Методика решения логических задач на уроках математики в 5-6 классах

Государственное общеобразовательное учреждение

Луганской Народной Республики

«Краснодонская средняя школа №1 имени А.М. Горького»

на уроках математики в 5-6 классах.

Краснодон

2022

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 3

I. Глава 1. Психолого-педагогический анализ учащихся

1.1. Возрастные особенности учащихся 5-6 классов

1.2. Психолого-педагогические особенности учащихся 5-6 классов

1.3. Особенности мышления учащихся на уроках математики в 5-6 классах

5

Глава 2. Научно-методические основы организации обучения решению задач в основной школе

2.1. Задачи в истории математического образования

2.2. Логическая задача. Способы решения логической задачи

2.3. Основные методы решения логических задач

Заключение

Список использованных источников

«… Логика нужна любому специалисту, будь он математик, медик или биолог. Логика – это необходимый инструмент, освобождающий от лишних, ненужных запоминаний, помогающий найти в массе информации то ценное, что нужно человеку. Без логики – это слепая работа».

(П. Анохин)

Ещё в древности люди задумывались над многими вещами: почему земля круглая, откуда взяли огонь…

Шли годы,– люди стали умнее; их мозг эволюционировал. Интересовало уже людей не то, что они могут сделать, а то - «как они делают это продуктивнее?».

Чтобы ответить на этот вопрос и другие вопросы, народ стал искать какие-то взаимосвязи; стал сравнивать какие-то ситуации с жизненными, решив тем самым какую-нибудь житейскую проблему, стал вычленять способ её решения.

Все, что сейчас происходит в обществе, как в зеркале отражается в школе. Какой должна быть школа, учитель? Каким должно быть образование?

Современный урок невозможен без использования различных подходов к обучению. Особенно это касается предметов естественнонаучного цикла, т.к. именно они формируют единую картину мира. Сегодняшняя школа должна меняться, она должна соответствовать уровню и темпам развития нашего общества, соответствовать целям опережающего развития. В связи с этим повысилось внимание к проблеме развития познавательных интересов у школьников.

Особенности современного движения педагогической и психологической наук и создают такую атмосферу деятельности учителя, в которой он не может обучать и воспитывать своих учеников, не добиваясь их интереса, активности, творческого подхода к деятельности.

В течение всех лет обучения в школе мы много решаем разнообразных задач, в том числе и логических: задачи занимательного характера, головоломки, анаграммы, ребусы и т.п. Чтобы успешно решать задачи такого вида, надо уметь выделять их общие признаки, подмечать закономерности, выдвигать гипотезы, проверять их, строить цепочки рассуждений, делать выводы. Логические задачи от обычных отличаются тем, что не требуют вычислений, а решаются с помощью рассуждений. Можно сказать, что логическая задача – это особая информация, которую не только нужно обработать в соответствии с заданным условием, но и хочется это сделать. Особое место в математике занимают задачи, решение которых развивает логическое мышление, что способствует успешному изучению предмета. Эти задачи носят занимательный характер и не требуют большого запаса математических знаний, поэтому они привлекают даже тех учащихся, которые не очень любят математику.

Особое место в успешном изучении предмета математики, занимают нестандартные задачи. Именно при решении нестандартных задач оттачивается мысль ребенка, мысль связанная, последовательная, доказательная. Решая задачи, представленные в математической системе, учащиеся не только активно овладевают содержанием курса математики, но и приобретают умения мыслить творчески.

Актуальность этой темы: Вся наша жизнь - это непрерывное решение больших и маленьких логических проблем. Без умения правильно, логически рассуждать, поступать разумно, жить трудновато.

Цели и задачи данного курса определяются той ролью, которую играет математическая логика в современных математике и информатике. В первую очередь очевидно большое значение, которое имеет математическая логика в основаниях математики. Строгое, математически точное построение логических исчислений, решение проблемы дедукции, аксиоматические системы и доказательство теорем в их рамках прививают учащимся навыки работы с математическими объектами, математическую строгость мышления, совершенно необходимую для исследовательской работы в области математики и других точных наук. В то же время быстрое развитие вычислительной техники способствует расширению как круга задач, решаемых с помощью математической логики, так и методов, применяемых для их решения. 

При развитии логического мышления у учащихся 5-6 классов, необходимо учитывать следующее:

1.Логические задачи должны быть посильными для детей;

2.Должны быть разнообразными для воздействия на различные компоненты мышления;

3.Если ученики не справляются с решением логических задач, то целесообразно оставить их на обдумывание до следующего урока.

