МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ТЕМЕ: «Задачи на прогрессии на ОГЭ по математике»

Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета

Российской Федерации имени В.И. Истомина

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ТЕМЕ:

«Задачи на прогрессии на ОГЭ по математике»

Учитель математики

Черноволова Елена Викторовна

2021 год

Содержание

1. Аннотация

Одной из задач обучения математике в основной школе является показ ее практического применения при решении проблемных ситуаций, встречающихся в жизни. В Федеральном государственном образовательном стандарте основного общего образования указано, что предметные результаты освоения основной образовательной программы должны обеспечивать развитие умений применять изученные понятия, методы для решения задач практического характера.

Практико-ориентированными задачами с описанными ситуациями, с которыми подросток встречается в повседневной своей жизненной практике, являются задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии. Для решения такой задачи недостаточно иметь теоретические знания и опыт учебной деятельности. Нужно применить знания, приобретенные в повседневности самим обучающимся, включить свой жизненный опыт. Данные в такой задаче – из реальной действительности. При решении задач на прогрессии необходимо продемонстрировать умение применять знания в прикладных ситуациях.

В школьных учебниках доля задач практического характера очень невелика, поэтому приобретает актуальность и необходимость учителю математики дополнительно решать практические задачи.

На ОГЭ встречаются 10 типов заданий на арифметическую и геометрическую прогрессии: амфитеатр с известной разницей рядов; с неизвестной разницей рядов; распад изотопа - 2 типа; биологический эксперимент; змейка на клетчатой бумаге; кафе с квадратными столиками; опыт с охлаждением вещества; скачущий мячик; камень бросают в ущелье.

В данной работе собраны задачи всех типов. Все необходимые формулы для решения данных задач имеются в справочных материалах. Но решать эти задачи можно и без применения формул, рассуждая логически. В пособии рассматривается решение задач несколькими способами.

Данные методические рекомендации будут полезны как учителю математики, так и учащимся при подготовке к ОГЭ по математике.

1. Введение

Решение задач на прогрессии в настоящее время очень актуально, так как это практико-ориентированные задач, они тесно связаны с повседневной жизнью.

Цели:

• научиться решать задачи на арифметическую прогрессию

• научиться решать задачи на геометрическую прогрессию

• классифицировать и систематизировать виды задач на прогрессии, выявить основные типы задач на ОГЭ и научиться их решать.

Задачи:

• проанализировать виды задач на прогрессии, которые встречаются на ОГЭ

• развить умение применять полученные знания при решении задач на прогрессии

• разобрать типы задач, которые встречаются на ОГЭ по математике с целью повышения результатов экзамена.

Задачи на прогрессии применяются в различных областях науки, в частности биологии (биологический эксперимент), физике (распад изотопа), медицине и т.д.

1. Основная часть

Арифметическая прогрессия – это последовательность чисел, каждый следующий член которой можно найти, прибавив к предыдущему одно и то же число d . d называется разностью арифметической прогрессии. Оно может быть отрицательным, тогда прогрессия будет убывающей. В практических задачах о том, что перед нами арифметическая прогрессия, говорит такая конструкция: «каждый следующий НА одно и то же число больше/меньше предыдущего».

Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число q – знаменатель прогрессии. В практических задачах о том, что перед нами геометрическая прогрессия, говорит такая конструкция: «каждый следующий В одно и то же число больше/меньше предыдущего».

Необходимые формулы:

1. Арифметическая прогрессия

Формула n-го члена a_n =a₁ +d(n-1)

Формулы суммы n первых членов

1. Геометрическая прогрессия

Формула n-го члена b_n=b₁q^n-1 

Формулы суммы n первых членов

На ОГЭ встречаются 10 типов заданий на арифметическую и геометрическую прогрессии: амфитеатр с известной разницей рядов; с неизвестной разницей рядов; распад изотопа - 2 типа; биологический эксперимент; змейка на клетчатой бумаге; кафе с квадратными столиками; опыт с охлаждением вещества; скачущий мячик; камень бросают в ущелье.

Рассмотрим примеры решения задач каждого типа.

1. Амфитеатр с известной разницей рядов

В амфитеатре 20 рядов. В первом ряду 56 мест, а в каждом следующем – на 2 места меньше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Решение.

