Математична подорож у світ гармонії

Математична подорож у світ гармонії

Роботу виконав

Тесля Денис учень 9 класу

Портовської загальноосвітньої школи І-ІІІ ступенів

«Краса і гармонія стали найважливішими категоріями пізнання, певною мірою навіть його метою, бо в кінцевому підсумку художник шукає істину в красі, а вчений - красу в істині». Стахов О.П.

Цілі проекту:

• Пізнання математичних закономірностей в світі, визначення значення математики у світовій культурі та доповнення системи знань уявленнями про «золотой перетин» як гармонії навколишнього світу.
• Формування навичок самостійної дослідніцької діяльності.
• Формування навичок вирішення ключової проблеми в процесі співпраці і створення продукту.

Завдання проекту:

• Опрацювати літературу з теми «золотий перетин», симетрія
• Провести дослідження за наступним напрямком:
• Ознайомитись з історією «золотого перетину» та симетрії
• Надати означення «золотого перетину», симетрії.
• Сформулювати поняття гармонії та математичної гармонії
• Дослідити пропорції тіла людини по Цейзингу
• Знайти підтвердження наявності «золотого перетину» та симетрії в природі
• Розглянути застосування «золотого перетину» в мистецтві (скульптура, живопис, фотографія)

Історія «Золотого перетину»

Теорія гармонії Античності

• В Стародавньому Єгипті існувала «система правил гармонії», заснована на «золотому перетині».
• В Стародавній Греції « золотий перетин» був своєрідним каноном культури, який пронизує всі сфери науки і мистецтва. Краса і гармонія стали найважливішими категоріями пізнання.
• У тлумаченні давніх греків поняття «золотого перетину», і поняття гармонії ідентичні.
• Згідно Піфагору, гармонія має чисельне значення , тобто, вона пов'язана з концепцією числа.
• Евклід викладає теорію Платонових тіл, яка є істотним розділом геометричної теорії «золотого перетину».

Математичне розуміння гармонії

• « Гармонія - відповідність частин і цілого, злиття різних компонентів об'єкта в єдине органічне ціле. В гармонії отримують зовнішнє виявлення, внутрішню впорядкованість і міру буття. »- Велика Радянська Енциклопедія

• Математична гармонія - це рівність або відповідність частин один з одним і частини з цілим.

Поняття математичної гармонії тісно пов'язане з поняттями пропорції і симетрії .

«Золота пропорція» - головний естетичний принцип епохи Середньовіччя

Епоха Відродження асоціюється з іменами таких «титанів», як Леонардо да Вінчі, Мікеланджело, Рафаель, Микола Коперник, Альберт Дюрер, Лука Пачолі.

Є багато авторитетних свідчень про те, що саме Леонардо да Вінчі (1452-1519) був одним з перших, хто ввів сам термін «Золотий перетин».

«Вітрувійска людина» - розмах витягнутих в сторону рук людини приблизно дорівнює його росту, внаслідок чого фігура людини вписується в квадрат і в коло.

Малюнок і текст іноді називають канонічними пропорціями .

Ікосаедр і додекаедр

Два головних Платонових тіла, додекаедр і ікосаедр, засновані на «золотому перетині».

Внесок Кеплера в теорію «золотого перетину»

• Геніальний астроном Йоганн Кеплер (1571-1630) був прихильником «золотого перетину», Платонових тіл і Піфагорійської доктрини про числову гармонію Всесвіту.
• Вважається, що саме Кеплер звернув увагу на ботанічну закономірність філлотаксису і встановив зв'язок між числами Фібоначчі і «золотою пропорцією» , довівши, що послідовність відносин сусідніх чисел Фібоначчі:

1/1; 2/1; 3/2; 5/3; 8/5; 13/8; ... знаходиться в межі «золотих пропорцій»

Ряд Фібоначчі

• З історією «золотого перетину» пов'язано ім'я італійського математика Леонардо Фібоначчі.
• ряд чисел 0,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 і т.д. відомий як ряд Фібоначчі.
• Кожен член послідовності, починаючи з третього, дорівнює сумі двох попередніх, а відношення суміжних чисел ряду наближається до відношення «золотого ділення». Всі дослідники «золотого поділу» в рослинному і в тваринному світі, мистецтві, незмінно приходили до ряду Фібоначчі як арифметичному вираженню закону «золотого перетину».

Поняття «Золотий перетин »

«Золотий перетин» - розподіл безперервної величини на дві частини в такому відношенні, при якому менша частина так відноситься до більшої, як більша до всієї величини.

а : b = b : c або с : b = b : а

Ця пропорція дорівнює:

«Золотий перетин» у відсотках

«Золотий прямокутник»

Прямокутник, сторони якого відносяться як «золоте відношення», відношення довжини до ширини = число φ , називається « золотим прямокутником».

