Математика Древнего Египта

Математика древнего Египта

Самые ранние математические тексты, известные в наши дни, оставили две великие цивилизации древности - Египет и Месопотамия, или Междуречье.

В V в.до н.э. знаменитый греческий историк Геродот писал: «Они [египетские жрецы] говорили, что царь разделил землю между всеми египтянами, дав каждому по равному прямоугольному участку; из этого он создал себе доходы, приказав ежегодно вносить налог. Если же от какого-нибудь надела река отнимала что-нибудь, то владелец, приходя к царю, сообщал о происшедшем. Царь же посылал людей, которые должны были осмотреть участок земли и измерить, на сколько он стал меньше, чтобы владелец вносил с оставшейся площади налог, пропорциональный установленному. Мне кажется, что так и была изобретена геометрия, которая затем из Египта была перенесена в Элладу».

Источники, по которым можно судить об уровне математических знаний древних египтян:

• Папирус Райнда , названный так по имени своего первого владельца. Он был найден в 1858 г., расшифрован и издан в 1870 г. Рукопись представляла собой узкую (33 см) и длинную (5,25 м) полосу папируса, содержащую 84 задачи. Теперь одна часть папируса хранится в Британском музее в Лондоне, а другая находится в Нью-Йорке. (папирус Райнда переписал писец Ахмес около 1650 г.до Н.Э.)
• Московский папирус - его в декабре 1888 г. приобрёл в Лукcope русский египтолог Владимир Семёнович Голенищев. Сейчас папирус принадлежит государственному музею изобразительных искусств имени А.С.Пушкина.Этот свиток длиной 5,44 м и шириной 8 см включает 25 задач.( Московский папирус был переписан неким учеником между 1800 и 1600 гг.до н.э.С более древнего текста, примерно 1900 г.до н.э.)
• «Кожаный свиток египетской математики», с большим трудом распрямлённый в 1927 г. И во многом проливший свет на арифметические знания египтян. Ныне он хранится в Британском музее. Эти рукописи относятся к эпохе Среднего царства (ХХ-ХУII вв.до н.Э.).

Египтяне брали кусок папируса и рисовали на нем чертеж пирамиды. Затем они выбирали место для постройки и намечали на нем основание, фундамент пирамиды. Сделать это нужно было так, чтобы пирамида не была кособокой и чтобы стороны её стороны смотрели на север, юг, восток и запад.  Египтяне поступали так: они втыкали в землю отвесный шест. В полдень, когда тень от шеста была короче всего, она показывала им направление на север. Затем на земле они намечали линию “север – юг”. Далее они брали веревку с двумя колышками и проводили на земле дуги так, как показано на рисунке. Через точку пересечения дуг они натягивали веревку и проводили линию направления “восток – запад”. Линии “север – юг”, “восток – запад” пересеклись под прямым углом. Из планок египтяне делали себе угольник и намечали основание пирамиды. Можно было начинать строить. Для того чтобы каменные кубики, из которых складывалась пирамиды, становилась правильно, а не вкривь и вкось, египетские строители использовали отвес – веревочку с гирькой. На первый слой “кубиков”, отступив от краёв, накладывали второй, на второй третий и т.д. И так до верха, пока в последнем слое не останется всего один “кубик”.

• Имели представления о дробях и частях меры сыпучих тел  • Решали задачи по определению объёма усечённой пирамиды и площади поверхности полушария  • Производили сложные геометрические построения. Определили "золотое сочетание" и активно его использовали в архитектуре и изобразительном искусстве  • Определяли площадь круга методом построения промежуточного квадрата со сторонами, равными 8/9 диаметра  • Умели возводились в степень и извлекать квадратные корни  • Умели вычислять площадь поля, объём (корзины, амбары и т.п.)  • Обладали знаниями арифметической и геометрической прогрессией 

Древнеегипетская нумерация, то есть запись чисел, была похожа на римскую: поначалу были отдельные значки для 1, 10, 100, … 10 000 000, складываясь. Египтяне писали справа налево, и младшие разряды числа записывались первыми, так что в конечном счёте порядок цифр соответствовал нашему.

Любое число в Древнем Египте можно было записать двумя способами: словами и цифрами. Например, чтобы написать число 30, можно было использовать обычные иероглифы:

или то же самое написать цифрами (три символа десятки):

1 10 100 1000 10,000 100,000 1,000,000

Знаки сложения и вычитания

Чтобы показать знаки сложения или вычитания использовался иероглиф

или

Если направление ног у этого иероглифа совпадало с направлением письма, тогда он означал «сложение», в других случаях он означал «вычитание».

Если при сложении получается число большее десяти, тогда десяток записывается повышающим иероглифом.

Например : 2343 + 1671

+

Собираем все однотипные иероглифы вместе и получаем:

Окончательный результат выглядит вот так:

Древнеегипетское умножение является последовательным методом умножения двух чисел. Чтобы умножать числа, им не нужно было знать таблицы умножения, а достаточно было только уметь раскладывать числа на кратные основания, умножать эти кратные числа и складывать.

Египетский метод предполагает раскладывание наименьшего из двух множителей на кратные числа и последующее их последовательное переумножение на второй множитель.

Египтяне использовали систему разложения наименьшего множителя на кратные числа, сумма которых составляла бы исходное число.

Чтобы правильно подобрать кратное число, нужно было знать следующую таблицу значений:

1 x 2 = 2 2 x 2 = 4 4 x 2 = 8 8 x 2 = 16 16 x 2 = 32

Пример задачи из папируса Ахмеса:

Найти число, если известно, что от прибавления к нему 2/3 его и вычитания из результата его трети получается 10 .

Древний свиток папируса, найденный в Оксиринхе, свидетельствует, что египтяне могли вычислять объем усеченного конуса. Эти знания ими использовались для сооружения водяных часов. Так, например, известно, что при Аменхотепе III были построены водяные часы в Карнаке .

Шестидесятеричная система счисления, сложилась при торговых сделках между двумя древними народами, Месопотамии - шумерами и аккадuами. У шумеров «денежной единице служила мина - кучка серебра. Это крупная сумма, и при продаже недорогих товаров её делили пополам, а каждую половину - ещё на три части, так шестая часть мины использовалась при расчётах. У аккадиев была своя монета - шеккель. При сделках между шумерами и аккадuами шестая часть мины приравнивалась к 10 шеккелям, т.е. мина составляла 60 шеккелей. В результате появились знаки для чисел 1, 10, 60, 600, 3600- около 5 тыс. лет назад..

меры длины: локоть приблизительно 0,52 м,

ладонь около 0,07 м,

палец около 0,01 м,

прут чуть больше 52 м,

речная мера около 10,5 м,

массы: дебен приблизительно 91 г,

кедет - 9,1 г,

печать около 7,6 г,

площади : сечат около 2735 кв.м.,

локоть приблизительно 27,35 кв.м.,

ха-та около 27350 кв.м.

  объема: хекат около 454 л,

хар приблизительно 1816 л,

хену около 5 л.