Методические рекомендации на тему «Логарифмы. Логарифмические уравнения»

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕДЖДЕНИЕ

«ШКОЛА № 120 ГОРОДА ДОНЕЦКА»

Методические рекомендации на тему:

«Логарифмы. Логарифмические уравнения»

Выполнила:

учитель математики

Кориненко Е. В.

2021

Методические рекомендации на тему:

«Логарифмы. Логарифмические уравнения»

Цели:

- повторить, обобщить и систематизировать теоретический материал по теме

«Логарифмы. Логарифмические уравнения», обеспечить овладение всеми

обучащимися основными алгоритмическими приёмами решения логарифмов и

логарифмических уравнений;

- развивать мышление обучающихся, способности к само- и взаимоконтролю;

- формирование навыков поиска рациональных путей решения, самообразование.

- воспитывать сознательное отношение к изучению математики.

Понятие о логарифме числа.

1. Логарифм.

Задача нахождения показателя степени в примере оказывается неразрешимой с применением известных шести математических действий. Определив тем не менее, что , записать решение этой задачи с помощью известных математических знаков невозможно.

Н о эту задачу можно решить графическим способом. Для этого необходимо найти точки пересечения графиков и (рис. 1). Это точка, имеющая координаты (3; 8).

Графический способ иногда позволяет решить задачу, которую нельзя решить с помощью обычных математических приемов.

В общем виде рассмотренный пример будет иметь вид , где . Это уравнение не имеет решений при и имеет

Рис.1 единственный корень в случае .

Этот корень называют логарифмом по основанию и обозначают , то есть:

. (1.1)

Определение: Логарифмом числа по основанию называется показатель

степени, в которую нужно возвести основание , чтобы

получить число .

Подставим в выражение в качестве его представление по (1.1). Тогда получим

. (1.2)

Это равенство называют основным логарифмическим тождеством. Оно справедливо при

Пример 1.

Найдем значение: а) ; б) .

а) Заметим, что , т.е. для того, чтобы получить число 27, надо 3 возвести в третью степень. Следовательно, .

б) Заметим, что , поэтому

Пример 2.

Найдем логарифм числа 64 по основанию 4.

Заметим, что Поэтому по определению логарифма

Пример 3.

Найдем , такое, что: а) ; б) .

Воспользуемся основным логарифмическим тождеством:

а)

б) т.е. откуда

2. Свойства логарифмов.

Рассмотрим свойства логарифмов, которые используются при выполнении различных преобразований и решении уравнений.

При любом и любых положительных и выполняются равенства:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. для любого действительного p.

Для доказательства правила 3 воспользуемся основным логарифмическим тождеством:

(1.3)

Перемножая почленно эти равенства, получаем:

т.е. Следовательно, по определению логарифма

• Логарифм произведения равен сумме логарифмов.

Правило 4 докажем вновь с помощью равенств (1.3):

,

Следовательно, по определению .

• Логарифм частного равен разности логарифмов.

Для доказательства правила 5 воспользуемся тождеством , откуда Следовательно, по определению

• Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени.

Отметим, что если , то , т.е. если логарифмы двух чисел по одному и тому же основанию равны, то равны и сами числа.

Пример 4.

Найдем значение выражения

Пользуясь третьим свойством логарифмов, преобразуем данное выражение:

Следовательно,

Пример 5.

Найдем значение выражения

Пользуясь четвертым свойством логарифмов, преобразуем данное выражение:

Следовательно,

Пример 6.

Найдем , если

Сначала преобразуем правую часть данного равенства, пользуясь основными свойствами логарифмов:

т.е. и поэтому

Пример 7.

Найдем , если

Сначала преобразуем правую часть данного равенства, пользуясь основными свойствами логарифмов:

т.е. и поэтому

Пример 8.

Найдем значение выражения

Пользуясь пятым свойством логарифмов, преобразуем данное выражение:

Следовательно,

Пример 9.

Найдем значение выражения

Пользуясь основными свойствами логарифмов, преобразуем данное выражение:

=

1. Логарифмирование.

Действие нахождения логарифма числа называют логарифмированием. Если одночленное выражение составлено из положительных чисел с применением действий умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня, то логарифм такого выражения вычисляется с использованием основных свойств логарифмов (1-5).

Пример 10.

Прологарифмируем по основанию 3 при выражения:

а) ; б) .

а) Имеем

б) Имеем

.

1. Потенцирование.

Действие, обратное логарифмированию, называется потенцированием.

Этим действием с использованием основных свойств логарифмов (1-5) по логарифму выражения восстанавливается само выражение. Приведем примеры таких действий.

Пример 11.

Определить , если:

Решение.

Имеем:

следовательно,

следовательно,

следовательно,

1. Десятичные и натуральные логарифмы.