Якщо в пентаграмі провести всі діагоналі, то в результаті отримаємо п'ятикутну зірку .

Точки перетину діагоналей в пентаграмі є точками «золотого перетину діагоналей» (Відношення синього відрізка до зеленого, червоного до синього, зеленого до фіолетового, рівні 1.618 ). При цьому ці точки утворюють нову пентаграму FGHKL і п'ять правильних трикутників ( ADC , ADB , EBD , AEC , EBC )

Будівля військового відомства США має форму пентаграми і отримало назву «Пентагон», що означає правильний п'ятикутник.

Пентаграма

«Золота спіраль»

Послідовно відрізаючи від золотого прямокутника квадрати і вписуючи в кожен по чверті кола, одержуємо « золоту логарифмічну спіраль».

Форма спірально завитої раковини привернула увагу Архімеда. Він вивчав її і вивів рівняння спіралі. Спіраль, накреслена з цього рівняння, називають спіраль Архімеда.

«Золотий перетин» - гармонія математики

число  є позитивним коренем квадратного рівняння:

x 2 = x + 1

(1)

підставимо корінь  замість x і розділимо на  :

(2)

Якщо продовжити таку підстановку нескінченне число разів, то отримаємо ланцюгову дріб:

(3)

Аналогічно, якщо взяти корінь квадратний з правої і лівої частин тотожності (1) то отримаємо уявлення «золотий пропорції» в «радикалах» :

(4)

Ці формули (3) і (4) доставляють «естетичну насолоду» і викликають неусвідомлене почуття ритму і гармонії ...

Величини відростків і пелюсток цикорію підпорядковані правилом «золотої пропорції».

«Золотий перетин» на листі троянди

«Золота пропорція» в тілі ящірки - довжина хвоста так відноситься до довжини решти тіла, як 62 до 38

«Золоті пропорції» в яйці птиці

• У багатьох метеликів візерунки на крилах, співвідношення розмірів грудної та черевної частини тіла відповідають «золотій пропорції».

«Золотий перетин» в природі

Все, що набувало якоїсь форми, утворювалося, росло, прагнуло зайняти місце в просторі і зберегти себе.

Це прагнення знаходить здійснення в основному в двох варіантах - зростання вгору або розтилання по поверхні землі і закручування по спіралі.

Гете називав спіраль "кривою життя". Спіраль побачили в розташуванні насіння соняшника, в шишках сосни, ананасах, кактусах і т.д.

• Квітки і насіння соняшнику, ромашки, лусочки в плодах ананаса, хвойних шишках «упаковані» по логарифмичним ( «золотим») спіралям , завиваються назустріч один одному , причому числа «правих» і «лівих» спіралей завжди відносяться один до одного, як сусідні числа Фібоначчі.

Роги і бивні тварин розвиваються в формі спіралі. Бивні слонів і вимерлих мамонтів, кігті левів і дзьоби папуг являють собою логарифмічні форми і нагадують форму осі, схильної звернутися в спіраль.

Математична естетика Цейзинга

У 1855 р німецький дослідник «золотого перетину» професор Цейзинг опублікував свою працю «Естетичні дослідження». Він виміряв близько двох тисяч людських тіл і прийшов до висновку, що пропорції «золотого перетину» проявляються в відношенні частин тіла людини - довжина плеча, передпліччя і кисті, кисті і пальців і т.д.

Розподіл тіла точкою пупа - найважливіший показник «золотого перетину».

Математичні закономірності заходів

«Золотий перетин» в живопису і фотографії

• На мальовничому полотні існують чотири точки підвищеної уваги .
• Зорові центри розташовані на відстані 3/8 і 5/8 від країв будь-якої картини і фотографії.

«Золотий перетин» в скульптурі

Доріфор Поліклета

Венера Мілоська

«Золотий перетин» в картині Леонардо да Вінчі «Джоконда»

• Портрет Мони Лізи приваблює тим, що композиція малюнка побудована на «золотих трикутниках» (точніше на трикутниках, які є шматками правильного зірчастого п'ятикутника).

«Суд Паріса»

Васильєв «У вікна»

Іванов «Явище Христа народу»

«Співаючий Один» 8 століття

• Пропорції піраміди Хеопса, храмів, барельєфів, предметів побуту і прикрас з гробниці Тутанхамона свідчать, що єгипетські майстри користувалися співвідношеннями золотого розподілу при їхньому створенні.