I. Глава 1. Психолого-педагогический анализ учащихся

1. Возрастные особенности учащихся 5-6 классов

Подростковый возраст - это возраст от 10 –11 до 15 лет, что соответствует возрасту учащихся 5-8 классов. Этот возраст связан с перестройкой всего организма ребенка половым созреванием. Одни дети вступают в подростковый возраст раньше, другие - позже (в 13 лет). Начинаясь с кризиса, весь период протекает трудно и для ребенка, и для взрослых.
Существенные изменения происходят в эмоциональной сфере подростка. Эмоции подростка отличаются большой силой и трудностью в их управлении. Подростки отличаются большой вспыльчивостью, слабостью самоконтроля, резкостью в поведении. С этим связано неумение сдерживать себя.

Учение для подростка является главным видом деятельности. И от того, как учится подросток, во многом зависит его психическое развитие. В подростковом возрасте происходят существенные сдвиги в развитии мыслительной деятельности учащихся, главным образом в процессе обучения.

Подростков очень привлекает возможность расширить, обогатить свои знания, проникнуть в сущность изучаемых явлений, установить причинно-следственные связи.
В подростковом возрасте появляются новые мотивы учения, связанные с расширением знаний, с формированием нужных умений и навыков, позволяющих заниматься интересной работой, самостоятельным творческим трудом. Учителю необходимо знать эти мотивы, условия их формирования, так как отношение подростков к учению обусловлено, прежде всего, качеством работы учителя и его отношением к учащимся.

1.2. Психолого-педагогические особенности учащихся 5-6 классов

Пятиклассник, шестиклассник, ученик которому 10-13 лет, находится в подростковом возрасте. Подростковый возраст называют переходным возрастом, потому что в течение этого пе­риода происходит своеобразный переход от детского к взрослому состоянию, от незрело­сти к зрелости.

В 5 классе ученики переходят к систематическому изучению наук. А это требует от психической деятельности более высокого уровня: глубоких обобщений и доказательств, понимания более сложных абстрактных отношений между объектами, формирование от­влеченных понятий.

В подростковом возрасте, в частности в 5-6 классах, существенно перестраивается характер учебной деятельно­сти. Причем не только усложняется сама учебная деятельность: увеличивается количество учебных предметов, вместо одного учителя с классом работает уже несколько учителей, у которых раз­личные требования, стиль ведения урока, отношение к учащимся.

Одним из постоянных сильнодействующих мотивов деятельности учащихся 5-6 классов является интерес (от лат. interest — имеет значение, важно), т.е. реальная причина действий, ощущаемая человеком как особо важная. Интерес можно определить как положительное оценочное отношение субъекта. Познавательный интерес проявляется в эмоциональном отношении школьника к объекту познания. Интерес —естественный двигатель детского поведения, он является верным выражением стремления, указанием на то, что деятельность ребенка совпадает с его органическими потребностями. Вот почему основное правило требует построения всей учебно-воспитательной системы на точно учтенных детских интересах... Педагогический закон гласит: прежде чем ты хочешь призвать ребенка к какой-либо деятельности, заинтересуй его ею, позаботься о том, чтобы обнаружить, что он готов к этой деятельности, что у него напряжены все силы, необходимые для нее, и что ребенок будет действовать сам, преподавателю же остается только руководить и направлять его деятельность» [14, с.22]. В обучении действует множество интересов. Правило заключается в том, чтобы не только вызвать интерес, но чтобы интерес был как должно направлен. Использование интереса предписывает построить всю школьную систему в непосредственной близости к жизни, учить детей тому, что их интересует, начинать с того, что им знакомо и естественно возбуждает их интерес» [14, с.23].

Огромную роль интересу придавал П.Я.Гальперин: «Непосредственный интерес – вот великий двигатель – единственный, который ведет верно и далеко» [15, с.156].

Проблеме развития познавательной деятельности уделила внимание Г.И.Щукина. Она советует «всеми возможными способами воспламенять в детях горячее стремление к знанию» [17, с.112].

А.К. Маркова под проявлением познавательной активности понимает «все виды активного отношения к учению как познанию: наличие смысла, значимости для ребёнка учения как познания, все виды познавательных мотивов…» [14].

Сила познавательного интереса состоит в том, что, являясь глубоко личностным образованием, он «обнажает объективные ценности обучения, сообщает учению силу, легкость, интенсивность и быстроту; придает познавательной деятельности личностный смысл; содействует ее продуктивности, снимает негативное состояние участников деятельности (утомление, инертность, равнодушие); придает всей учебной деятельности благоприятный эмоциональный тонус...» [3, с.67].

В 5 классе ученики переходят к систематическому изучению наук. А это требует от психической деятельности более высокого уровня: глубоких обобщений и доказательств, понимания более сложных абстрактных отношений между объектами, формирование от­влеченных понятий.

В подростковом возрасте, в частности в 5-6 классах, существенно перестраивается характер учебной деятельно­сти. Причем не только усложняется сама учебная деятельность: увеличивается количество учебных предметов, вместо одного учителя с классом работает уже несколько учителей, у которых раз­личные требования, стиль ведения урока, отношение к учащимся.

