Методическая разработка занятия по математике по теме «Действия над комплексными числами в алгебраической форме»

Занятие 41. Тема «Действия над комплексными числами в алгебраической форме»

План занятия:

1. Повторение основных понятий.

2. Действия над комплексными числами.

1. Повторение основных понятий.

Комплексным числом z называется выражение вида z = x +iy, где х и у – действительные числа, а i – так называемая мнимая единица, i²= –1.

Запись числа в виде называют алгебраической формой комплексного числа. Модуль однозначно определяется по формуле . Например, . Аргумент определяется из формул

, ,

Степени мнимой единицы.

Вывод: значение степеней числа повторяются с периодом, равным 4.

Множество комплексных чисел обозначается буквой .

– алгебраическая форма комплексного числа, где – действительная часть, - мнимая часть, – коэффициент мнимой части.

Замечание. Знак “+” в алгебраической форме комплексного числа следует понимать не как знак операции сложения, а как некоторый формальный соединительный символ.

Два комплексных числа называются равными, если равны их действительные части и коэффициенты их мнимых частей, т.е. если

.

Примеры комплексных чисел в алгебраической форме:

.

1. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

1. Сложение (вычитание).

Пусть . Тогда

. Найти .

Решение.

.

Сложение комплексных чисел обладает следующими свойствами:

1. Коммутативность

1. Ассоциативность

.

Умножение производится по обычному правилу умножения многочленов.

Пусть . Тогда

. Найти .

Умножение комплексных чисел обладает свойствами:

1. Коммутативность

1. Ассоциативность

1. Дистрибутивность

3. Умножение на сопряженное число

Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга, только знаками перед мнимой частью.

Числа называются сопряженными.

Например, числа – сопряженные;

числа – сопряженные.

Произведение сопряженных комплексных чисел равно действительному положительному числу, т.е.

4. Деление.

Пусть . Тогда, умножим и разделим дробь на число комплексно сопряженное знаменателю:

. Найти .

Решение.

Задание для самостоятельного выполнения

Вариант выполнения соответствует порядковому номеру.

Выполненные задания отправить на адрес электронной почты преподавателя: [email protected]. Имя файла – фамилия студента и номер занятия. (например, Петров-41)