Методика обучения решению текстовых задач на примерах задач гиа.

МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ

НА ПРИМЕРАХ ЗАДАЧ ГИА.

Л. П. Охват

Известно, что решение текстовых задач приводит к формированию у обучающихся логического мышления, сообразительности, умения самостоятельно осуществлять небольшое исследование и т. п. Поэтому, текстовым задачам уделяется большое внимание на протяжении всего школьного курса. Сначала вводится арифметический метод решения, а затем, дети учатся решать задачи алгебраически, т. е. с помощью уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств. При всей условности деления – можно выделить два вида задач: «на движение» (сюда можно включить задачи на работу и задачи, связанные с наполнением резервуара) и задачи на проценты, части, концентрацию.

Следует отметить, что текстовые задачи включены в контрольно измерительные материалы ГИА по математике. В 9-м классе это 7-е задание с кратким ответом и 22-е задание с описанием решения. В 11-м классе, на профильном уровне, это задания с кратким ответом №1, №11 и, так называемая, экономическая задача №17 с описанием решения. Задания №7 в 9-м и №1 в 11-м классах, направлены на проверку уровня владения базовыми умениями. Это такие элементы содержания, как: проценты и доли, округление с избытком и недостатком и т. п. Задания №22 в 9-м и №11, №17 в 11-м классах, направленные на проверку владения материалом на повышенном уровне. При решении этих задач, участники экзамена должны смоделировать реальную ситуацию на языке алгебры и исследовать построенную модель с использованием аппарата алгебры.

По результатам ГИА 2017 в РСО - Алания задачи базового уровня верно выполняют в 9-м классе 64% , а 11-м классе 91%. С заданием №22 справляются лишь 3,8% девятиклассников. С аналогичной задачей в 11 классе – 52%.

Каковы причины низких показателей правильности выполнения текстовых задач? На мой взгляд, их может быть две: недостаточное владение учителем методикой обучения решению текстовых задач и, конечно, арифметические, логические ошибки участников ГИА или невнимательное прочтение ими условия задачи.

Я постаралась разобраться с первой причиной на примерах задач на движение. И пришла к выводу, что задачи «на движение», в том числе задачи: на движение по окружности, на движение более двух тел, на движение протяжённых тел, вызывающие особое затруднение, по результатам опроса учителей математики, проходивших в 2018 году курсы повышения квалификации, можно научить детей решать по следующей схеме.

1.Этап анализа условия задачи.

Необходимо провести анализ условия задачи и отразить данные задачи в краткой записи. В данном случае предлагаю оформить условие, заполнив таблицу.

2.Этап поиска решения и его оформление.

Возможны два способа поиска решения задачи: синтез (что можно найти по данным задачи?), анализ (что требуется узнать в задаче?) В данном случае остановимся на первом способе. Если на вопрос «Что можно найти по данным задачи?» можно ответить, то вычисляем значение неизвестной величины и опять задаём тот же вопрос, пока не ответим на вопрос задачи. Если же не достаточно данных для ответа на поставленный вопрос, то нужно составить уравнение (неравенство, систему уравнений). При этом следует рассмотреть все неизвестные величины, которые могут быть обозначены буквой, и все данные задачи, которые могут быть основанием для составления уравнения (неравенства, системы уравнений). И на этапе обучения решению задач с помощью уравнения составить все возможные уравнения. При решении задач на экзамене, я советую детям, если это возможно, обозначать буквой искомую величину.

3.Этап проверки решения.

4.Этап подведения итогов или «взгляд назад» (Пойа).

Задача 1. (математика, 5 класс)

Два поезда, расстояние между которыми было 1260 км, вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через 7 часов после выхода. Скорость одного из них 80 км/ч. Найдите скорость другого.

Ответьте, что произойдёт, если:

а) слово «одновременно» в тексте задачи отсутствует;

б) слова «через 7 часов» заменили словами «через 9 часов»; через «2 часа»;

в) слово «одновременно» заменили словами «причём второй поезд вышел на 2 часа позже первого». Запишите решение задачи в этом случае. [6]

Этап анализа условия задачи.