Существенную роль в формировании положительного отношения подрост­ка к учению, в том числе и к математике, играют научная содержательность учебного материала, его связь с жизнью и практикой, проблемный и эмоциональный характер изложения, организация поисковой, познавательной деятельности, которая дает учащимся возможность переживать радость самостоятельных открытий, знакомство подро­стков с рациональными приемами учебной работы, навыками самовоспитания, являющи­мися непременной предпосылкой для достижения успеха.

1. Особенности мышления учащихся на уроках математики в 5-6 классах

Важнейшей задачей обучения математике является развитие мышления учащихся. Мышление является высшим познавательным процессом. Мышление человека- это творческое преобразование имеющихся в памяти представлений и образов. Мышление всегда направлено на решение какой-либо задачи.

Наряду с задачей развития логического мышления в 5-6-ом классе уже должна решаться и более общая задача — воспитание логической грамот­ности, которая, в свою очередь, является необходимым условием полноценного формирования интеллектуальной культуры человека и ее базовым компонентом.

Под логической грамотностью понимаются логические зна­ния и умения, которые дают возможность для успешного обучения в школе, для дальнейшего обучения и самообразования, для успеш­ной общественно полезной практической деятельности в повседнев­ной жизни. Эти знания и умения – также необходимое условие развития логического мышления.

Поиску путей развития логического мышления учащихся в процессе обучения математике посвящены методические исследования А. К. Артемова, И. Л. Никольской, А. А. Столяра и др. Ими были разработаны общие программы, содержание и методика логической подготовки школьников в процессе обучения математике.

Глава 2. Научно-методические основы организации обучения решению задач в основной школе

2.1. Задачи в истории математического образования

Задача - это проблема, которую необходимо разрешить.

Задача может быть сложной или простой. В первом случае найти ее решение трудно, во втором - легко. Заметим, что трудность решения в какой-то мере входит в само по­нятие задачи: там, где нет трудности, нет и задачи.

Задача является надежным средством контроля и проверки глубины и прочности знаний учеников и их осмысленности, умения применять полученные знания на практике.

Решить математическую задачу — значит найти такую по­следовательность общих положений математики (определений, аксиом, теорем, правил, тождеств, формул и т.д.), применяя которые к усло­виям задачи или к их следствиям (промежуточным результатам реше­ния), получаем то, что требуется вопросом задачи. Процесс решения задач тесно связан с мышлением. «Решение задачи, — пишет А. В. Брушлинский, — осуществляет­ся только с помощью мышления и никак иначе не осуществимо. Но мышление совершается не только в связи с решением задачи». Вместе с тем он же высказывает мысль о том, что мышление лучше всего формировать «именно в ходе решения задач, когда человек сам наталкивается на посильные для него проблемы и вопросы, форму­лирует их и затем решает».[1]

Осуществляя обучение школьников решению задач, с помощью специально подобранных упражнений, нестандартных задач, можно учить их наблюдать, пользоваться аналогией, индукцией, сравнениями, и делать соответствующие выводы, логически рассуждать. Необходимо прививать учащимся прочные навыки логического и творческого мышления, формировать у них познавательный интерес и самостоятельность. Эффективное развитие математических способностей у учащихся невозможно без использования в учебном процессе задач на сообразительность, задач-шуток, математических ребусов, софизмов, логических задач.

2.2. Логическая задача. Способы решения логических задач

Педагогическая практика показывает, что у основной массы учащихся здравый смысл опережает математическую подготовку. Это обусловливает высокий интерес школьников к решению логических задач. От обычных задач они отличаются тем, что не требуют вычислений; в них мы не находим ни чисел, ни геометрических фигур; чаще всего в таких задачах создается ситуация, выход из которой может быть найден, если мы тщательно изучим ситуацию и сделаем ряд выводов, иначе говоря логическим методом, с помощью логических рас­суждений. Можно сказать, что логическая задача — это особая информация, которую не только нужно обработать в соответствии с заданным условием, но и хочется это сделать. Но в учебниках, сборниках задач и в других учебных пособиях не дается точного определения логической задачи. В работе мы будем называть логическими следующие задачи: на упорядочивание множества; на нахождение соответствия между элементами различных множеств; задачи с ложными высказываниями; задачи на переправы и взвешивание, турнирные задачи.

Необходимо отметить, что решение и со­ставление логических задач способствуют развитию мышления гораздо в большей сте­пени, чем решение тривиальных задач, которые в основном развивают память уча­щихся.

При составлении и решении логических задач мы используем следующий алгоритм:

1. Определение содержания текста (выбор объектов или субъектов).

2. Составление полной информации о происшедшем событии.

3. Формирование задачи с помощью исключения части информации или её искажения.

4. Произвольное формулирование задачи. В случае необходимости (недостаток информации, искажение и т.д.) вводится дополнительное логическое условие.