В условии задачи сказано, что в каждом следующем ряду на 2 места меньше, чем в предыдущем. Получаем последовательность чисел, каждое из которых показывает, сколько мест в ряду, значит, речь идет об арифметической прогрессии. Нужно найти сумму 20 членов прогрессии.

​​​​​​​Арифметическая прогрессия

Дано: a₁ = 56 , d = -2, n=20.

Найти:

S₂₀ -?

1-й способ

Сначала найдем 20-й член арифметической прогрессии.

a_n =a₁ +d(n-1)

a₂₀ =56 -2(20-1) = 18

Ответ: 740 мест.

2- й способ

Воспользуемся формулой

Ответ: 740 мест.

1. Амфитеатр с неизвестной разницей рядов

В амфитеатре 14 рядов, причем в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В пятом ряду 27 мест, а в восьмом ряду 36 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Дано:

( – ар. прогрессия

n=14, ,

Найти:

Решение.

Данную задачу также можно решить несколькими способами. Все способы сводятся к нахождению разности арифметической прогрессии.

1 способ.

Пользуясь формулой n-го члена арифметической прогрессии, запишем

Решив данную систему уравнений, получим, d=3. Подставив в одно из уравнений это значение, найдем = 15.

Теперь можно найти по формуле =15 + 3·13=54.

Ответ: в 14-м ряду 54 места.

2 способ.

Восьмой член можно найти из пятого прибавлением 3d.

= +3d

36=27+3d

3d=36 – 27

d=3

Четырнадцатый член можно найти прибавив к восьмому 6d

= + 6d

= 36 + 6·3=54

Ответ: 54 места.

Второй способ намного быстрее, если понимать, как связаны между собой все члены прогрессии.

3 способ.

Разность равна d = = =3

– d(n – 1) =27 - 3 =15

По формуле n-го члена находим = 15 + 3·(14 – 1) = 54.

Ответ: 54 места в 14 ряду.

1. Распад изотопа 1-го типа

Задачи данного вида являются одними из самых сложных. Вероятно потому, что предметная область выбрана из физики, химии. На ОГЭ встречаются два типа задач на распад изотопа.

Задача.

В ходе бета-распада радиоактивного изотопа А каждые 8 минут половина его атомов без потери массы преобразуются в атомы стабильного изотопа Б. В начальный момент масса изотопа А составляла 160 мг. Найдите массу образовавшегося изотопа Б через 40 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

1 способ.

Решение.

Масса изотопа в заданные моменты времени представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем   .Масса изотопа в начальный момент времени является первым членом геометрической прогрессии, масса изотопа через 8 минут  — вторым членом прогрессии, а масса изотопа через 40 минут − шестым членом прогрессии и может быть определена по формуле  = .

( =160· = 5

5 мг осталось от изотопа А, а все остальное перешло к изотопу Б.
Тогда масса образовавшегося изотопа Б составит 160 − 5 = 155 мг.

Ответ: 155 мг.

2 способ.

Данную задачу можно решить, не используя формулу n-го члена геометрической прогрессии.

Т.к. атомы уходят каждые 8 минут, то нужно будет делить изотоп А пополам 40 : 8 = 5 раз. Получим:

1. 160 : 2 = 80
2. 80 : 2 = 40
3. 40 : 2 = 20
4. 20 : 2 = 10
5. 10 : 2 = 5
Получили, что от изотопа А осталось 5 мг. Значит, в изотоп Б перейдет 160 – 5 = 155 мг.
Эти числа также показывают, сколько атомов переходило из А в Б каждые 8 минут. В изотопе Б они каждый раз добавлялись к тем, что уже там были, тогда сложив эти массы, получим: 80 + 40 + 20 +10 + 5 = 155.

Ответ: 155

1. Распад изотопа 2-го типа

Задача.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 7 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 160 мг. Найдите массу изотопа через 28 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение.

Как и в предыдущей задаче масса изотопа представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем   . Масса изотопа в начальный момент времени является первым членом геометрической прогрессии, масса изотопа через 7 минут  — вторым членом прогрессии, а масса изотопа через 28 минут – пятым (28:7=4 и еще начальная точка) членом прогрессии и может быть определена по формуле  = .

