Методика расчёта цепей постоянного тока методом узлового напряжения.

Методика расчёта цепей постоянного тока методом узлового напряжения.

Краткие теоретические сведения:

Расчет сложных разветвленных электрических цепей с несколькими источниками и двумя узлами можно осуществить методом узлово­го напряжения. Напряжение между узлами и называется узловым. U_AB— узловое напряжение цепи (рис. 1).

Рис. 1

Для различных ветвей (рис. 1) уз­ловое напряжение U_ABможно опреде­лить следующим образом.

1. Поскольку для первой ветви ис­точник работает в режиме генератора

U_AB = E₁ – I₁(R₁ + R₀₁),

гдеR₀₁ – внутренне сопротивление первого источника питания Е₁, Ом

Величина тока определяется как

где - проводимость 1-й ветви, См.

2. Для второй ветви источник работает в режиме потребителя, следовательно
U_AB = - U_BА = -[E₂ + I₂(R₂ + R₀₂)],

гдеR₀₂ – внутренне сопротивление второго источника питания Е₂, Ом

Тогда ток

где - проводимость 2-й ветви, См.

3. Для третьей ветви U_AB= - U_BA= -I₃R₃.

(Потенциал точкиВдля третьей ветви больше, чем потенциал точки А, так как ток направлен из точки с большим потенциалом в точку с меньшим потенциалом.)

Величину тока I₃ можно определить по закону Ома для участка электрической цепи

где - проводимость 3-й ветви, См.

По первому закону Кирхгофа для узловой точкиА:

I₁+I₂+I₃ = 0

Подставив в данное уравнение значения токов ветвей для рассматриваемой цепи, можно записать E₁g₁ - U_ABg₁ – E₂g₂ - U_ABg₂- U_ABg₃ = 0.

Решив это уравнение относительно узлового напряжения U_AB, можно определить его значение

Следовательно, величина узлового напряжения определяется от­ношением алгебраической суммы произведений ЭДС и проводимости ветвей с источниками к сумме проводимостей всех ветвей:

Для определения знака алгебраической суммы направление то­ков во всех ветвях выбирают одинаковым, т. е. от одного узла к другому (рис. 1). Тогда ЭДС источника, работающего в режи­ме генератора, берется со знаком «плюс», а источника, работаю­щего в режиме потребителя, со знаком «минус».

Таким образом, для определения токов в сложной цепи с двумя узлами вычисляется сначала узловое напряжение, а затем значения токов по расчётным формулам.

Узловое напряжение U_ABможет получиться положительным или отрицательным, как и ток в любой ветви.

Знак «минус» в вычисленном значении тока указывает, что реальное направление тока в данной ветви противоположно условно выбранному.

Пример расчёта:

Для электрической цепи постоянного тока определить токи в ветвях. ЭДС Е₁ = 1,8 В; Е₂ = 1,2 В; сопротивления резисторов: R₁ = 0,2 Ом; R₂ = 0,3 Ом; R₃ = 0,8 Ом; R₀₁ = 0,6 Ом; R₀₂ = 0,4 Ом.

Дано:Е₁=1,8 В

Е₂=1,2 В

R₁=0,2 Ом

R₂=0,3Ом

R₃=0,8Ом

R₀₁=0,6Ом

R₀₂=0,4Ом

Определить:I₁, I₂, I₃

I₁ R₀₁ R₁

I₂ R₀₂ R₂

А В

I₃ R₃

1. Примем за положительное направление токов во всех ветвях направление от узлаВ к узлу А. Определим узловое напряжение:

, где g₁, g₂, g₃ – проводимости ветвей.

1. Найдем проводимости:

3. Узловое напряжение:

4. Определим токи в ветвях:

I₁ = (E₁ – U_AB)g₁=(1,8 – 1)·1,25=1 A,

I₂ = (E₂ – U_AB)g₂=(1,2 – 1)·1,428=0,25 A,

I₃= – U_ABg₃= – 1·1,25=-1,25 A.

Проверка: по первому закону Кирхгофа имеем: I₁+I₂+I₃=0

1 + 0,25 – 1,25=0.

Примечание. Если какая-либо ЭДС имеет противоположное направление, то в формулы она войдет со знаком “минус”.

Выполнить задание:

Определить токи во всех ветвях цепи, если заданы E₁, E₂, E₃, r₀₁, r₀₂, r₀₃, R₁, R₂, R₃, R₄. Указанные величины в зависимости от варианта даны в табл.1 (расчет произвести методом узлового напряжения)

Таблица 1

Рис.2.

R₄

E₃

r₀₃

E₂

r₀₂

E₁

r₀₁

Р

E₃

r₀₃

R₂

R₁

E₂

r₀₂

E₁

r₀₁

Ответить на контрольные вопросы:

1. Что такое узловое напряжение цепи?

2. Как определить величину проводимости ветви?

3. Чему равна величина узлового напряжения?