Все данные задачи необходимо отразить в краткой записи, в таблице, на чертеже и т. п. Построим таблицу, в которой отразим ответы на вопросы. О чём идёт речь в задаче? О каких величинах? Что известно об этих величинах? Применимо к нашей задаче, необходимо понять, что означают слова «вышли одновременно и встретились через 7 часов после выхода» и «расстояние между поездами было 1260 км и они встретились». Заносим данные в таблицу. Речь идёт о движении двух поездов. Участвуют скорость, время и пройденный путь. Скорость первого 80 км/ч, а скорость второго не известна. Оба в пути были 7 часов. Поскольку, поезда шли навстречу друг другу и встретились, то сумма пройденных ими путей равна 1260 км, а путь, пройденный каждым поездом не известен.

Этап поиска решения и его оформления.

Возможны два способа поиска решения задачи.

Синтез. Что можно найти по данным задачи? Путь первого поезда 80∙7=560 (км). Что теперь можно найти? Путь второго поезда 1260 – 560 = 700 (км). Что теперь можно найти? Скорость второго поезда 700:7 = 100 (км/ч).

Анализ. Что требуется узнать в задаче? Скорость второго поезда. Что для этого нужно знать? Время движения и пройденный путь второго поезда. Время движения известно. Что нужно знать, чтобы узнать пройденный путь второго поезда? Пройденный путь первого поезда. Что нужно знать, чтобы найти пройденный путь первого поезда? Время движения и скорость первого поезда. И время, и скорость движения первого поезда известны. Значит можно определить порядок действий.

Этап проверки решения.

Этап подведения итогов.

Ответ: 100 км/ч.

ПОДУМАТЬ, надо ли а, б, в

Задача 2. В 6 утра из города А в город В вылетел вертолёт со скоростью 250 км/ч. В городе В вертолёт сделал посадку на 30 минут и, возвращаясь назад со скоростью 200 км/ч, приземлился в городе А в 13 часов 15 минут. Найти расстояние от А до В. [7]

Этап анализа условия задачи.

Все данные задачи отразим в таблице. Применимо к нашей задаче, необходимо понять, что означают слова «в 6 утра вылетел, сделал посадку на 30 минут и приземлился в 13 часов 15 минут».

Этап поиска решения и его оформления.

Задав себе вопрос «Что можно найти по данным задачи?», понимаем, что арифметический метод применить нельзя. Значит нужно составить уравнение. Рассмотрим данные задачи, которые могут быть основанием для составления уравнения: 1) скорость полёта из А в В равна 250 км/ч; 2) скорость полёта из В в А равна 200 км/ч; 3) время полёта туда и обратно равно 6 ч.; 4) путь из А в В равен пути из В в А. Рассмотрим какие неизвестные величины могут быть обозначены буквой: 1) время из А в В; 2) время из В в А; 3) расстояние от А до В. Желательно, на этапе обучения решению задач с помощью уравнения рассмотреть все возможные варианты и составить все возможные уравнения. При решении задач на экзамене, я советую детям, если это возможно, обозначать буквой искомую величину. Расстояние от А до В обозначим буквой х и за основание для составления уравнения выберем время полёта.

Получим уравнение: + = 6 ,

,

х = = 3 750(км).

Этап проверки решения.

Этап подведения итогов.

Ответ: 750 км.

Задача 3. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Этап анализа условия задачи.

Все данные задачи отразим в таблице. Применимо к нашей задаче, необходимо понять, что означают слова «одновременно стартовали и через 40 минут первый опережал второй автомобиль на один круг».

Этап поиска решения и его оформления.

Что можно найти по данным задачи? Путь, пройденный первым автомобилем 80∙ = (км). Что теперь можем узнать? Путь, пройденный вторым автомобилем - 14 = (км). Что теперь можно узнать? Скорость второго автомобиля : = 59 (км/ч)

Этап проверки решения.

Этап подведения итогов.

Ответ: 59 км/ч.

Задача 4. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 15 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, скорость второго равна 60 км/ч. Сколько минут с момента старта пройдёт, прежде чем первый автомобиль будет опережать второй ровно на один круг?

Этап анализа условия задачи.

Все данные задачи отразим в таблице. Применимо к нашей задаче, необходимо понять, что означают слова «стартовали одновременно в одном направлении и первый будет опережать второй на один круг».

Этап поиска решения и его оформления.

Что можно найти из данных задачи? Возникает необходимость составить уравнение. Поскольку в задаче требуется найти время, обозначим его буквой х. За основание для составления уравнения выберем условие: путь, пройденный первым автомобилем на 15 км больше.

Получим уравнение 80х – 60х = 15,

20х = 15,

х = ¾ (ч)

Этап проверки решения.

Этап подведения итогов.

Ответ: 45 минут.