«Золотий перетин» в архітектурі

Піраміда Хеопса

«Золоті пропорції» Парфенона

« Золоте співвідношення» ми можемо побачити і в будівлі Собору Паризької Богоматері

Нотр Дам де Парі

«Золотий перетин» можна побачити на арі Маріупольського саду

«Золоте співвідношення» ми можемо побачити і в будівлі драматичного театру у Маріуполі

С и метрія

Симетр í я (від грец. συμμετρεῖν — міряти разом) — властивість об'єкта відтворювати себе при певних змінах, перетвореннях чи трансформаціях, які називаються операціями симетрії. Розрізняють симетрію тіл, симетрію властивостей і симетрію відношень.

Симетрія — передусім геометричне поняття, однак воно застосовується також щодо негеометричних об'єктів у математиці загалом, інших науках: фізиці, хімії, біології, і в інших галузях людської діяльності: філософії, естетиці, соціології, мистецтві тощо.

Відсутність симетрії називають асиметрією. З другого боку, термін антисиметрія описує своєрідний вид симетрії.

Щоб п обачити с и метрію не треба р озгортаті книжки з геометрії,

дос ить подивитись навколо ...

С иметрія у природі

Симетрія в математиці

• Симетрія зустрічається не тільки в геометрії, а й в інших областях математики. Симетрія є одним з видів інваріантності — це така властивість, яка зберігається відносно певної множини перетворень.
• Для заданого структурованого об'єкту X будь-якого походження, симетрія є відображенням об'єкта на себе, яке зберігає структуру. Це зустрічається в багатьох випадках, наприклад, якщо X є множина без додаткової структури, симетрією буде біективне відображення з множини на себе, що призводить до груп перестановок. Якщо об'єкт X буде множиною точок на площині з заданою метрикою або в будь-якому метричному просторі, то симетрією буде біекція X на себе, яка зберігає відстань між кожною парою точок X ( ізометрією).

На малюнку два трикутника з точковим сіметрією відображення в площіні.

Парні функції

• Нехай f(x) функція дійсної змінної. Тоді f буде парною, якщо для будь якого x та - x з області визначення f виконується:
• f (-x) = f (x)

• З геометричної точки зору, графік парної функції симетричний щодо вісі ординат, а це означає, що її графік залишається незмінним після симетричного відображення відносно вісі у. Приклади парних функцій: | x|, x 2 ,  x 4 , cos(x).

ƒ (x) = x 2 є парн а функція.

Непарні функції

• Нехай f(x) функція дійсної змінної. Тоді f буде непарною, якщо для будь якого x та - x з області визначення f виконується:
• f (-x) = - f (x)
• Геометрично графік непарної функції має осьову симетрію щодо початку координат, це означає, що її графік залишається незмінним після оберту на 180 градусів навколо центру координат. Прикладами непарних функцій є x, x 3 , sin(x).

ƒ (x) = x 3 непарна функція.

С и метрія в к омах

*

С и метрія у тварин

С иметрія у рослин

Віддзеркалення у вод і є ще одним прикладом с и метрії

С и метрія правильних многокутн и ків у природі

Природа в и рішує проблему опт и міцації!

В и являється, что чарунки у бджолини х стільн и ках мають форму правильного шестикутника. Саме з авдяк и такій форм і чарунок бдж о л и досягають найбільшої місткості стільн и ків при найменших витрат ах “ будівельного матеріалу ”.

Симетрія в архітектурі

• Найпошіренішою в архітектурі є дзеркальна симетрія.
• Ісламські будівлі такі як Тадж Махал є прикладом комплексного використання симетрії як у конструкції, так і в орнаментації.

Симетрія у музиці

• Приємне звучання в музиці нерідко обумовлюється симетрічністю мелодії. У музиці є багато моментів, пов'язаних із симетрією, у першу чергу - це нотна нотація :
• сам нотний стан є симетричним;
• має місце симетрія мажорного та мінорного ладів.

Симетрія мінорного и мажорного ладів у музиці

Симетрія у соціальних взаємодіях

• Припускається, что тенденція людей бачити мету в симетрії, є однією з причин, чому симетрія часто є невід'ємною частиною символів світовіх релігій .

Симетрія у релігійніх символах

ряд 1. Християнському, юдейському, даосістському

ряд 2. Ісламському, буддистському, синтоїстському

ряд 3. Сикхському, бахаїстському, індуїстському.

Висновки

• Поняття «золотий перетин» не вивчається в шкільному курсі математики, а розглядається як гуманітарний фон в історичному розвитку математики.
• У даній роботі розглянуті способи знаходження «золотого перетину», викладені приклади золотий пропорції в природі та тілі людини, в розташуванні зорових центрів на фотографіях.
• У цій роботі продемонструвано красу і широту «золотого перетину» в реальному житті. Проведені дослідження довели, що багато в навколишній природі підпорядковується правилам золотого перетину.
• Симетрія – це спосіб створення краси, досконалості,це порядок, чіткість у зображенні.
• Зібрані приклади – це підтвердження її існування у природі.

.