5. Проверка возможности решения с помощью рассуждений. Получение единственного непротиворечивого ответа означает, что условие составлено, верно. Если нет, то необходимо обратиться к дополнительному п.6.

6. В составленном условии не хватает информации, либо имеющаяся информация противоречиво искажена. Изменяем или дополняем условие задачи, после чего необходимо обратиться к п.5.

Посмотрим на примере использования данного алгоритма при конструировании задачи:

1. Субъекты: мальчики Ваня, Петя, Коля.

2. Исходная информация: у Коли больше всех грибов.

3. Для составления задачи искажаем информацию. Делаем её логически противоречивой.

Известны сообщения мальчиков:

• Ваня говорит, что больше всего грибов собрал Петя;

• Петя говорит, что больше всего грибов собрал Коля;

• Коля говорит, что больше всего грибов собрал Ваня.

1. Записываем условие задачи:

«Мальчики собирали в лесу грибы. Ваня подсчитал, что больше всего грибов собрал Петя. Петя подсчитал, что больше грибов у Коли. Коля сообщил после своего подсчёта, что больше всех собрал грибов Ваня. Кто из мальчиков больше всех собрал грибов, если известно, что только один из них опередил всех и известно, что один из мальчиков сообщил верные сведения, а двое других сказали неправду?»

1. Рассмотрев три варианта, нетрудно установить, что решение найти невозможно. Переходим к следующему действию алгоритма.

2. Уточняем информацию. Во-первых, допускаем, что

лгут все мальчики,

и, во-вторых, дополнительно изменяем сообщение Пети:

«У Коли меньше всего грибов».

Решение задачи становится очевидным.

Логические тесты подразделяются на три основные группы:

• словесные

• символико-графические

• комбинированные

К первой группе относятся математические анаграммы и вербальные тесты.

Анаграммой называется слово, в котором поменяли местами все или несколько букв по сравнению с исходным словом. Решить анаграмму – означает определить исходное слово.

Примеры.

1. Решить анаграммы и исключить лишнее слово:

мапряя; чул; резоток; рипетрем.

Упражнение состоит из двух частей:

1) решить анаграммы (прямая; луч; отрезок; периметр);

2) исключить лишнее слово, т.е. определить логическую закономерность, лежащую в основе подбора этих терминов, и, исходя из неё, исключить логически несовместимое слово.

В нашем случае лишним словом будет «периметр» - метрическая (скалярная) величина. «Прямая», «луч», «отрезок» - геометрические фигуры.

Таким образом, устанавливается и математическая терминология, и развивается логическое мышление.

Вербальный тест – это задание типа:

вставьте пропущенное слово

числитель (тело) число

дробь (?) знаменатель

Задание состоит из двух частей. В первой части дано решенное упражнение: из двух слов «числитель» и «число» выделено новое слово «тело». Задача решающего – найти логический признак, по которому было составлено это слово. Применив аналогию, при исследовании второй части вставим пропущенное слово «роль». После этого можно ответить на вопрос «Как логически взаимосвязаны математические термины, представленные в этом задании?»

Мир символико-графических логических тестов очень разнообразен и богат. Задания представляют собой эффективный способ взаимосвязи алгебраического материала с изображением математических фигур.

1. Вставьте необходимую фигуру:

400

? 100

Логические тесты дают возможность повторить разные понятия, свойства, правила и т.п. Каждое логическое математическое задание содержит некоторый математический «секрет». Найти его – основная задача решающего. При решении важно находить закономерности (правила), по которым составлена первая часть задачи, и, применяя метод аналогии, решить вторую часть задачи.

Примеры.

1. Найти закономерность и исключить лишний элемент

а) {15; 60; 35; 12; 40; 120}

б) {задача; переменная; уравнение; функция}

1. Реши анаграммы:

асонс; лосок; ракаск; редас; сенав

1. Восстанови цепочку слов: конец первого слова служит началом второго:

логи (…) талог; чере (…) олад;

высо (…) ра; брут (…) чка

К комбинированным логическим тестам относятся задания, содержащие как вербальную версию, так и символико-графическую. Такие упражнения требуют не только наблюдательности, умения сравнивать, обобщать, делать выводы и обосновывать их, но и умения устанавливать необычные связи между объектами, проводить аналогии.

Пример. Вставьте пропущенное слово

математика 3≤x≤6 тема

дециметр 5≤x≤8 ?

Проанализировав первую часть, придём к выводу, что, взяв буквы с третьей по шестую, мы получим слово «тема». Аналогично, взяв буквы с пятой по восьмую, получим слово «метр».

Комбинированные логические тесты могут быть очень разнообразными.

Примеры.

1. Запиши недостающее слово:

сантиметр – миллиметр; гектар - ?

1. В одном классе 27 учеников. Можно ли утверждать, что в этом классе найдутся хотя бы два ученика, фамилии которых начинаются с одной и той же буквы?

2. Составьте пропущенный рисунок и впишите нужное число.