( =160· = 10

Ответ: 10 мг

2 способ.

Так как в начальный момент времени масса изотопа 160 мг, а через каждые 7 минут она уменьшается в два раза, значит, через 7 минут будет 160:2 = 80,

через 14 минут – 40

через 21 минуту – 20

через 28 минут – 10.

Ответ: масса изотопа через 28 минут 10 мг.

3.5 Биологический эксперимент

Задача.

В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 4 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 120 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение.

1 способ.

Данная задача сводится к нахождению n-го члена геометрической прогрессии, в которой первый член 4 мг, знаменатель 3, так как каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Остается понять, какой член геометрической прогрессии надо найти. Или, другими словами, сколько раз колония увеличивается за 120 минут? Так как колония микроорганизмов увеличивается каждые30 минут, то за 120 минут увеличение происходит 4 раза , значит, необходимо найти пятый член прогрессии, учитывая начальную массу колонии. Это легко вычислить по формуле n-го члена геометрической прогрессии.

b_n=b₁q^n-1 
b₅=4·3⁴=324мг
Ответ: 324 мг

2 способ.

Через 30 минут масса колонии станет 4·3=12

Через 60 минут - 12·3=36

Через 90 минут - 36·3=108

Через 120 минут - 108·3=324

Ответ: 324 мг

3.6 Змейка

Задача.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 100.

Решение.

Решение задач данного типа сводится к нахождению суммы n первых членов арифметической прогрессии. Формула имеется в справочных материалах.

Первый член последовательности 1, разность 1, последний 100, получим

Ответ: 7260

3.7 Кафе с квадратными столиками

Задача.

В кафе есть только квадратные столики, за каждый из которых могут сесть 4 человека. Если сдвинуть два квадратных столика, то получится стол, за который могут сесть 6 человек. На рисунке изображён случай, когда сдвинули 3 квадратных столика вдоль одной линии. В этом случае получился стол, за который могут сесть 8 человек. Сколько человек может сесть за стол, который получится, если сдвинуть 16 квадратных столиков вдоль одной линии?

Решение.

1. способ.

Число мест за столом увеличивается при добавлении одного столика на 2.

Это говорит о том, что мы имеем дело с возрастающей арифметической прогрессией с разностью d = 2.

Каждый член арифметической прогрессии определяется по формуле:

В нашем случае

Значит, .

2 способ.

Иногда при решении задач можно забыть формулы и не воспользоваться справочными материалами, можно просто нарисовать 16 квадратиков и пересчитать количество полученных мест.  Легко заметить, что за каждым столом, кроме крайних, сидит по два человека, а за двумя крайними – по три гостя. Всего 14 2+3 2=34.

Ответ: 34 столика.

3.8 Опыт с охлаждением вещества

Задача.

При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 6° C. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 4 минуты после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла − 7° C .

Решение.

1 способ.

Очевидно, что значения температуры вещества представляют собой арифметическую прогрессию с разностью −6. Первым членом прогрессии будет температура в начальный момент времени, т.е. − 7, а температура вещества через 4 минуты — пятым членом прогрессии, следовательно, она может быть найдена по формуле n –го члена арифметической прогрессии.

=  + d (n - 1)
=  + d (5 - 1) = -7 + (-6) 4= -31

Ответ: -31

2 способ.

Так как в начальный момент времени температура была − 7° C, а каждую минуту уменьшалась на 6° C, то через минуту она станет – 7 – 6= -13, через 2 минуты - 13 – 6 = -19, через 3 минуты - 19 – 6 = -25 и, наконец, через 4 минуты – 25 – 6 = - 31.

Ответ: - 31

3. 9 Скачущий мячик

Задача.

У Яны есть попрыгунчик (каучуковый шарик). Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока попрыгунчик подлетел на высоту 240 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в два раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит попрыгунчик, станет меньше 5 см?

Решение.

Замечаем, что данная задача на геометрическую прогрессию. В задачах данного типа формулы лучше не использовать, так как их применение приводит к довольно сложным вычислениям. Поэтому такие задачи лучше решать методом рассуждений.

