Методы решения иррациональных уравнений

Методы решения иррациональных уравнений. 10 класс.

Решение уравнений с помощью исследования ОДЗ.

Решим иррациональное уравнение стандартным методом, избавимся от иррациональности и затем выполнить проверку. Такой способ ведет к громоздким вычислениям, к решению рациональных уравнений четвертой, шестой степени, которые решить очень сложно. При решении некоторых уравнений знание ОДЗ уравнения и применение некоторых оценок позволяет найти все его корни или доказать, что их нет. Такой подход будет более рациональным.

1. Решите уравнение: 

1 способ:

Рассмотрим область определения функций:

х-5=2х-3

х=-2, но -2 не входит в область определения функций, следовательно, решений нет.

Ответ: решений нет.

2 способ:

х-5=2х-3

х=-2

Проверка:

Значит, х=-2- посторонний корень

Ответ: решений нет

2. Решить уравнение:

- = -

Решение:

- возведя в квадрат обе части уравнения, мы избавиться от иррациональности

11х+3-2 +2-х=9х+7-2 +х-2

- приведем подобные слагаемые

10х+5-2 =10х+5-2

= .

После возведения в квадрат обеих частей уравнения и приведя подобные слагаемые

мы получим стандартное квадратное уравнение

20х²-30х-20=0, сокращая уравнение, будет иметь вид:

2х²-3х-2=0, а его корни будут равны:

х₁= , х₁=2 х_{2= ,} х₂=-0,5

Полученные корни необходимо проверить, т.к. при возведении в квадрат, возможно

приобретение посторонних корней.

Проверка:

х=2, - =5, - =5, 5=5 х=2 корень данного уравнения

х=-0,5 , - = - х=-0,5-посторонний корень.

Ответ: х=2

Однако, сравнив области определения функций у= , (х-2 0, х 2) и у= , (2-х , приходим к выводу, что область определения исходного уравнения:

х=2.

Подставив х=2 в данное уравнение, приходим к выводу, что х=2 единственный

корень этого уравнения.

Ответ: х=2.

Очевидно, что решать данное уравнение вторым способом удобнее и быстрее чем первым.

Решение уравнений с помощью уединения радикала

3. Решить уравнение - = 3.

Решение.

 Уединив первый радикал, получаем уравнение
= + 3, равносильное исходному

.

  Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получаем уравнение

  x² + 5x + 2 = x² - 3x + 3 + 6 , равносильное уравнению

  4x - 5 = 3 (*).

Это уравнение является следствием исходного уравнения. Возводя обе части уравнения  в квадрат, приходим к уравнению

16x² - 40x + 25 = 9(x² - Зх + 3), или

 7x² - 13x - 2 = 0.

    Это уравнение является следствием уравнения (*) (а значит, и исходного уравнения) и имеет корни. Первый корень x₁ = 2 удовлетворяет исходному уравнению, а второй x₂ = - не удовлетворяет.

 Ответ: x = 2.

  Заметим, что если бы мы сразу, не уединив один из радикалов, возводили обе части исходного уравнения в квадрат нам бы пришлось выполнить довольно громоздкие преобразования.

Метода замены неизвестного (метод введения вспомогательной переменной).

4. Решить уравнение 2x² - 6x + + 2 = 0.

 Решение.

  Введем вспомогательную переменную. Пусть y = , где y 0, тогда получим уравнение 2y² + y - 10 = 0;
y₁ = 2; y₂ = - .

Второй корень не удовлетворяет условию y 0.

Возвращаемся к x:

= 2;
x² - 3x + 6 = 4;
x² -3x + 2 = 0;
x₁ = 1; x₂ = 2.

Проверкой устанавливаем, что оба корня являются корнями исходного уравнения.

Ответ: x₁ = 1; x₂ = 2.

Решение уравнений с использованием множества значений.

При решении некоторых уравнений нахождение множества значений существенно облегчает задачу решения уравнения.

.

5. Решить уравнение:

Решение: найдем область определения данного уравнения:

Оценим правую и левую части уравнений: т.е. , а .

Левая часть уравнения больше правой части, значит, данное уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней.

Использование эквивалентности при решении уравнений.

При решении уравнений вида f(f(x)) = x применима теорема: «если у=f(х) – монотонно возрастающая функция, то уравнения f(x)=x и f(f(x))=x эквивалентны».

6. Решить уравнение

Решение: перенесем 1 влево, и уравнение будет иметь вид: Рассмотрим функцию f(x)=1+ , эта функция монотонно возрастает. Имеем уравнение f(f(x))=x.

В соответствии с теоремой заменяем его эквивалентным уравнением f(x)=x или . Пусть .

Имеем у²-у-1=0,

у_1,2= ; у₁= , у₂= - не удовлетворяет условию .

, , х= .

Ответ: х= .

Литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.