Методический материал для подготовки к ЕГЭ

Методический материал по подготовке к ЕГЭ.

Задание №19. Сюжетные задачи.

Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более  от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более  от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

а) Могло ли быть в группе 10 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?

б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?

в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а) и б)?

Решение.

а) Если группа состоит из 4 мальчиков, посетивших только театр, 6 мальчиков, посетивших только кино, и 10 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено. Значит, в группе из 20 учащихся могло быть 10 мальчиков.

б) Предположим, что мальчиков было 11 или больше. Тогда девочек было 9 или меньше. Театр посетило не более 4 мальчиков, поскольку если бы их было 5 или больше, то доля мальчиков в театре была бы не меньше , что больше  Аналогично, кино посетило не более 6 мальчиков, поскольку  но тогда хотя бы один мальчик не посетил ни театра, ни кино, что противоречит условию.

1.

Область для заметок

В предыдущем пункте было показано, что в группе из 20 учащихся могло быть 10 мальчиков. Значит, наибольшее количество мальчиков в группе — 10.

в) Предположим, что некоторый мальчик сходил и в театр, и в кино. Если бы вместо него в группе присутствовало два мальчика, один из которых посетил только театр, а другой — только кино, то доля мальчиков и в театре, и в кино осталась бы прежней, а общая доля девочек стала бы меньше. Значит, для оценки наименьшей доли девочек в группе можно считать, что каждый мальчик сходил или только в театр, или только в кино.

 Пусть в группе  мальчиков, посетивших театр, мальчиков, посетивших кино, и  девочек. Оценим долю девочек в этой группе. Будем считать, что все девочки ходили и в театр, и в кино, поскольку их доля в группе от этого не изменится, а доля в театре и в кино не уменьшится.

Из условия:

значит,  Тогда , поэтому доля

девочек в группе:

Если группа состоит из 4 мальчиков, посетивших только театр, 6 мальчиков, посетивших только кино, и 9 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено, а доля девочек в группе равна 

Ответ: а) да: б) 10; в) 

2.

Задание 2

Красный карандаш стоит 17 рублей, синий — 13 рублей. Нужно купить карандаши, имея всего 495 рублей и соблюдая дополнительное условие: число синих карандашей не должно отличаться от числа красных карандашей больше чем на пять.

а) Можно ли купить при таких условиях 32 карандаша?

б) Можно ли купить при таких условиях 35 карандашей?

в) Какое наибольшее число карандашей можно купить при таких условиях?

Решение.

а) Например, можно купить 14 красных и 18 синих карандашей:

14 · 17 + 18 · 13 = 472 (руб.).

б) Дешевле всего 35 карандашей будут стоить, если купить наибольшее возможное число синих карандашей и наименьшее возможное число красных, то есть если купить 15 красных и 20 синих, поскольку если красных меньше 15, то синих больше 20, и в этом случае разность между числом красных и синих больше чем 5. Но тогда стоимость покупки

15 · 17 + 20 · 13 = 515 (руб.),

что больше, чем имеющаяся сумма 495 рублей.

в) Пусть n и m —число синих и красных карандашей соответственно. Тогда

Положим s = n + m, тогда

3.

6. Решение.

а) Например, можно купить 12 красных и 18 синих карандашей:

12 · 18 + 18 · 14 = 468 (руб.).

б) Дешевле всего 33 карандаша будут стоить, если купить наибольшее возможное число синих карандашей и наименьшее возможное число красных, то есть если купить 14 красных и 19 синих, поскольку если красных меньше 14, то синих больше 19, и в этом случае разность между числом красных и синих больше чем 6. Но тогда стоимость покупки

14 · 18 + 19 · 14 = 518 (руб.),

что больше, чем имеющаяся сумма 499 рублей.

в) Пусть n и m —число синих и красных карандашей соответственно. Тогда

Положим s = n + m, тогда

Следовательно,  откуда 

Можно купить не больше 31 карандаша. Осталось проверить, возможен ли случай, когда s = 31. При m = 13, n = 18 получаем

13 · 18 + 18 · 14 = 486

Значит, наибольшее возможное число карандашей 31.

Ответ: а) да; б) нет; в) 31.

вторую 16 баллов, 8 студентов писали только первую контрольную, причем 3 из них написали ее на 20 баллов, а 5 из них — на 0 баллов, и 8 студентов писали только вторую контрольную, каждый на 8 баллов. Тогда обе контрольные писали по 20 студентов, набрав за первую 3 · 20 + 12 · 20 = 300 баллов и за вторую 8 · 8 + 11 · 20 + 16 = 300 баллов.