Данную задачу можно усложнить. Рассмотрим способ решения более сложной задачи.

В первом прямоугольнике числа 1,2,3 и 4 связаны по схеме; отсюда делаем вывод: одна бабушка, две матери, три дочери; всего в данной семье 4 женщины.

Рассуждая аналогично по данным второго прямоугольника, приходим к схеме:

Бабушка

Мать

Дочь

В роли матери выступают две женщины: бабушка, мать, в роли дочери – две женщины: мать и дочь, а всего в этой семье 3 женщины.

Для раскрытия причинной связи между явлениями окружающей действительности можно предложить следующие логические задания.

4. Из слов: понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье выберите нужные слова:

было вчера вчера вторник

есть ? Или сегодня ? Или: 3 среда

будет ? завтра ? 5 ?

5.Вставьте пропущенное равенство:

1. Обозначьте буквами русского алфавита углы второго квадрата:

А Б ? ?

Г В ? ?

Логика помогает усваивать знания осознанно, с пониманием, т.е. не формально; создаёт возможность лучшего взаимопонимания. Логика – это искусство рассуждать, умение делать правильные выводы. Это не всегда легко, потому что очень часто необходимая информация «замаскирована», представлена неявно, и надо уметь её извлечь.

Метод рассуждений

В методике рассуждений при решении помогают: схемы, чертежи, краткие записи, умение выбирать информацию, умение пользоваться правилом перебора.

Примеры.

1. Лена, Оля, Таня участвовали в беге на 100 м. Лена прибежала на 2 с раньше Оли, Оля прибежала на 1 с позже Тани. Кто прибежал раньше: Таня или Лена и на сколько секунд?

Решение.

Составим схему:

Лена __________

Оля __________ __ __

1с 1с

Таня __________ __

1с

Ответ. Раньше на 1с пришла Лена.

1. Любое натуральное число от 1 до 10 можно записать:

а) четырьмя тройками;

б) четырьмя четвёрками;

использую при этом любые математические знаки.

Ответ: а) 33 : 33 = 1 б) 44 : 44 = 1

3 : 3 + 3 : 3 = 2 4 : 4 + 4 : 4 = 2

3 · 3 – 3 – 3 = 3 (4 + 4 + 4) : 4 = 3

3 (4 – 4) · 4 + 4 = 4

(3 : 3) + 3 = 4 4

3 + 3 – 3 : 3 = 5 (4 : 4) + 4 = 5

3 + 3 + 3 – 3 = 6 (4 + 4) : 4 + 4 = 6

3 + 3 + 3 : 3 = 7 44 : 4 – 4 = 7

3 · 3 – 3 : 3 = 8 4 · 4 – 4 – 4 = 8

3 · 3 + 3 – 3 = 9 4 : 4 + 4 + 4 = 9

3 · 3 + 3 : 3 = 10 (44 – 4) : 4 = 10

Метод описания предметов и их форм

Приходилось ли вам договариваться о встрече в каком-нибудь установленном месте. Например, около автовокзала с человеком, которого вы никогда раньше не видели? Как узнать незнакомца, выделить его из многих других людей? Конечно, по его признакам. Например, он может сказать, что у него светлые волосы, голубые глаза, высокий рост, чёрная куртка, джинсовые брюки, белые кроссовки. Чтобы наверняка не ошибиться, можно попросить его держать в руках газету или журнал. Все эти признаки вместе взятые составляют описание внешности человека. По этому описанию вы можете его узнать, т.е. догадаться, что перед вами тот самый человек, который вам нужен.

По описанию можно представить себе предмет, место или событие, которое вам никогда не доводилось видеть, Например, мамонта, Южный полюс или извержение вулкана.

По приметам (признакам) преступника составляют его предполагаемый портрет – фоторобот.

По признакам (симптомам) болезни врач ставит диагноз, т.е. распознаёт болезнь.

Разгадывание многих загадок, шарад, решение кроссвордов основано на узнавании объекта по описанию.

Примеры.

1. Вот два описания одного и того же времени года.

«Похолодание, осадки в виде дождя и снега. Изменение окраски листьев и листопад у растений. Отлёт птиц».

(Из учебника «Природоведение»)

«Роняет лес багряный свой убор,

Сребрит мороз увянувшее поле,

Проглянет день, как будто поневоле,

И скроется за край окружных гор».

(А.С.Пушкин)

О каком времени идёт речь? Как об этом можно догадаться?

1. Нарисуй фигуру по её описанию:

а) четырёхугольник с равными сторонами и равными углами;

б) многоугольник, у которого три стороны.

Как называется каждая из этих фигур?

1. Запиши двузначное число, которое делится на 4 и кончается цифрой 6. Сколько таких чисел?

2. Возможно ли такое:

а) он – мой дед, но я ему не внук;

б) у моей сестры есть брат, а у меня нет брата?

