Методическая разработка по теме: « Задачи на смеси и сплавы»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Ныртинская средняя школа»

Методическая разработка по теме:

« Задачи на смеси и сплавы»

Разработала:

Бикмухаметова Голниса Рифатовна

учитель математики высшей квалификационной категории

Нырты 2016 г.

Арифметический способ решения задач на смеси и сплавы » Данная тема отсутствует в учебнике «Алгебра 9». На экзамене в 9 классе и в 11 классе проверяют умение решать задачи на смеси и сплавы. Я приняла решение, что в конце учебного года целесообразно разобрать данные задачи. Чтобы данный материал был хорошо усвоен учащимися, накануне были проведены обобщающие уроки повторения по темам: проценты, нахождение части от числа, нахождение числа по его части. Цели: проверить умение рассуждать и решать задачи на дроби и проценты, составлять по задаче уравнения и решать его, научить решать задачи на смеси и сплавы арифметическим способом. I. Организационный момент.

Задачи, которые мы будем решать, относятся к традиционным задачам математики. Они охватывают большой круг ситуаций: смешение товаров разной цены, жидкостей с различным содержанием соли, кислот разной концентрации, сплавление металлов с различным содержанием некоторого металла. Когда-то они имели исключительно практическое значение. В настоящее время эти задачи часто встречаются в тестах на выпускных экзаменах и на вступительных экзаменах в вузы.

Мы рассмотрим задачи на смешение, которые можно решить не только алгебраически, то есть с помощью уравнения, но и арифметическим способом.

Для успешной работы нам понадобится повторить основные понятия этой темы.

1. Концентрация вещества в смеси – это часть, которую составляет масса вещества в смеси от массы смеси. Нахождение части от целого. В химии вы называли эту величину массовой долей вещества.

Концентрация вещества может быть указана и числом и %.

2. Объясните значение высказываний:

а) Концентрация раствора 3 %;

(В 100 г раствора содержится 3 г вещества).

в) Молоко имеет 1,5 % жирности;

(В100 г молока содержится 1,5 г жира).

с) золотое кольцо имеет 583 пробу?

(В1 г кольца содержит 583 миллиграмма золота).

Сколько сахара содержится в 200 г 10%- го сахарного сиропа?

Теперь давайте попробуем решить устно несколько задач.

3. К одной части сахара прибавили 4 части воды. Какова концентрация полученного раствора?

(1: 5 ·100 = 20 %)

4. Килограмм соли растворили в 9 л воды. Какова концентрация раствора?

(1 : 10 ·100 = 10%)

III. Решение задач

Конечно, вы понимаете, что не все задачи можно решить устно. Следующую задачу мы решим с вами с помощью уравнения.

№1. В каких пропорциях нужно смешать раствор 50 % и 70 % кислоты, чтобы получить раствор 65 % кислоты?

Для решения задачи я попрошу вас заполнить таблицу, которая находится у вас на столе.

	Концентрация	Масса раствора ( г )	Масса кислоты ( г )
I раствор
IIраствор
смесь

Заполняем 1-й столбик. Здесь мы указываем концентрацию растворов.

Заполняем 2-й столбик. Здесь мы указываем массу каждого раствора. Предположим, что первого раствора нужно взять х г, а второго у г. Считаем, что при смешении нет потерь массы, то есть масса смеси равна сумме масс смешиваемых растворов.

Тогда масса смеси будет (х + у) г.

Теперь заполним 3-й столбик. Найдем количество чистой кислоты в 1-ом растворе. Это 0,5х г, во втором растворе 0,7у г, а в смеси будет 0,65(х + у) г кислоты.

По условию задачи составим и решим уравнение.

0,65 (х + у) = 0,5 х + 0,7 у,

65 х – 50 х = 70 у – 65 у,

15 х = 5 у,

3 х = 1 у,

х : у = 1 : 3.

Нужно взять: 1 часть раствора 50% кислоты и 3 части раствора 70% кислоты

Ответ: 50% раствора кислоты -1 часть, 70% раствора кислоты - 3 части.

А теперь я хочу предложить вам схему решения этой задачи арифметическим методом, который позволяет решить ее практически устно. Запишем концентрацию каждого раствора кислоты и концентрацию смеси так:

Вычислим, на сколько концентрация первого раствора кислоты меньше, чем концентрация смеси и на сколько концентрация второго раствора кислоты больше, чем концентрация смеси и запишем результат по линиям:

Таким образом, 5 частей нужно взять 50% раствора кислоты и 15 частей 70% раствора кислоты, то есть отношение взятых частей . Окончательно получаем: 50% раствора кислоты-1 часть, 70% раствора кислоты-3 части. Сравните полученные результаты. Делаем вывод: получили один и тот же ответ, но времени затратили гораздо меньше.

Вовсе не случайно в старые времена отношение масс смешиваемых вещей находили таким образом. Но вряд ли все ученики, получавшие правильные ответы описанным способом, понимали тогда смысл выполняемых действий.
Докажем справедливость этого способа.