19.

Ответ: а) Например, если 20 студентов написали обе контрольные работы и получили по 18 баллов, а по 4 студента написали только одну из двух контрольных работ и получили по 0 баллов; б) нет; в) 12.

5. Решение.

Пусть в первом взводе k солдат, во втором l солдат. Тогда числа k и l имеют общий делитель, больший 7, и при этом:

а) Например, 50 и 60 солдат. Вместе 110, их можно построить в колонну по 10 человек в ряду так, что 5 рядов будет заполнено солдатами только из первого взвода, а 6 рядов — только из второго.

б) Предположим, что общий делитель 13. Тогда, учитывая, что 47

в) Число l − k больше нуля и делится на общий делитель чисел k и l, поэтому l − k ≥ 9; k − l ≤ −9,что вместе с условием k + l ≤ 110 приводит к неравенству 2k ≤ 101, то есть k ≤ 50. При этом k + d ≤ l ≤ 110 − k, где d — наименьший общий делитель, превосходящий 8.

Если k = 47 , то d = 47, 47 + 47 = 94 ≤ 110 − 47 = 63. Противоречие.

Если k = 48, то d = 12, l = 60, а в роте 108 солдат.

Если k = 49, то 98 ≤ l ≤ 110 − 49 =61. Противоречие.

Если k = 50, то d = 10, l = 60, а в роте 110 солдат.

 Ответ: а) Например, 50 и 60; б) нет; в) 108 и 110.

Следовательно,  откуда 

Можно купить не больше 33 карандашей. Осталось проверить, возможен ли случай, когда s = 33. При m = 14, n = 19 получаем

14 · 17 + 19 · 13 = 485

Значит, наибольшее возможное число карандашей 33.

Ответ: а) да; б) нет; в) 33.

Задание 3

После того, как учитель доказал классу новую теорему, выяснилось, что большая часть класса не поняла доказательство. На перемене один ученик вдруг понял доказательство (и только он). Также известно, что в классе учится не более 30, но не менее 20 человек.

а) Могло ли получиться так, что теперь уже меньшая часть класса не понимает доказательство?

б) Могло ли получиться так, что исходно процент учеников, понявших доказательство, выражался целым числом, а после перемены ― нецелым числом?

в) Какое наибольшее целое значение может принять процент учеников класса, так и не понявших доказательство этой теоремы

4.

Решение

а) Да. Пусть в классе учится 29 человек, из которых сперва 15 человек не поняли доказательство (большая часть класса), а затем их осталось 14 (меньшая часть).

Замечание: подойдет любой пример с нечетным количеством учеников от 21 до 29 и количествами понявших и не понявших, отличающимися на 1.

б) Да. Пусть в классе было 24 ученика, из которых ровно 6 поняли доказательство. Тогда исходно процент понявших ― 25, а после перемены, когда понявших станет 7, процент понявших будет нецелым.

Замечание: Есть и другие примеры, например, 3 ученика из 30 поняли доказательство на уроке.

в) Пусть всего в классе n учеников, а количество так и не понявших доказательство равно k. Очевидно, k не превосходит (n − 1), ведь один ученик понял доказательство на перемене. Тогда искомый процент равен  Чтобы это число было как можно большим, требуется максимизировать дробь  при условии, что 

Докажем, что наибольшее значение дроби  равно 96. Результат 96 достигается, если  Если  то очевидно, что 

Далее, разберем случаи 

1) n = 26. Чтобы выполнялось условие  необходимо взять k, кратное 13, что возможно только при k = 13, а 

2) n = 27. Чтобы выполнялось условие  необходимо взять k, кратное 27, что возможно только при k = 0. 5.

в) В пункте б) доказано, что возможно купить максимум 33 карандаша.

5.

 Ответ: а) да; б) нет; в) 33.

4.Решение.

а) Например, если 20 студентов писали обе контрольные работы и получили по 18 баллов за каждую, 4 студента писали только первую контрольную работу и получили по 0 баллов, 4 студента писали только вторую контрольную работу и получили по 0 баллов, то средний балл по каждой из контрольных работ в отдельности составил 15, а 

б) Поскольку средние баллы по каждой контрольной в отдельности равны 15, средний балл по обеим контрольным работам тоже равен 15. Всего было написано 28 + 2 = 30 контрольных работ. Значит, общее количество набранных студентами баллов равно  При этом сумма наивысших баллов равна 13 · 28 = 364. Следовательно, сумма наименьших баллов, набранных двумя студентами, писавшими обе работы, равна 450 − 364 = 86. Но сумма наименьших баллов двух студентов не может превосходить 40. Противоречие.