Задача 5. Автобус и мотоциклист выезжают одновременно из посёлка, расположенного на кольцевой трассе. Время, которое затрачивает мотоциклист на то, чтобы обогнать автобус при движении в одном направлении в 3 раза больше времени, которое нужно для того, чтобы они встретились при движении в разных направлениях. Найдите скорость автобуса, если скорость мотоциклиста 80 км/ч.

Этап анализа условия задачи.

Все данные задачи отразим в таблице. Применимо к нашей задаче, необходимо понять, чем отличается время движения в одном направлении от времени движения в разных направлениях. При движении вдогонку скорость сближения равна разности скоростей, а при движении в разных направлениях сумме скоростей.

Этап поиска решения и его оформления.

Что можно найти из данных задачи? Возникает необходимость составить уравнение. Поскольку в задаче требуется найти скорость мотоциклиста, то обозначим её буквой х. За основание для составления уравнения выберем условие: время, которое затрачивает мотоциклист на то, чтобы обогнать автобус при движении в одном направлении в 3 раза больше времени, которое нужно для того, чтобы они встретились при движении в разных направлениях.

Составим уравнение ,

80 + х = 240 – 3х,

4х = 160,

х = 40 (км/ч)

Этап проверки решения.

Этап подведения итогов или «взгляд назад».

Ответ: 40 км/ч.

Задача 6. Часы со стрелками показывают 7 часов 00 минут. Через сколько минут минутная стрелка в пятый раз поравняется с часовой?

Этап анализа условия задачи.

Все данные задачи отразим в таблице. Применимо к нашей задаче, необходимо понять с какой скоростью движутся стрелки и что означают слова «поравняются в пятый раз».

1. Первая встреча стрелок.

   	Скорость, градус/ч	Время, ч	Путь, градус
   минутная	360	?	? на 2100 больше
   часовая	30	?	?

2. Вторая – пятая встречи стрелок.

Этап поиска решения и его оформления.

Что можно найти из данных задачи? Возникает необходимость составить уравнение. Поскольку в задаче требуется найти время, то и обозначим его буквой х. За основание для составления уравнения выберем разность путей, которые проходят стрелки за искомое время.

1. Первая встреча стрелок.

Составим и решим уравнение 360х – 30х = 210,

330х = 210,

х = 7/11.

1. Вторая – пятая встречи стрелок.

Составим и решим уравнение 360х – 30х = 360,

330х = 360,

х = 12/11.

Найдём время, за которое минутная стрелка обогнала часовую стрелку 5 раз: .

Этап проверки решения.

Этап подведения итогов.

Ответ: 300 минут.

Задача 7. Две точки движутся по окружности длиной 1,2 м с постоянными скоростями. При движении в разных направлениях они встречаются каждые 15 секунд. При движении в одном направлении одна точка догоняет другую через каждую минуту. Найдите скорости точек.

Этап анализа условия задачи.

Все данные задачи отразим в таблице. Применимо к нашей задаче, необходимо понять в чём различия движения в разных направлениях от движения в одном направлении.

1.При движении в разных направлениях, при встрече получается, что в сумме путь первой и путь второй точек дают длину окружности.

2.При движении в одном направлении при встрече точка, которая догоняет, проходит путь на один круг больший.

Этап поиска решения.

Что можно найти из данных задачи? Возникает необходимость составить систему уравнений. Так как в задаче требуется найти скорости точек, то скорость одной из них обозначим буквой х, скорость другой – буквой у. Основанием для составления уравнений выберем условия, описывающие путь.

По данным таблиц составим систему уравнений

решая её получим, что х = 0,05м/с, а у = 0,03 м/с.

Этап проверки решения.

Этап подведения итогов.

Ответ: 0,05 м/с и 0,03м/с.

Задача 8. Три тела движутся по прямой от пункта А в пункт В. Второе тело начало двигаться на 5 с, а третье на 8 с позже первого. Скорость первого тела меньше скорости второго на 6 м/с, скорость третьего тела 30 м/с. Найдите скорость первого тела и расстояние от пункта А до пункта В, если известно, что все три тела достигли пункта В одновременно.

Этап анализа условия задачи.

Все данные задачи отразим в таблице. Применимо к нашей задаче, необходимо понять, что означают слова «Второе тело начало двигаться на 5 с, а третье на 8 с позже первого» в сочетании со словами «все три тела достигли пункта В одновременно».

Этап поиска решения и его оформления.