1. Что это за предмет: чаще всего деревянный, называют иногда журнальным?

Метод поиска родственных задач

Если задача трудна, то необходимо попытаться найти и решить более простую «родственную» задачу. Это даёт ключ к решению исходной задачи. При этом полезно:

а) рассмотреть частный (более простой) случай, а затем обобщить идею решения;

б) разбить задачу на подзадачи;

в) обобщить задачу (например, заменить конкретное число переменной),

г) свести задачу к более простой.

Примеры.

1. В угловой клетке таблицы 5Х5 стоит плюс, а в остальных клетках стоят минусы. Разрешается в любой строке или любом столбце поменять все знаки на противоположные. Можно ли за несколько таких операций сделать все знаки плюсами?

Решение. Возьмём квадрат 2Х2 (один плюс и три минуса). Можно ли сделать все знаки плюсами? Нельзя! Воспользуемся этим результатом: выделим в квадрате 5Х5 квадратик 2Х2, содержащий один плюс. Про него уже известно, что сделать все знаки плюсами невозможно. Значит, в квадрате 5Х5 и подавно этого сделать нельзя.

1. Сколько существует трёхзначных чисел?

Ответ: 900

1. Яблоко стоит п рублей и ещё пол-яблока. Сколько стоят т яблок?

Метод «причёсывания задач» (или «можно считать, что…»)

Можно решать задачу, как придётся, а можно предварительно преобразовать её к удобному для решения виду: переформулировать условие на более удобном языке (например, на языке чертежа), отбросить простые случаи, свести общий случай к частному. Такие преобразования сопровождаются фразами: «в силу чётности», «явно не хуже», «для определённости», «не нарушая общности», «можно считать, что…»

Примеры.

1. Каждый ученик класса ходил хотя бы в один из двух походов. В каждом походе мальчиков было не больше 2/5. докажите, что всего мальчиков в классе не больше 4/7.

Решение. Решение «в лоб» состоит в рассмотрении количества мальчиков, ходивших только в первый поход, ходивших только во второй поход, ходивших в оба похода, то же для девочек, что ведёт к составлению нескольких уравнений. Поэтому избавимся от лишних неизвестных. Сводя задачу к частному случаю. Проделаем это в несколько шагов. После каждого шага упрощения становится очевидным следующий шаг.

Будем увеличивать число мальчиков в классе, не изменяя числа девочек и не нарушая условия задачи.

1-ый шаг. «Впишем» всех девочек в число участников обоих походов. От этого доля мальчиков в классе не изменится, а в походах уменьшится. Итак, можно считать, что все девочки ходили в оба похода.

2-ой шаг. Если мальчик ходил в первый поход, то освободим его от посещения второго. Доля мальчиков в походе уменьшится. Итак, можно считать, что каждый мальчик ходил только в один поход.

3-ий шаг. Если в одном походе было меньше мальчиков, чем в другом, то добавим в класс мальчиков. Доля мальчиков в походах не уменьшится, она останется не больше 2/5, а доля мальчиков в классе увеличится. Можно считать, что мальчиков в походах поровну.

4-ый шаг. Задача стала следующей: в обоих походах были все девочки и ровно половина мальчиков. Обозначим число девочек через 3х, тогда мальчиков в походах было не больше 2х, а во всём классе – не больше 4х. Максимальное число мальчиков в классе 4х, а это 4/7 класса.

Метод «доказательство от «противного»»

Рассуждают примерно так: «Допустим, исходное утверждение неверно. Если из этого получим противоречие, то исходное утверждение верно».

Примеры.

1. Существует ли самое большое число?

Решение. Допустим, что существует. Тогда прибавим к этому числу единицу и получим ещё большее число. Противоречие. Значит, сделанное предположение неверно, и такого числа не существует.

2.Есть ли самое маленькое число?

Метод «чётно-нечётно»

Многие задачи легко решаются, если заметить, что некоторая величина имеет определённую чётность. Из этого следует, что ситуации, в которых данная величина имеет другую чётность, невозможны. Иногда эту величину надо «сконструировать», например, рассмотреть чётность суммы или произведения, разбить объекты на пары. Заметить чередование состояния, раскрасить объекты в два цвета и т.д.

Примеры.

1. Кузнечик прыгал вдоль прямой и вернулся в исходную точку (длина прыжка 1м). Докажите, что он сделал чётное число прыжков.

Решение. Поскольку кузнечик вернулся в исходную точку. Количество прыжков вправо равно количеству прыжков влево, поэтому общее количество прыжков чётно.

1. Докажите, что если в сумме, где все слагаемые нечётные, их численное количество чётно, то и сумма будет чётной и наоборот.

Обратный ход

Если в задаче задана некоторая операция, и она обратима, то можно сделать «обратный» ход от конечного результата к исходным данным. (Например, надо вынести шкаф из комнаты. Пройдёт ли он через дверь? Пройдёт, потому что через дверь его внесли). Анализ с конца используют при поиске выигрышных и проигрышных ситуаций.