в) Пусть k — количество студентов, писавших обе контрольные работы, a — сумма баллов студентов, которые писали только одну контрольную работу, b — сумма наибольших баллов студентов, которые писали обе контрольные работы, c — сумма наименьших баллов студентов, которые писали обе контрольные работы.

Тогда сумма всех набранных баллов:  сумма наивысших баллов  Тогда  С другой стороны, , поэтому  откуда 

Приведём пример, когда  то есть если    Например, 11 студентов написали обе контрольные работы на 20 баллов, один студент написал обе контрольные, получив за первую 20 баллов, а за

2.Решение.

18.

а) Каждый сотрудник должен получить 20 000 рублей. Выдадим 27 сотрудникам по четыре пятитысячных купюры, одному — две пятитысячных и десять тысячных, двенадцати — по 20 тысячных.

б) каждый сотрудник, кроме ведущего специалиста, должен получить 9000 рублей, поэтому нужно будет выдать каждому не менее четырёх тысячных купюр, значит, всего их нужно не менее 320 штук. Следовательно, без сдачи и размена выдать премии не удастся.

в) Если сотрудников 64 или больше, то распределим премии так: 63 человека должны получить по 4 тысячи, один — всё остальное, остальные — ничего. Тогда выдать премии будет нельзя по тем же причинам, что и в пункте «б».

Если же их не больше 63, то выберем всех, кроме одного. Будем выдавать им премии, используя не более четырёх тысячных купюр, пока не кончится пятитысячные.

Если пятитысячные купюры закончились, то оставшиеся премии выдать точно удастся. Если же нет, то все премии, кроме одной, будут выданы, а последний просто заберёт все оставшиеся деньги.

 Ответ: а) да; б) нет; в) 63.

3.Решение.

а) Да, например, 16 красных и 16 синих — всего 480 рублей.

б) Пусть x — количество синих карандашей. Поскольку синие карандаши дешевле, то для наибольшего количества карандашей надо купить их больше, чем красных.

Тогда всего 2x − 5 = 33.

Получили нецелый x. Проверим другой случай:

Тогда всего  Таким образом, возможно купить 33 карандаша максимум. Следовательно, 35 карандашей купить нельзя.

17.

3) n = 28. Чтобы выполнялось условие  необходимо взять k, кратное 7, что возможно только при k не большем 21, а 

4) n = 29. Чтобы выполнялось условие  необходимо взять k, кратное 29, что возможно только при k = 0.

5) n = 30. Чтобы выполнялось условие  необходимо взять k, кратное 3, что возможно только при k не большем 27, а 

Таким образом, 96 — наибольшее целое значение искомого процента.

Ответ: а) да; б) да; в) 96.

Задание 4

Группу школьников нужно перевези из летнего лагеря одним из двух способов: либо двумя автобусами типа А за несколько рейсов, либо тремя автобусами типа В за несколько рейсов, причем в этом случае число рейсов каждого автобуса типа В будет на один меньше, чем рейсов каждого автобуса типа А. В каждом из случаев автобусы заполняются полностью.

Решение.

Тип А: 2 автобуса; n − рейсов каждый; m + 7 − человек в автобусе

Тип В: 3 автобуса; n − 1 − рейс; m − человек

Следовательно надо найти делители 42: 

6.

Если  то получаем  а всего школьников 504.

Если  то школьников 420;

Если  то школьников 420;

Если  то школьников 504;

Если  то школьников 540;

Если  то школьников 816;

Если  то школьников 1980.

Ответ: 1980.

Задание 5

В роте два взвода, в первом взводе солдат меньше, чем во втором, но больше чем 50, а вместе солдат меньше чем 120. Командир знает, что роту можно построить по несколько человек в ряд так, что в каждом ряду будет одинаковое число солдат, большее 7, и при этом ни в каком ряду не будет солдат из двух разных взводов.

а) Сколько солдат в первом взводе и сколько во втором? Приведите хотя бы один пример.

б) Можно ли построить роту указанным способом по 11 солдат в одном ряду? в) Сколько в роте может быть солдат?

