал батальонер, подмигнув стоявшим вокруг офицерам и, для подтверждения впоследствии, на случай неточности вычисления, сообщил задуманное число сидевшей рядом с ним даме.

- Благоволите прибавить к нему, - начал Лермонтов, - еще 25 и считайте мысленно или посредством записи.

Старик попросил карандаши стал записывать на бумажке.

- Теперь не угодно ли прибавить еще 125. Старик прибавил.

- Засим вычтите 37. Старик вычел.

- Еще вычтите то число, которое вы задумали сначала.

Старик вычел.

- Теперь остаток умножьте на 5.

Старик умножил.

- Засим полученное число разделите на 2.

Старик разделил. - Теперь посмотрим, что у вас должно получиться... Кажется, если не ошибаюсь, число 282,5? Батальонер даже привскочил, - так поразила его точность вычисления.

- Да, совершенно верно: 282,5. Я задумал число 50. - и снова проверил вычисление.

- Действительно, получается 282,5. Фу, Да вы не колдун ли?.. - Колдун не колдун, а математике учился, - улыбнулся Лермонтов, - Старик сомневался: не подсмотрел ли Лермонтов его цифры, когда он производил вычисления. Попросил повторить. Старик записал задуманное число, никому не показав, положил под подсвечник и стал считать в уме даваемые поэтом числа. И на этот раз остаток был угадан. Все заинтересовались. Старик только развел руками. Хозяйка дома попросила повторить еще раз опыт, и еще раз опыт удался. По крепости пошел разговор. Где бы поэт ни показался, к нему стали обращаться с просьбами угадать вычисленное число. Несколько раз он исполнял эти просьбы, но, наконец, ему надоело, и он через несколько дней, тоже на одном из вечеров, открыл секрет, состоявший в том, что заставляют задумавшего число, какое бы оно ни было, вычесть это число из суммы этого же числа и некоторых других подсказанных чисел, так что диктующему легко подсчитать результат, например:

[(х + 100 + 206 + 310 - 500 - х): 2)] · 3= 174.

Со слов А. А. Лопухина, товарища Лермонтова по кавалерийскому училищу, близко знавшего поэта, сообщается о нем следующее: Лермонтов постоянно искал новой деятельности и никогда не отдавался весь тому высокому поэтическому творчеству,которое обессмертило его имя и которое, казалось, должно было поглотить его всецело. Постоянно меняя занятия, он со свойственной ему страстностью, с полным увлечением отдавался новому делу. Таким образом, он одно время исключительно занимался математикой. Однажды, приехав в Москву к Лопухину, он заперся в кабинете и до поздней ночи сидел над решением какой-то математической задачи. Не решив ее, Лермонтов, измученный, заснул. Задачу эту он решил во сне. Ему приснилось, что пришел какой-то математик и подсказал ему решение задачи. Он даже нарисовал портрет этого математика. ("Кружковая работа по математике в V - VIII классах" Марийское книжное издательство, Йошкар-Ола, 1965 г. стр.28-30)

2. Отгадывание задуманного числа

Фокус 1.

1. Задумайте число.

2. Отнимите 1.

3. Остаток удвойте и прибавьте первоначально задуманное число.

4. Скажите результат. Я угадаю задуманное число.
   
   Способ угадывания. 
   Прибавьте к результату 2, а сумму разделите на 3. Частное — задуманное число. 
   
   
   

Обоснование фокуса. 

Задуманное число обозначим буквой х. Выполняем требуемые действия:

х— 1; 2(х—1); 2(х— 1) + х; результат: 2х - 2 + х = 3х - 2.

Фокус 2.

1. Задумайте число.

2. Прибавьте к нему 5.

3. Сумму умножить на 3.

4. Из произведения вычесть 7.

5. Вычесть еще 8

6. Скажите результат. Я угадаю задуманное число.
   
   Способ угадывания. результат разделите на 3. Частное — задуманное число. 
   
   
   

Обоснование фокуса. 

Задуманное число обозначим буквой х. Выполняем требуемые действия:

х+5; 3(х+5); 3(х+5)-7-8; результат: 3х+15-15= 3х .

Фокус 3.

1. Задумайте двухзначное число.

2. Число десятков задуманного числа умножить на 2.

3. К произведению прибавить 5.

4. Полученную сумму умножить на 5.

5. К произведению прибавить 10.

6. Прибавьте еще число единиц задуманного числа.

7. Скажите результат. Я угадаю задуманное число.
   
   Способ угадывания. Из результата вычесть 35. Разность — задуманное число. 
   
   
   

Обоснование фокуса. 

Задуманное число 10х+у. Выполняем требуемые действия:

х∙2; 2∙х+5; (2∙х+5)∙5; (2∙х+5)∙5+10; (2∙х+5)∙5+10 +у;

результат: (2 х+5)∙5+10 +у = 10 х + 25 + 10 + у = (10 х + у) + 35

Информационный ресурс: Ф.Г.Петрова "Математические вечера", Издательство "Удмуртия", Ижевск, 1968 г. стр. 61

Фокус 4.

