Методическая разработка урока по теме "Теорема Фалеса"

Теорема Фалеса

Фале́с (640/624 — 548/545 до н. э.) —древнегреческий философ и математик из Милета (Малая Азия). 

ПЛАН УРОКА

Определение и свойства параллелограмма и трапеции

ПОВТОРИМ

Теорему Фалеса

УЗНАЕМ

Решать задачи с применением теоремы Фалеса

НАУЧИМСЯ

AN=NC ч.т.д. М 3 1 А N 2 C D " width="640"

В

Задача:

Через середину М стороны АВ треугольника АВС проведена прямая, параллельная стороне ВС. Эта прямая пересекает сторону АС в точке N .

Доказать: AN=NC

1. Через точку С проведем прямую, С D || АВ

2. АМ=МВ по условию , МВ=С D как противоположные стороны параллелограмма

ВС D М, то АМ= D С

3. ∆АМ N =∆С DN по второму признаку равенства ∆.

Так как АМ= D С, ∠1= ∠2, ∠3= ∠4, как накрест лежащие углы при пересечении С D || АВ секущими

АС и М D . = AN=NC ч.т.д.

М

3

1

А

N

2

C

D

AN=NC ч.т.д. М 3 1 А N 2 C 4 D " width="640"

В

Задача:

Через середину М стороны АВ треугольника АС проведена прямая, параллельная стороне ВС. Эта прямая пересекает сторону АС в точке N .

Доказать: AN=NC

1. Через точку С проведем прямую, С D || АВ

2. АМ= по условию , МВ= как противоположные стороны параллелограмма

ВС D М, то АМ= D С

3. ∆АМ N =∆ по второму признаку равенства ∆.

Так как АМ= , ∠1= ∠ , ∠3= ∠ как накрест лежащие углы при пересечении С D || секущими

АС и . = AN=NC ч.т.д.

М

3

1

А

N

2

C

4

D

Теорема Фалеса

Теорема. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

В теореме нет ограничений на взаимное расположение прямых (она верна как для пересекающихся прямых, так и для параллельных). Также не важно, где находятся отрезки на прямых.

В 1 В 2 = В 2 В 3 ч.т.д. n m " width="640"

Теорема Фалеса : Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Дано : ∠ nm , прямые В 1 А 1 ∥ В 2 А 2 ∥ В 3 А 3 пересекают стороны ∠ nm , А 1 А 2 = А 2 А 3

Доказать : В 1 В 2 = В 2 В 3

Доказательство :

1. Проведем через точку В 2 прямую EF || A 1 A 3

2. По свойству параллелограмма А 1 А 2 = EB 2 ,

A 2 A 3 = FB 2

3 . ∆ В 2 В 1 Е= ∆ В 2 В 3 F по

второму признаку равенства ∆ :

1)А 1 А 2 = А 2 А 3 по условию и А 1 А 2 = EB 2 ,

A 2 A 3 = FB 2 из пункта 2) В 2 F = В 2 Е

2)  ЕВ 2 В 1 =  B 3 B 2 F как вертикальные

3)  В 1 ЕВ 2 = B 3 FB 2 , как внутренние накрест лежащие при прямых А 1 В 1 ∥ А 3 В 3 и секущей EF

5. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов = В 1 В 2 = В 2 В 3 ч.т.д.

n

m

Задача 1

Доказать, что отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, параллелен основаниям трапеции

Доказательство:

Задача 1

Доказать, что отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, параллелен основаниям трапеции

Доказательство:

Пусть К–середина АВ.

Проведем KL || BC ||AD .

Тогда по теореме Фалеса L – середина CD

Докажем, что К L - единственный.

Через точки К и L можно провести только одну прямую(аксиома), т.е. отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции ABCD параллелен основаниям. ч.т.д.

Задача 2

Дано: МК || ВЕ || С D , AD=16 см, ВС=8 см

Найти:АК

в

C

M

D

A

E

K

Задача 2

Дано: МК || ВЕ || С D , AD=16 см, ВС=8 см

Найти: АК

в

C

M

Решение:

По теореме Фалеса АК=КЕ, т.к.

АМ=МВ и МК || ВЕ

ВС=Е D , т.к. BCD Е- параллелограмм по определению

АК=0.5∙АЕ= 0.5∙(А D- Е D)=

= 0.5∙ (16-8)=4 см

Ответ: 4 см

D

A

E

K

Следствие

Прямая, проведенная через середину стороны треугольника параллельно другой его стороне, делит третью сторону пополам

Дано: ∆ АВС, ВМ=МА, М € АВ, MN || АС

Доказать: BN=NC

Доказательство:

Следствие

Прямая, проведенная через середину стороны треугольника параллельно другой его стороне, делит третью сторону пополам

Дано: ∆ АВС, ВМ=МА, М € АВ, MN || АС

Доказать: BN=NC

Доказательство:

По теореме Фалеса для угла В имеем

BN=NC ч.т.д.

Деление отрезка на равные части

AC 1 =C 1 D 1 =D 1 E 1 =E 1 B

E 1

C 1

D 1

А

В

•

C

•

D

•

Пусть отрезок АВ требуется разделить например на 4 равных части.

• Для этого из любого конца отрезка (из точки А ) проведем под острым углом к отрезку прямую линию АС,
• на которой от точки А измерительным циркулем откладываем 4 равных отрезка произвольной величины.
• Точку F соединяем с точкой В (концом данного отрезка) прямой.
• Из точек C, D, E проведем ряд прямых параллельных прямой FB , которые пересекая отрезок АВ разделят его на 4 равных части.

E

•

F

С

Задача 1

Решение:

По теореме Фалеса для угла А

АК=КЕ;

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

Выучить теорему Фалеса и решить

задачи на готовых чертежах

1.

2.

Интересные факты

Теорема Фалеса до сих пор используется в морской навигации в качестве правила о том, что столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется курс судов друг на друга.