Математика. Уравнения в целых числах. Примеры.

Уравнения в целых числах – это алгебраические уравнения с двумя или более неизвестными переменными и целыми коэффициентами. Решениями такого уравнения являются все целочисленные (иногда натуральные или рациональные) наборы значений неизвестных переменных, удовлетворяющих этому уравнению. Такие уравнения ещё называют диофантовыми, в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского.

Алгоритм решения уравнения в целых числах

Сформулированные теоремы позволяют составить следующий алгоритм решения в целых числах уравнения вида (ax + by) = с .

1. Найти наибольший общий делитель чисел a и b ,

если (a,b) = d >1  и с не делится на d , то уравнение целых решений не имеет;

если (a,b) = d >1  и  c⋮d , то переходим к этапу 2.

2. Разделить почленно уравнение (ax + by) = с  на d, получив при этом уравнение (a₁x + b₁y) = c₁ , в котором (a₁,b₁) = 1.

3. Найти целое решение (х₀ , у₀ ) уравнения (a₁x + b₁y) = 1 путем представления 1 как линейной комбинации чисел  a и b ;

4. Составить общую формулу целых решений данного уравнения

x = x₀c + bt

y = y₀c - at

где х₀ , у₀ – целое решение уравнения (ax + by) = 1, t- любое целое число.

Способы решения уравнений

При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие методы:

1. Алгоритм Евклида.

2. Способ перебора вариантов.

3. Метод разложения на множители.

4. Метод остатков.

5. Решение уравнений в целых числах как квадратных относительно какой-либо переменной.

6. Цепные дроби.

7. Метод бесконечного спуска.