Предложите своему другу задумать какое-либо число.

Затем заставьте его несколько раз поочередно умножать и делить задуманное им число на различные, произвольно вами назначаемые числа.

Результат действий пусть он вам не сообщает. 

После нескольких умножений и делений остановитесь и предложите задумавшему число разделить полученный им результат на то число, которое он задумал, затем прибавить к последнему частному задуманное число и сказать вам результат.

По этому результату вы немедленно угадываете число, задуманное вашим другом. 

Секрет фокуса. Угадывающему самому тоже надо задумать произвольное число (например, 1) и проделывать над ним все назначаемые им умножения и деления вплоть до деления на первоначально задуманное .число. Тогда в частном у него получится то же самое число, что и у другого задумавшего, хотя бы первоначально задуманные числа и были у них различными. После этого угадывающему надо вычесть из сообщенного ему результата свой результат.

Разность и будет искомым числом. 

Пример. Задумано число 7. Умножено на 12. Результат (84) разделен на 2. Полученное число (42) умножено на 5. Результат (210) разделен на 3. Получилось 70, а после деления на задуманное число и прибавления задуманного числа —17.

Одновременно вы «про себя» задумали число 1. Умножаете на 12, получается 12. Делите на 2, получается 6. Умножаете на 5, получается 30. Делите на 3, получается 10. Вычитая 10 из 17, получаете искомое число 7.

Замечание 1. Для усиления эффекта вы можете предоставить возможность самому задумавшему число назначать числа, на которые ему хотелось бы умножать и делить получающиеся результаты, лишь бы он каждый раз сообщал вам эти числа. 

Замечание 2. Не обязательно чередовать умножения и деления. Можно сначала назначить несколько умножений, а затем несколько делений, или наоборот. 

Обоснование фокуса. 

Задуманное число х. Выполняем требуемые действия:

Угадывающий задумал число у. Его действия:

Чтобы найти задуманное число х угадывающему надо вычесть из сообщенного ему результата свой результат.

(Информационный ресурс:: http://www.vseigritut.ru/focus/fokus1.php)

Фокус 5.

Для обучения этому фокусу примем или условимся называть большей частью нечетного числа ту его часть, которая на 1 больше другой.

Так, у числа 13 большая часть равна 7 (х + х - 1 = 13, х = 7),

у числа 21 большая часть равна 11 (х + х - 1 = 21, х = 11). 

Большую часть нечетного числа можно найти так: к числу прибавляем 1 и полученную сумму делим на 2.

Задумайте число. Прибавьте к нему его половину, или, если оно нечетное, то его большую часть. К этой сумме прибавьте ее половину или, если она нечетная, то ее большую часть. Разделите полученное число на 9, сообщите частное, и если получится остаток, то скажите, он больше 5 или он равен 5 или он меньше 5.

Секрет фокуса. В зависимости от полученного ответа на вопрос задуманное число равно:

• учетверенному частному, если нет остатка;

• учетверенному частному + 1, если остаток меньше пяти;

• учетверенному частному + 2, если остаток равен пяти;

• учетверенному частному + 3, если остаток больше пяти;

Пример. Задумано 15. Выполняя требуемые действия, имеем:

15 + 8 = 23, 23 + 12 = 35, 35 : 9 = 3 (в остатке 8). Сообщено: «частное три, остаток больше пяти».

Угадываем: 3 • 4 + 3 = 15. Задумано 15. 

Обоснование фокуса. 

Пусть х - задуманное число. Так как мы дважды прибавляем к задуманному его половину или его большую часть то для удобства представим х в виде:

1) 4n, 2) 4n + 1, 3) 4n + 2, 3) 4n + 3, где n = 0, 1, 2, 3, 4, ...

1) х = 4n Выполняем требуемые действия:

4 n + 2 n = 6 n 6 n + 3 n = 9 n 9 n : 9 = n Результат: n, остатка нет

Для нахождения задуманного числа результат умножим на 4. 

2) х = 4n + 1 Выполняем требуемые действия:

4 n + 1 + 2 n + 1 = 6 n + 2; 6 n + 2 + 3 n + 1 = 9 n + 3; (9 n + 3) : 9 = n, остаток 3. Результат: n, остаток меньше 5

Для нахождения задуманного числа результат умножим на 4 и прибавим 1. 

3) х = 4n + 2 Выполняем требуемые действия:

4 n + 2 + 2 n + 1 = 6 n + 3; 6 n + 3 + 3 n + 2 = 9 n + 5; (9 n + 5) : 9 = n, остаток 2. Результат: n, остаток равен 5.

Для нахождения задуманного числа результат умножим на 4 и прибавим 2. 

3) х = 4n + 3 Выполняем требуемые действия:

4 n + 3+ 2 n + 2 = 6 n + 5; 6 n + 5 + 3 n + 3 = 9 n + 8; (9 n + 8) : 9 = n, остаток 8. Результат: n, остаток больше 5

Для нахождения задуманного числа результат умножим на 4 и прибавим 3. 

(Информационный ресурс: http://www.vseigritut.ru/focus/fokus1.php)