Решение.

Пусть в первом взводе k солдат, во втором l солдат. Тогда числа k и l имеют общий делитель, больший 7, и при этом: 

а) Например, 54 и 63 солдата. Вместе 117, их можно построить в колонну по 9 человек в ряду так, что 6 рядов будет заполнено солдатами только из первого взвода, а 7 рядов — только из второго.

б) Предположим, что общий делитель 11. Тогда, учитывая, что 50

в) Число l − k больше нуля и делится на общий делитель чисел k и l, поэтому l − k ≥ 8; k − l ≤ −8,что вместе с

7.

Ключи к заданиям

1.Решение.

а) Да. Пусть в классе учится 29 человек, из которых сперва 14 человек решили первую задачу (меньшая часть класса), а затем их стало 15 (большая часть класса).

Замечание: подойдет любой пример с нечетным количеством учеников от 21 до 29 и количествами решивших и не решивших первую задачу, отличающимися на 1.

б) Да. Пусть в классе было 30 учеников, из которых ровно 2 решили первую задачу. Тогда исходно процент учеников, решивших первую задачу был нецелым , а после перемены, когда решивших станет 3, процент решивших будет целым.

Замечание: Есть и другие примеры, например, 11 учеников из 24 поняли доказательство на уроке.

в) Пусть всего в классе n учеников, а количество решивших первую задачу равно k. Очевидно, k не меньше 1, так как один ученик решил задачу верно и доказал это на перемене. Тогда искомый процент равен  Чтобы это число было как можно меньшим, требуется минимализировать дробь  при условии, что 

Докажем, что наименьшее значение дроби  равно 4. Результат 4 достигается, если 

1) Если  то очевидно, что 

2) Если  то либо k = 1, что не подходит, так как дроби  не являются натуральными числами, либо  и в этом случае 

Таким образом, 4 – наибольшее целое значение искомого процента.

Ответ: а) да; б) да; в) 4.

16.

б) Можно ли купить при таких условиях 35 карандашей?

в) Какое наибольшее число карандашей можно купить при таких условиях?

4.Каждый из 28 студентов писал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 15. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё). Среднее арифметическое названных баллов равно S.

а) Приведите пример, когда S 

б) Могло ли оказаться, что только два студента написали обе контрольные работы, если S = 13?

в) Какое наименьшее количество студентов могло написать обе контрольные работы, если S = 13?

5.В роте два взвода, в первом взводе солдат меньше, чем во втором, но больше чем 46, а вместе солдат меньше чем 111. Командир знает, что роту можно построить по несколько человек в ряд так, что в каждом ряду будет одинаковое число солдат, большее 8, и при этом ни в каком ряду не будет солдат из двух разных взводов.

а) Сколько солдат в первом взводе и сколько во втором? Приведите хотя бы один пример.

б) Можно ли построить роту указанным способом по 13 солдат в одном ряду?

в) Сколько в роте может быть солдат?

6.Красный карандаш стоит 18 рублей, синий — 14 рублей. Нужно купить карандаши, имея всего 499 рублей и соблюдая дополнительное условие: число синих карандашей не должно отличаться от числа красных карандашей больше чем на шесть.

а) Можно ли купить 30 карандашей?

б) Можно ли купить 33 карандаша?

в) Какое наибольшее число карандашей можно купить?

15.

условием k + l ≤ 119 приводит к неравенству 2k ≤ 111, то есть

k ≤ 55. При этом k + d ≤ l ≤ 119 − k, где d — наименьший общий делитель, превосходящий 7.

Если k = 51 = 3 · 17 , то d = 17, l = 68, а в роте 119 солдат.

Если k = 52 = 4 · 13, то 65 ≤ l ≤ 67. Тогда l = 65, общий делитель 13 и k + l =117.

Если k = 53, то 53 + 53 = 106 ≤ l ≤ 66 . Противоречие.

Если k = 54 = 6 · 9, то 54 + 9 = 63 ≤ l ≤ 65. Тогда l = 63, общий делитель равен 9, и в роте 117 солдат.

Если k = 55 = 5 · 11, то 66 ≤ l ≤ 64, но числа 63 и 64 взаимно просты с 55. Противоречие.

Ответ: а) Например, 54 и 63; б) нет; в) 117 и 119.

Задание 6

В нескольких одинаковых бочках налито некоторое количество литров воды (необязательно одинаковое). За один раз можно перелить любое количество воды из одной бочки в другую.