После первого отскока попрыгунчик полетел на 240 см. Так как высота после каждого отскока уменьшается в 2 раза, то после второго отскока она будет - 120см, после третьего - 60 см, после четвертого – 30см, после пятого – 15 см, после шестого – 7,5 см, после седьмого – 3, 25 см, что меньше 5 см. Значит после седьмого отскока высота будет меньше 5 см.

Ответ: 7.

3.10 Камень бросают в ущелье

Задача.

Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он
пролетает 6 метров, а в каждую следующую секунду на 11 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые шесть секунд?

Решение.

Растущая скорость камня представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом 6 и разностью 11. Надо найти сумму 6 членов этой прогрессии:

Ответ: 201

Также эту задачу можно решить, не используя формулу.

В первую секунду камень пролетит 6 м, а каждую последующую на 11 м больше, значит, за вторую секунду он пролетит 17 м, за третью – 28 м, за четвертую – 39 м, за пятую - 50 м, за шестую – 61 м.

Всего пролетит : 6+11+17+28+39+50+61=201 (м).

Ответ: 201

1. Заключение

В настоящее время актуальным вопросом становится проблема соотношения, изучаемого в школьном курсе математики, материала с жизнью. В 9 классе мы сталкиваемся с темой «Прогрессии», даем определение термину, также используем основные формулы прогрессии для решения задач. В заданиях ОГЭ используются задачи на применение основных формул прогрессий.

Зная основные формулы геометрической и арифметической прогрессий, можно решить большое количество интересных задач литературного, исторического и практического содержания. Формулы и математические законы описывают явления в разных областях знаний, на первый взгляд далеких от математики. На сегодняшний день, изучение происхождения и использования в жизни геометрической и арифметической прогрессий является актуальной и важной задачей для современных ученых.

Важность этого небольшого раздела школьного курса заключается в его чрезвычайно широких областях применения. Недаром говорят, что математика - царица всех наук. Прогрессии встречаются в литературе, в строительстве, в медицине, в спорте, в экономике, в политике, в природе, в химии и других науках.

Задачи на прогрессии встречаются на ОГЭ и ЕГЭ. На ЕГЭ более сложные задачи. Но те учащиеся, которые хорошо научатся решать задачи, которые встречаются на ОГЭ, быстрее научатся решать и более сложные задачи ЕГЭ. В этом им помогут данные рекомендации.

1. Список литературы

1. Мордкович, А. Г., Семёнов П.В. 9 класс: Учебник для общеобразовательных организаций. В 2 ч.– 25-е изд., стер.- М.: Мнемозина,2021 – 224 с.

2. Черенкова Ю.С. Применение понятия «прогрессия» в жизни / Международный школьный научный вестник, 2019. – № 2-3. 

3. Белый Е.К. Прогрессии. – Петрозаводск. издательство ПетрГУ,2016. – 132 с.

4. Математика: Новый М.: М.С. Якир. — Москва: АСТ, 2017. — 447, с

5. Математика. Основной государственный экзамен. Готовимся к итоговой аттестации / А. В. Семёнов, А. С. Трепалин, И. В. Ященко, И. Р. Высоцкий и др.; под ред. И. В. Ященко; Московский Центр непрерывного математического образования. — Эл. изд. — 1 файл pdf : 291 с. — Москва : Издательство «Интеллект-Центр», 2023

6. Математика. 36 типовых экзаменационных вариантов. Под ред. Ященко И.В. (2023, 224с.)

7. ОГЭ-2023. Математика. 50 типовых вариантов экзаменационных заданий. Под ред. Ященко И.В. (2023, 280с.)

8. Математика. Подготовка к ОГЭ-2023. 40 тренировочных вариантов. Под ред. Лысенко Ф.Ф. (2022, 368с.)

Интернет –ресурсы:

1. https://math-oge.sdamgia.ru/prob_catalog

2. https://math100.ru/ogenew/

3. https://www.time4math.ru/oge

4. https://vk.com/reshuoge

5. https://www.at.alleng.org/edu/math7.htm

6. https://prooge.ru/oge/matematika/1650-probnye-varianty-oge-2023-po-matematike-s-otvetami

1