Методическая разработка урока алгебры в 10-ом классе на тему: «Синус, косинус и тангенс числового аргумента»

Этапы урока

Деятельность учителя, задания для учащихся

1.Организационный этап

Мотивация. Целеполагание.

И сегодня мы говорим о разделе математики, который имеет огромное прикладное значение в различных областях знаний. Начнём сегодняшний урок с загадки:

- Какое слово начинается с трёх букв «Г» и заканчивается тремя буквами «Я»? (Тригонометрия)

Сегодня мы начинаем изучать новый раздел математики, называемый тригонометрией. Одним из основных понятий этого раздела является определение синуса, косинуса и тангенса угла. Позже будем выполнять преобразования тригонометрических выражений, которые являются математическим аппаратом, необходимым для изучения колебательных процессов, законов автоматического регулирования различных процессов в курсе физики

Каковы цели нашего урока? Объявление целей урока. (Вы узнаете определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла, научитесь решать простейшие тригонометрические уравнения)

2. Актуализация опорных знаний

Прием «Мозговой штурм»

1) Где вы сталкивались с понятием синуса, косинуса и тангенса угла?

2) Какой угол фигурировал в этих задачах?

3) Какие значения синусов, косинусов и тангенсов вы знаете.

4) Какие значения в домашнем задании вам показались знакомыми?

Но уже на прошлом уроке мы почувствовали потребность в расширении данного понятия, то есть перехода к углу от -∞; +∞.

3.Изучение нового материала

Рассмотрим окружность радиуса, равного 1 единичному отрезку, в прямоугольной системе координат хОу с центром в начале координат. Такую окружность называют Единичной или тригонометрической.

Рисунок 1 – точка Р на единичной окружности

Точка Р (1; 0) при повороте вокруг начала координат на угол   переместилась в точку Рₐ. Определим её координаты. (рис. 2).

Определения.

Синусом угла  называется ордината точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол .

Обозначается

Косинусом угла называется абсцисса точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол  .

Обозначается 

Угол   может выражаться и в градусах и в радианах

4.Закрепление нового материала Решение задач.

Пример 1.

Точка А(1; 0) при повороте на угол 90  (рис. 1)

Ордината точки В равна 1, значит  или

Абсцисса точки В равна 0, значит 

Пример 2.

Точка А(1; 0) при повороте на угол   переместилась в точку  ( рис. 1)

Найдите   и 

Ответ:  = 0; 

Пример 3.

Точка А(1; 0) при повороте на угол   переместилась в точку   (рис. 1)

Найдите   и 

Ответ:  = 1 = 0

Рассмотрим ещё два понятия.

Определение. Тангенсом угла   называется отношение синуса угла к его косинусу.

Обозначается tg

tg , 

Пример 4.

Найти tg 0. Вычислим по формуле tg   =  = 0.

Определение. Котангенсом угла   называется отношение косинуса угла к его синусу.

Обозначается сtg

сtg

Пример 5.

Найти сtg  .

Вычислим по формуле сtg   = 

2. Меру угла (в радианах) можно рассматривать как действительное число, поэтому   и   – это числовые выражения. А так как каждая точка единичной окружности имеет координаты х и у такие, что выполняются неравенства -1 ≤ х ≤ 1; -1 ≤ у ≤ 1,то синус и косинус не могут превышать значения, больше  .

Чтобы решить уравнения  = а,   нужно считать х неизвестным, число а – заданным.

Пример 6.

Решить уравнение   = 1.

Найдем точку с ординатой 1 и запишем, каким числам х она соответствует. На окружности мы видим эту точку: В (0; 1). Она соответствуют числу   и всем числам вида 

Решением уравнения   = 1 являются х = .

3. Полезно знать синусы, косинусы, тангенсы некоторых углов. Для этого рассмотрим дугу единичной окружности в I четверти координатной плоскости (рис. 3).

Рисунок 2 – 1 четверть единичной окружности

Точки А (1; 0) и В (0; 1) нам знакомы. Рассмотрим ещё несколько точек на окружности и найдем их координаты. Точка С является серединой дуги АВ, значит угол АОС равен половине прямого угла, 45  или  . Ордината точки С равна её абсциссе. Их значения нетрудно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ОСF, оно равно   А значит, 

,

tg 45

Дуга АМ составляет третью часть прямого угла,  . Ордината точки М равна  , значит

, tg30 .

Дуга АNсоставляет   прямого угла,  . Абсцисса точки N равна  , поэтому

,   tg 60 .

Чтобы легче запомнить эти значения, придумали мнемоническое правило- правило на ладони (рис. 4).

Рисунок 3 - мнемоническое правило- правило на ладони

Расположим ладонь так, как на рисунке, пусть мизинцу соответствует угол 0 , следующим пальцам– 30 , 45, 60  и 90 . Так же присвоим им номера: мизинец №0, следующие №1, №2, №3, №4. Чтобы найти синус, используем формулу:  = . А для косинуса нумерацию будем вести от большого пальца, выполняя вычисления по той же формуле.  = .

Например,  = ,  =  =  .

А тангенс можно вычислить по формуле: tg  = 

5.Рефлексия (подведение итогов урока).

Подводит итоги работы.

1.Организует работу по эмоциональной окраске

2. Организует работу по закреплению нового материала, запоминанию определений