Что можно найти из данных задачи? Возникает необходимость составить систему уравнений. Так как в задаче требуется найти скорость первого тела и расстояние между пунктами, то скорость первого тела обозначим буквой х, а расстояние – буквой у. Основанием для составления уравнений выберем разницу во времени.

Составим систему уравнений

Разделим одно уравнение системы на другое, получим или . Приведём полученное уравнение к квадратному и найдём его корни 18 и 6. Поскольку число 6 не удовлетворяет условию задачи (скорость первого тела меньше скорости второго на 6 м/с), то получим, что скорость первого тела 18 м/с. Подставив это значение в одно из уравнений системы найдём расстояние между пунктами А и В.

Этап проверки решения.

Этап подведения итогов.

Ответ: 18 м/с, 360 м.

Задача 9. По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых 70 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда 400 м. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошёл мимо товарного 1 минута 3 секунды. Ответ дайте в метрах.

Этап анализа условия задачи.

Все данные задачи отразим в таблице. Применимо к нашей задаче, необходимо понять, что означают слова «пассажирский поезд прошёл мимо товарного за 1м 3с». Это значит, что за 1м 3с = 63 с пассажирский поезд прошёл путь равный сумме длин поездов да ещё и путь, который прошёл товарный поезд за 63 с.

Этап поиска решения и его оформления.

Что можно найти из данных задачи? Можно узнать путь, пройденный пассажирским поездом.

1. 7 0 ∙ = (км). Что ещё можно найти по данным задачи? Можно узнать путь, пройденный товарным поездом. 2) 30 ∙ = (км). Можем ли мы ответить на главный вопрос задачи?

Этап проверки решения.

Этап подведения итогов.

Ответ: 300 м

Задача 10. Пешеход идёт параллельно железнодорожным путям со скоростью 6 км/ч. Навстречу ему движется равномерно поезд со скоростью 54 км/ч. Найдите длину поезда в метрах, если поезд проезжает мимо пешехода за 30 секунд.

Этап анализа условия задачи.

Все данные задачи отразим в таблице. Применимо к нашей задаче, необходимо понять, что означают слова «пассажирский поезд со скоростью 54 км/ч прошёл мимо идущего со скоростью 6 км/ч пешехода за 30 секунд». Это значит, что длина поезда будет равна сумме расстояний пройденных поездом и пешеходом за 30с = ч.

Этап поиска решения.

Что можно найти из данных задачи? Можно узнать путь, пройденный поездом.

1. 54 ∙ = (км). Что ещё можно найти по данным задачи? Можно узнать путь, пройденный пешеходом. 2) 6 ∙ = (км). Можем ли мы ответить на главный вопрос задачи?

Этап проверки решения.

Этап подведения итогов.

Ответ: 500 м.

Литература.

1. Ерина Т. М. ЕГЭ 2019. 100 баллов. Профильный уровень. Практическое руководство/ Издательство «Экзамен», 2019. – 350, с. (Серия «ЕГЭ. 100 баллов»)

2. Лурье М. В. Задачи на составление уравнений. Техника решения./ 3-ие изд. Стереотип. – М.: Изд-во УНЦ ДО, 2005 – 124 с. (в помощь поступающим в ВУЗы)

3. Малова И. Е. Материалы лекций летней математической школы для учителей профильных классов в РСО – Алания.

4. Шестаков С. А. ЕГЭ 2018. Математика. Задачи на составление уравнений. Задача 11 (профильный уровень). Рабочая тетрадь/ Под ред. И. В. Ященко. – М.: МЦНМО, 2018. – 80 с.

5. Ященко И. В. Математика. Профильный уровень. 20 вариантов тестов от разработчиков ЕГЭ. Тематическая рабочая тетрадь/ И. В. Ященко, С. А. Шестаков; под ред. И. В. Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», МЦНМО, 2019 – 295, с. (Серия «ЕГЭ. 30 вариантов. Тесты от разработчиков»)

6. Математика: учебная книга и практикум для 5 класса в 2 ч. Ч. 1: Натуральные числа и десятичные дроби/ Э. Г. Гельфман [и др.] – 8-е изд., испр. и доп. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. – 240 с.: ил.

7. Математика: учебная книга и практикум для 5 класса в 2 ч. Ч. 1: Натуральные числа и десятичные дроби/ Э. Г. Гельфман [и др.] – 8-е изд., испр. и доп. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. – 240 с.: ил.

Охват Любовь Петровна

МБОУ «СОШ №1 им. Героя Советского Союза П. В. Масленникова ст. Архонская»

E – mail: [email protected]