Примеры.

Три мальчика делили 120 фантиков. Сначала Петя дал Ване и Толе столько фантиков, сколько у них было. Затем Ваня дал Толе и Пете столько, сколько у них стало. И, наконец, Толя дал Пете и Ване столько, сколько у них к этому времени имелось. В результате всем досталось поровну. Сколько было фантиков у каждого вначале?

Решение. Мы знаем, что в конце у всех оказалось по 40 фантиков. А перед этим у Пети и Вани было вдвое меньше. Значит, у Пети и Вани было вдвое меньше – по 20, а у Толи – 80. А перед этим у Пети и Толи было вдвое меньше, т.е. у Пети было 10, у Толи 40, у Вани – 70. И, наконец, возьмём половину фантиков у Вани и Толи и вернём Пете.

Ответ: у Пети было 65 фантиков, у Вани – 20, а у Толи – 35.

Метод таблиц

Примеры.

1. Барсук позвал к себе гостей:

Медведя, рысь и белку.

И подарили барсуку

Подсвечник и тарелку.

Когда же он позвал к себе

Рысь, белку, мышку, волка,

То он в подарок получил

Подсвечник и иголку.

Им были вновь приглашены

Волк, мышка и овечка.

И получил в подарок он

Иголку и колечко.

Он снова пригласил овцу,

Медведя, волка, белку.

И подарили барсуку

Колечко и тарелку.

Нам срочно нужен ваш совет.

(На миг дела отбросьте).

Хотим понять, какой предмет

Каким подарен гостем,

И кто из шестерых гостей

Явился без подарка?

Не можем мы сообразить,

Сидим… Мудрим… Запарка…

Решение. Составим таблицу 6Х4 и из первого четверостишия делаем

выводы:

1. медведь, рысь, белка не дарили иголку и колечко;

2. мышка, волк, овца не дарили подсвечник и тарелку.

Получаем таблицу:

Ответ виден из таблицы.

1. . Докажите, что любое число рублей можно уплатить, если покупатель и кассир имеют лишь трёхрублёвые и пятирублёвые купюры.

Решение. Составим таблицу, приведя в пример числа от 1 до 10.

Ответ виден из таблицы.

Метод граф

Большую помощь графы оказывают при решении логических задач. Представляя изучаемые объекты в наглядной форме, «графы» помогают держать в памяти многочисленные факты, содержащиеся в условии задачи, устанавливать связь между ними.

Графом называется любое множество точек, некоторые из которых соединены линиями или стрелками. Точки, изображающие элементы множества, называют вершинами графа, соединяющие их отрезки – рёбрами графа. Точки пересечения рёбер графа не являются его вершинами. Во избежание путаницы вершины графа часто изображают не точками, а маленькими кружочками. Рёбра иногда удобнее изображать не прямолинейными отрезками, а дугами.

Примеры.

1. В первенстве класса по теннису 6 участников: Андрей, Борис, Виктор, Галина, Дмитрий и Елена. Первенство проводилось по круговой системе: каждый из участников играет с каждым из остальных один раз. Некоторые игры уже проведены: Андрей сыграл с Борисом, Галиной и Еленой, Борис с Галиной, Виктор с Галиной, Дмитрием и Еленой. Сколько пар проведено и сколько ещё осталось?

Решение. Изобразим данные задачи в виде схемы. Участников будем изображать точками, Андрея – А, Бориса – Б и т.д.. Если двое участников уже сыграли между собой, то будем соединять их точки отрезками.

Б В

А Г

Е Д

Число игр, уже проведённых, равно числу рёбер, т.е.7.

Чтобы найти число игр, которые осталось провести, построим ещё один граф с теми же вершинами, но рёбрами будем соединять тех участников, которые ещё не играли друг с другом. (Если точки из одного множества соответствуют точкам из другого, будем соединять их сплошной линией, а если не соответствуют – пунктирной).

Б В

А

Г

Е Д

Рёбер у этого графа оказалось 8, значит, осталось провести 8 игр.

Метод кругов Эйлера

Этот метод даёт ещё более наглядное представление о возможном способе изображения условий, зависимости, отношений в логических задачах.

Один из величайших математиков петербургский академик Леонард Эйлер за свою долгую жизнь (он родился в 1707 г., а умер в 1783 г.) написал более 850 научных работ. В одной из них и появились эти круги. Эйлер писал тогда, что «они очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». Наряду с кругами в подобных задачах применяют прямоугольники и другие фигуры.

Примеры.

1. Часть жителей города умеет говорить только по-русски, часть – только по-узбекски и часть умеет говорить на обоих языках. По-узбекски говорят 85%, по-русски 75%. Сколько процентов жителей говорят на обоих языках?

