Методические указания по теме "Окружность, эллипс, гипербола и парабола"

Внеаудиторная самостоятельная работа

Тема:
Кривые 2-го порядка.
Решение задач на окружность, эллипс, гиперболу и параболу

1. Уравнение окружности с центром в точке О(а,b) : (х – а)² + (у – b)² = R²

1. Частные случаи уравнения окружности : х² + у² = R² , О(0,0) – центр
   (х – а)² + у² = R² , О(а,0) – центр
   х² + (у – b)² = R² , О(0,b) – центр
   
   

2. Уравнение окружности: Ах² +Ау² + Dх + Еу + F =0

1. Определение координат центра окружности из уравнения Ах² + Ау² + Dх + Еу + F =0:
   - преобразовать уравнение так, чтобы коэффициенты перед «х²» и «у²» были
   равны «1»

- коэффициенты перед «х» и « у» разделить на «-2»

Пример 1:

Определить центр окружности 2х² + 2у² – 4х + 12у – 10=0

Решение:

1) преобразовать уравнение так, чтобы коэффициенты перед «х²» и «у²» были равны «1» т. е. поделим уравнение на 2 . Получим :

х² + у² – 2х + 6у – 5=0

2) коэффициенты перед «х» и «у» разделить на «-2». Получим:

Ответ: центр О(1; -3)

1. Каноническое уравнение:

2) Виды эллипса:
горизонтальный вертикальный

Фокусы F_1,2( c , 0) OX Фокусы F_1,2( 0,  c ) OУ

a b b a

2a – большая ось 2a – малая ось

2b –малая ось 2b – большая ось
c² =a²-b² c²= b² - a²

Эксцентриситет Эксцентриситет

Директрисы Директрисы

Пример 2:

Дано каноническое уравнение эллипса

Найти оси, фокусы, эксцентриситет.

Решение:

1) Найдём оси (большую и малую)

Сравниваем данное уравнение эллипса и каноническое

получаем:

2) Найдем фокусы

3) Найдем эксцентриситет

Ответ: большая ось =8, малая ось=6, фокусы , эксцентриситет

Каноническое уравнение и виды:

горизонтальная вертикальная

Фокусы F_1,2( c , 0) OX Фокусы F_1,2( 0,  c ) OУ

2a – действительная ось 2a – мнимая ось

2b –мнимая ось 2b –действительная ось

c² = a²+b² c²= a² + b²

Эксцентриситет Эксцентриситет

Директрисы Директрисы

асимптоты: асимптоты:

Пример 3:

Дано каноническое уравнение гиперболы

Найти оси, фокусы, эксцентриситет, асимптоты

Решение:

1) Найдём оси (действительную и мнимую)

Сравниваем данное уравнение гиперболы и каноническое

получаем:

2) Найдем фокусы

3) Найдем эксцентриситет

4) Найдем асимптоты по формуле

Ответ: действительная ось =4, мнимая ось=10, фокусы, эксцентриситет

уравнение асимптот

Пример 4:

Дано каноническое уравнение параболы

Найти фокус и директрису

Решение:

1) Сравниваем данное уравнение параболы и каноническое ( третий вид)

и

получаем:

2) Вычисляем координаты фокуса по формуле ( третий вид)

3) Вычисляем уравнение директрисы по формуле ( третий вид)

Ответ: фокус , директриса