а) Пусть есть четыре бочки, в которых 29, 32, 40, 91 литров. Можно ли не более чем за четыре переливания уравнять количество воды в бочках?

б) Путь есть семь бочек. Всегда ли можно уравнять количество воды во всех бочках не более чем за пять переливаний?

в) За какое наименьшее количество переливаний можно заведомо уравнять количество воды в 26 бочках?

Решение.

а) Перельём из последней бочки в первую 31 литр воды, а из третьей во вторую — 4 литра. Тогда в первой и последней будет по 60 литров, во второй и третьей — по 36 литров воды. Перельём теперь из последней в третью и из первой во вторую по 12 литров воды. Получим в каждой бочке по 48 литров воды, что и требовалось.

б) Пусть есть семь бочек, в первых шести из которых по одному литру воды, а в последней — 8 литров воды. В каждой бочке должно оказаться в итоге по 2 литра воды. Следовательно,

8.

в каждую из первых шести бочек надо как минимум один раз наливать воду. Значит, переливаний должно быть не меньше шести.

в) Докажем, что меньше чем 25 переливаний может не хватить. Пусть есть 26 бочек, в первых 25 из которых по одному литру воды, а в последней — 27 литров воды. Тогда, как в пункте «б», надо выливать воду в каждую из первых 25 бочек, следовательно, переливаний должно быть не менее 25.

Докажем, что за 25 переливаний всегда можно уравнять количество воды во всех бочках. Пусть общий объём воды в бочках равняется 26x литров воды. Так как этот объём при переливаниях не меняется, то в каждой бочке в итоге должно оказаться ровно x литров воды.

Если во всех бочках ровно x литров воды, то переливаний не требуется. Иначе найдётся такая бочка, в которой больше чем x литров воды, и такая, в которой меньше чем x литров воды. Будем переливать воду из первой бочки во вторую, пока в одной из них не станет ровно x литров воды. После этого переливания количество бочек, в которых ровно x литров воды, увеличится. Тогда не более чем через 25 таких переливаний в 25 бочках будет ровно x литров воды. Значит, и в оставшейся бочке тоже будет равно x литров воды.

Ответ: а) да; б) нет; в) 25.

Задание 7

В одном из заданий на конкурсе бухгалтеров требуется выдать премии сотрудникам некоторого отдела на общую сумму 600 000 рублей (размер премии каждого сотрудника — целое число, кратное 1000). Бухгалтеру дают распределение премий, и он должен их выдать без сдачи и размена, имея 100 купюр по 1000 рублей и 100 купюр по 5000 рублей.

а) Удастся ли выполнить задание, если в отделе 40 сотрудников и все должны получить поровну?

б) Удастся ли выполнить задание, если ведущему специалисту надо выдать 40 000 рублей, а остальные поделить поровну на 70 сотрудников? 9.

Задания для самоподготовки

1. После того, как учитель проверил контрольную работу, выяснилось, что первую задачу верно решила меньшая часть класса. На перемене один ученик доказал учителю, что его решение первого задания также является верным. Также известно, что в классе учится не более 30, но не менее 20 человек.

а) Могло ли получиться так, что теперь уже большая часть класса верно решила первую задачу?

б) Могло ли получиться так, что исходно процент решивших первую задачу, выражался нецелым числом, а после перемены ― целым числом?

в) Какое наименьшее натуральное значение может после перемены принять процент учеников класса, верно решивших первую задачу?

2. В одном из заданий на конкурсе бухгалтеров требуется выдать премии сотрудникам некоторого отдела на общую сумму 800 000 рублей (размер премии каждого сотрудника — целое число, кратное 1000). Бухгалтеру дают распределение премий, и он должен их выдать без сдачи и размена, имея 250 купюр по 1000 рублей и 110 купюр по 5000 рублей.

а) Удастся ли выполнить задание, если в отделе 40 сотрудников и все должны получить поровну?

б) Удастся ли выполнить задание, если ведущему специалисту надо выдать 80 000 рублей, а остальное поделить поровну на 80 сотрудников?

в) При каком наибольшем количестве сотрудников в отделе задание удастся выполнить при любом распределении размеров премий?

3.Красный карандаш стоит 17 рублей, синий — 13 рублей. Нужно купить карандаши, имея всего 495 рублей и соблюдая дополнительное условие: число синих карандашей не должно отличаться от числа красных карандашей больше чем на пять.

а) Можно ли купить при таких условиях 32 карандаша?