Решение. Составим схему –

У ? Р

85% 75%

В кружке под буквой «У» обозначим жителей, говорящих по-узбекски, под буквой «Р» - по-русски. В общей части кружков обозначим жителей, говорящих на обоих языках. Теперь от всех жителей (100%) отнимем кружок «У» (85%), получим жителей, говорящих только по-русски (15%). А теперь от всех, говорящих по-русски (75%), отнимем эти 15%. Получим говорящих на обоих языках (60%).

1. Из 32 учащихся класса 12 – мальчики. Из них 8 занимаются футболом, 9 – баскетболом, 3 – плаванием. Сколько мальчиков занимаются тремя видами спорта?

Комбинированный метод

Метод, при котором задачу можно решить несколькими способами.

Пример. Имеются кубики из картона и из дерева, большие и маленькие,

красные и зелёные. Известно, что:

1. зелёных кубиков 16;

2. зелёных больших 6;

3. больших зелёных из картона 4;

4. красных из картона 8;

5. красных из дерева 9;

6. больших деревянных 7;

7. маленьких деревянных 11.

Сколько всего кубиков?

Решение. I. Сложив 1), 4), 5), получим 16 + 8 + 9 = 33

I I.Из рисунка получаем:

картон. красные деревянн.

4 2 5 большие

8 зелён

3 7 4 маленькие

Всего кубиков 2 + 3 + 4 + 7 + 8 + 5 + 4 = 33

Логические задачи являются очень эффективным и часто незаменимым средством усвоения учащимися понятий и методов школьного курса математики, вообще математических теорий. Велика роль логических задач в развитии мышления и в математическом воспитании учащихся, в формировании них умений и навыков в практических применениях математики. Решение логических задач хорошо служит достижению всех целей, которые ставятся перед обучением математики. Правильная методика обучения решению логических задач играет существенную роль в формировании высокого уровня математических знаний, умений и навыков.

Решение текстовых логических задач приучает выделять посылки и заключения, данные и искомые, находить общее, и особенно в данных, сопоставлять и противопоставлять факты. При решении логических задач воспитывается правильное мышление, и, прежде всего учащиеся приучаются к полноценной аргументации.

Решение текстовых логических задач и нахождение разных способов их решения на уроках математики способствует развитию у детей памяти, мышления, внимания, творческого воображения, наблюдательности, последовательности рассуждения и его доказательности; для развития умения кратко, четко и правильно излагать свои мысли.

Решение задач разными способами, получение из них новых, более сложных задач и их решение в сравнении с решением исходной задачи создает предпосылки для формирования у учеников умения находить свой «оригинальный» способ решения задачи, воспитывает стремление вести «самостоятельно поиск решения новой задачи», той, которая раньше ему не встречалась.

Исходя из практики, можно сделать вывод, что учащиеся умеют логически мыслить. Но в настоящее время в школах не достаточно времени уделяется для более полного обучения решению логических задач, они решаются лишь поверхностно

Логические задачи, предложенные в этой работе можно использовать как на уроках математики, так и на внеклассных занятиях учащихся 5-6 классов, подготовке к решению олимпиадных заданий.

Список литературы

1.Акири И.К. Логические упражнения на уроках математики. Тирасполь, 1991.

2.Википедия: http://ru. wikipedia. org/wiki/ Логика 6. http://wiki.iteach.ru/index.php/ Способы решения логических задач

3 Ведерникова, Т.Н., Иванов, О.А. Интеллектуальное развитие школьников на уроках математики. // Математика в школе. - 2002. - № 3.

4.Григорьева Г.И. Подготовка школьников к олимпиадам по математике: 5-6 классы. Методическое пособие / авт.-сост. Г.И.Григорьева. - М.: Издательство «Глобус», 2009.-152с Просвещение, 2012.

5 Дорофеев Г.В.,Суворова С.Б.,Бунимович Е.А. и др. – М.:Просвещение, 2014.- 287 с.

6. Успенский В.А., Верещагин Н.К., Плиско В.Е. Вводный курс математической логики. 2-е изд. – М.: Физматлит, 2002. – 128 с.

7. Шарыгин И.Ф., Шевкин А.В. Математика: Задачи на смекалку: Учеб.пособие для 5-6 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 1996.

8. http://pandia.ru/text/78/119/15737.phpЯгудин И. Р. Реферат «Решение логических задач»

9.Чесноков А.С., Шварцбург Г.И. и др. Внеклассная работа по математике в 4 – 5 классах.

10.Шевкин, Л.Н. и др. Математика: учебник - собеседник для 5 классов средней школы. - М.: Просвещение, 1994.

11Шевченко, В.Е. Логические задачи. - К., 1979

12 Шейнина О.С., Соловьева Г.М. Математика. Занятия школьного кружка. 5-6 кл.-М.: Издательство НЦ ЭНАС, 2002.-208с.-(Портфель учителя)