Десятичным логарифмом числа называется логарифм этого числа по основанию 10. Такой логарифм записывается следующим образом:

Десятичные логарифмы чисел, составляющих некоторую степень числа 10, легко вычисляются, например,

Логарифмы остальных чисел определяются либо с помощью таблиц, имеющихся в различных справочниках, либо с применением микрокалькуляторов.

Натуральным логарифмом числа называется логарифм этого числа по основанию е, где е – иррациональное число, приближенно равное 2, 718. Логарифм числа по основанию е записывается следующим образом:

Заметим, (по основным свойствам логарифмов).

1. Логарифмические тождества.

Выведем формулу перехода от одного основания логарифма к другому основанию:

(Эта формула верна, если обе ее части имеют смысл, т.е. при

По правилу логарифмирования степени и основному логарифмическому тождеству получаем:

откуда

Разделив обе части полученного равенства на , приходим к нужной формуле.

Пример 12.

Вычислить: а) ; б) .

Решение.

а)

Докажем тождество

(1.4)

Из основного логарифмического тождества (1.2)

иначе

.

Прологарифмировав это равенство по основанию , получим:

Из чего и следует тождество (1.4).

Пример 13.

Приведем к основанию 2. По (1.4):

Любой логарифм можно представить в виде отношения двух логарифмов, взятых по одному и тому же основанию, т.е.

(1.5)

Из формулы перехода от одного основания логарифма к другому основанию следует, что

что и требовалось доказать.

Докажем тождество

(1.6)

Пусть тогда ; возведем это равенство в степень

откуда из чего и следует (1.6).

Пример 14.

.

Логарифмические уравнения. Системы логарифмических уравнений.

1. Логарифмические уравнения.

Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма или в основании логарифма, называется логарифмическим. Проиллюстрируем различные способы решения таких уравнений с помощью следующих примеров:

Пример 1.

Решим уравнение

Данному уравнению удовлетворяют те значения , для которых выполнено равенство . Мы получили квадратное уравнение корни которого равны 1 и -5. Следовательно, числа 1 и -5 – решения данного уравнения.

Ответ: -5; 1.

Пример 2.

Решим уравнение

Это уравнение определено для тех значений , при которых выполнены неравенства Для этих данное уравнение равносильно уравнению из которого находим Число не удовлетворяет, однако, неравенству Следовательно, данное уравнение корней не имеет.

Это же уравнение можно решить иначе. Переходя к следствию данного уравнения , находим, что . Как всегда, при неравносильных преобразованиях уравнений найденное значение необходимо проверить подстановкой в исходное уравнение. В данном случае получаем, что равенство неверно (оно не имеет смысла).

Ответ: нет корней.

Пример 3.

Решим уравнение

Перейдем во втором слагаемом к основанию 5 и сделаем замену переменной , тогда

Теперь данное уравнение перепишется в виде
Корни этого квадратного уравнения 3 и -1. Решая уравнение замены и находим и

Ответ: 0,2; 125.

Пример 4.

Решим уравнение

Решение данного уравнения сводится к решению системы

Решением является

Ответ: 64.

Пример 5.

Решим уравнение

Учитывая, что потенцируем:

Данной системе удовлетворяет единственное решение

Ответ: 4.

Пример 6.

Решим уравнение

Данное уравнение преобразуем к квадратному, делаем замену , тогда получим , D = = 4 = 4 получим: , тогда получим

Корнями исходного уравнения являются

Ответ: 0,05; 0,2.

Пример 7.

Решим уравнение

Логарифмируя обе части уравнения по основанию 10 получим уравнение:

и решая затем полученное квадратное уравнение, находим

Исходному уравнению удовлетворяют корни

Ответ: 0,1; 100.

1. Системы логарифмических уравнений.

Решение систем логарифмических уравнений основано на свойствах логарифмических функций.

Пример 8.

Решим систему уравнений

По свойствам логарифмов получаем, причем

Ответ:

Пример 9.

Решим систему уравнений

Первое уравнение системы равносильно уравнению а второе – уравнению причем

Подставляя в уравнение , получим откуда

Но так как , то и

Ответ: (6;8).

Пример 10.

Решим систему уравнений

Здесь Имеем

Ответ: (8;2).

Итог:

Самостоятельная работа № 1.

Тема работы: Логарифм. Свойства логарифмов.

Вариант 1.

1. Вычислите:

а)

б)

в)

г)

2. Найдите значение , если:

а)

б)

3. Сравните числа:

а)

б)

4. Найдите значение выражения:

а)

б)

Вариант 2.

1. Вычислите:

а)

б)

в)

г)

2. Найдите значение , если:

а)

б)

3. Сравните числа:

а)

б)

4. Найдите значение выражения:

а)

б)

Самостоятельная работа № 2.

Тема работы: Логарифмические уравнения, неравенства и системы.

Вариант 1.

1. Решите уравнения:

а)

б)

в)

г)

2. Решите системы:

а)

б)

Вариант 2.

1. Решите уравнения:

а)

б)

в)

г)

2. Решите системы:

а)

б)