14.

б) Например, для оценок экспертов 0, 1, 2, 4, 7, 8, 9 разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равна 12.

в) Пусть x — наименьшая из оценок, z — наибольшая, а y — сумма остальных пяти оценок. Тогда

Для оценок экспертов 0, 1, 2, 3, 4, 5, 10 разность A − B равна 4. Значит, наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равно 

Ответ: а) нет; б) да; в) 

13.

13.

в) При каком наибольшем количестве сотрудников в отделе задание удастся выполнить при любом распределении размеров премий?

Решение.

а) Разделим общую сумму в 600 000 руб. на 40, получим, что каждый должен получить по 15 000 руб. Так как это число кратно и 1000 и 5000, то всем 40 сотрудникам можно раздать равную премию в указанных купюрах.

б) Сумма, оставшаяся после выплаты 40 000 руб., будет равна 560 000 руб. При делении на 70 сотрудников получаем выплаты по 8000 руб. Так сделать не удастся, поскольку 8000 = 5000 + 3 · 1000 и для 70 сотрудников нужно будет 210 тысячных купюр, а их всего 100.

в) Если сотрудников 27 или больше, то распределим премии так: 26 человека должны получить по 4 тысячи, один — всё остальное. Тогда выдать премии будет нельзя по тем же причинам, что и в пункте «б».

Если же их не больше 26, то выберем всех, кроме одного. Будем выдавать им премии, используя не более четырёх тысячных купюр, пока не кончится пятитысячные.

Если пятитысячные купюры закончились, то оставшиеся премии выдать точно удастся. Если же нет, то все премии, кроме одной, будут выданы, а последний просто заберёт все оставшиеся деньги.

Ответ: а) да; б) нет; в) 26.

Задание 8

На сайте проводится опрос, кого из 134 футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста — доля голосов, отданных за него, в процентах, округлённая до целого числа. Например, числа 9,3, 10,5 и 12,7 округляются до 9, 11 и 13 соответственно.

10.

а) Всего проголосовало 17 посетителей сайта, и рейтинг первого футболиста стал равен 41. Увидев это, Вася отдал свой голос за другого футболиста. Чему теперь равен рейтинг первого футболиста? 10.

б) Вася проголосовал за некоторого футболиста. Могла ли после этого сумма рейтингов всех футболистов уменьшиться не менее чем на 27?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма рейтингов всех футболистов?

Решение.

Если рейтинг футболистов на сайте равен 41, то доля голосов, отданных за него, находиться в границах от 0,405 до 0,415. Поскольку всего проголосовало 17 посетителей сайта, получаем, что количество голосов, отданных за этого футболиста, не меньше  но меньше  то есть равно 7. После того, как Вася проголосовал, доля голосов за первого футболиста стала равна  Значит.его рейтинг стал равен 39.

б) Пусть за 133 футболистов было отдано по одному голосу, а за оставшегося — 67. В этом случае 133 футболиста имеют рейтинг 1, а последний — 34; сумма рейтингов равна 167. Если Вася отдаст свой голос за последнего футболиста, то его рейтинг останется равным 34, а рейтинги всех остальных футболистов станут равны 0. В этом случае сумма рейтингов станет равна 34, то есть уменьшится на 133.

в) Заметим, что для каждого из 134 футболистов доля отданных за него голосов, выраженная в процентах, отличается от рейтинга не более чем на 0,5. Поэтому сумма рейтингов всех футболистов отличаетсяот 100 не более чем на  В частности, эта сумма не может превосходить 167.

Пример, приведённый в предыдущем пункте, показывает, что сумма рейтингов может равняться 167. Значит, наибольшее значение суммы рейтингов всех футболистов — 167.

Ответ: а) 39; б) да; в) 167.

11.

Задание 9

Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценку — целое число баллов от 0 до 10 включительно. Известно, что все эксперты выставили различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг кинофильма — это среднее арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг кинофильма вычисляется следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки и подсчитывается среднее арифметическое пяти оставшихся оценок.

а) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться 

б) Может ли эта разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться 

в) Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.

Решение.

Обозначим рейтинг кинофильма, вычисленный по старой системе оценивания, через A, а рейтинг кинофильма, вычисленный по новой системе оценивания, через B.

а) Заметим, что  где m и n — некоторые натуральные числа.

Значит,  Если  то  что невозможно.

Таким образом, разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, не может равняться 

12.