Методическое пособие по алгебре на тему "Дифференциальные уравнения"

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ

МАТЕРИАЛ

РЕШЕНИЕ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ

СИСТЕМЫ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Уравнения, которые содержат аргумент, функцию этого аргумента и производные этой функции (до некоторого порядка включительно) называют дифференциальными .

mx ״ = - kx ΄ ;

х ״ + ω 2 х=0;

m ΄ =- km .

Определение1. Решением дифференциального уравнения называют любую функцию, при подстановке которой в это уравнение получается тождество.

Определение2. Функцию у= φ (х,С),

С- постоянная, называют общим решением дифференциального уравнения

у ΄ = f (х,у) в области Ω , если для любого С она является решением этого уравнения.

Определение3. Решение дифференциального уравнения, получаемое из общего решения путем придания определенного значения произвольной постоянной, называют частным решением этого уравнения.

РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Пример 1. Решить уравнение

у ״ = х 3 .

Решение.

Имеем: у ΄ = ∫ у ״ d х=∫х 3 d х=х 4 /4+С 1 ,

откуда у = ∫ (х 4 /4+С 1 ) d х=х 5 /20+С 1 х+С 2

В решение уравнения первого порядка входит одна произвольная постоянная, а в решение уравнения второго порядка – две произвольные постоянные. Общее решение дифференциального уравнения

n -го порядка зависит от n произвольных постоянных.

Пример 2. Найти общее решение уравнения

х ״ = - g , описывающего свободное падение материальной точки, и частное решение этого уравнения, отвечающее начальным условиям х(0)=10, v (0)=5.

Решение. Полагая х ΄ = v , имеем: v ΄ =- g . Отсюда

v = ∫ (- gdt )=- gt + C 1 . (1)

Значит, х ΄ = v =- gt + C 1 , и потому

х=∫(- gt +С 1 ) dt =- gt 2 /2+С 1 t +С 2 . (2)

Чтобы найти значения постоянных С 1 и С 2 , положим в (1) и (2) t =0. Получаем равенства С 1 = v (0)=5,

С 2 =х(0)=10. Значит, частное решение имеет вид:

х=- gt² /2+5 t +10.

Пример 3. Найдите частное решение дифференциального уравнения

удовлетворяющее условию у(1)=-2.

Решение.

Общим решением этого уравнения является

у = ±√ С-х 2 . Чтобы найти частное решение, положим в этом равенстве х=1, у=-2.

Получаем С=5.

Поскольку значение у=-2 отрицательно, то получаем частное решение

у = -√5 – х 2 .

ТРЕНИРОВОЧНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ

Решите дифференциальные уравнения

1. у ΄ =4+у 2 ; 2. у ΄ =ху 4 ;

3. ; 4. ;

5. у ΄ = х 6 √ 1-у 2 ; 6. √ 1-х 2 у ΄ =2 √ у ;

7. у ״ + 4 у = 0; 8. у ״ + 36 у = 0.