В каких пропорциях нужно смешать растворы а % и b % кислот, чтобы получить раствор с % кислоты?

Заполним вторую таблицу.

	Концентрация	Масса раствора (г)	Масса кислоты (г)
I раствор
II раствор
смесь

Заполняем 1-й столбик. Здесь мы указываем концентрацию растворов.

Заполняем 2-й столбик. Здесь мы указываем массу каждого раствора. Предположим, что первого раствора нужно взять х г, а второго у г. Считаем, что при смешении нет потерь массы, то есть масса смеси равна сумме масс смешиваемых растворов.
Тогда масса смеси будет (х + у) г.

Теперь заполним 3-й столбик. Найдем количество чистой кислоты в 1-м растворе. Это 0,01·ах г, во втором растворе 0,01·bу г, а в смеси будет 0,01·c(х + у) г кислоты.

Составим и решим уравнение

0,01·c(х + у) = 0,01·ах + 0,01·bу,

cx +cy = ax + by

х(с – а) = у(b – c),

Заполним схему, учитывая, что а

Теперь понятно, почему эта схема давала правильные результаты.

Давайте применим этот способ для решения задач.

№2. В каких пропорциях нужно сплавить золото 375 пробы с золотом 750 пробы, чтобы получить золото 500 пробы?

И так составляем схему.

Чтобы получить золото 500 пробы нужно взять: 2 части золота 375 пробы и 1 часть золота750 пробы.

Решим следующую задачу.

№3. Морская вода содержит 5 % соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5 %?

Нужно взять 7 частей пресной воды и 3 части морской воды. По условию нам известно, что морской воды 30 кг и это 3 части нового раствора. Значит, на одну часть приходится 10 кг. Следовательно, 7частей пресной воды – это 70 кг.

Ответ: нужно добавить 70 кг пресной воды.

Следующие задачи решить удобным для вас способом.

№4. Имеется два сплава с разным содержанием меди. В первом сплаве содержится 40%, а во втором – 70% меди. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы из них получить новый сплав, содержащий 60% меди?

Решение: пусть X – масса сплава, 40% содержанием меди, Y – масса сплава с 60% содержанием меди. 0,4X – масса меди в первом сплаве, 0,7Y – масса меди во втором сплаве, 0,6(X +Y) – масса меди в новом сплаве. Составим уравнение: 0,4X+0,7Y=0,6(X +Y). Решив уравнение, имеем, что X: Y=1:2.

Ответ: необходимо взять одну часть 40% сплава и две части 70% сплава.

№5. В куске сплава меди и цинка количество меди увеличили на 40%, а количество цинка уменьшила на 40%. В результате общая масса куска сплава увеличилась на 20%. Определите процентное содержание меди и цинка в первоначальном куске сплава.

Решение: пусть X – масса меди в сплаве, Y – масса цинка в сплаве. Если количество меди увеличить на 40%, то масса меди составит 1,4 X, если уменьшить на 40% количество цинка, то масса цинка составит 0,6 Y. Масса всего куска увеличится на 20%, а значит будет составлять 1,2(X +Y). Составим уравнение: 1,4 X+0,6 Y=1,2(X +Y). Решив уравнение, имеем:

X: Y=3:1. Процентное содержание меди: 0,75=75%, цинка 0,25=25%.

Ответ: 75% меди и 25% цинка в сплаве.

№6. Смешали 30%-ный и 50%-ный раствор азотной кислоты и получили 45%-ный раствор. Найдите отношение массы 30% раствора к массе 50% раствора.

Решение: пусть X – масса 30% раствора азотной кислоты, Y – масса 50% раствора азотной кислоты. 0,3X – масса азота в первом растворе, 0,5Y – масса азота во втором растворе, 0,45(X +Y) – масса азота в новом растворе. Составим уравнение: 0,3X+0,5Y=0,45(X +Y). Решив уравнение, имеем, что X: Y=1:3.

Ответ: необходимо смешать одну часть 30% раствора и три части 50% раствора.

№7. Соединили два сплава с содержанием меди 40% и 60% и получили сплав, содержащий 45% меди. Найдите отношение массы сплава с 40% содержанием меди к массе сплава с 60% содержанием меди.

Решение: пусть X – масса сплава, 40% содержанием меди, Y – масса сплава с 60% содержанием меди. 0,4X – масса меди в первом сплаве, 0,6Y – масса меди во втором сплаве, 0,45(X +Y) – масса меди в новом сплаве. Составим уравнение: 0,4X+0,6Y=0,45(X +Y). Решив уравнение, имеем, что X: Y=3:1.

Ответ: необходимо взять три части 40% сплава и одну часть 60% сплава.

IV. Самостоятельная работа.

(решить арифметическим способом задачи)

1. Сколько граммов 75% - ного раствора кислоты надо добавить к 30 г 15%-ного раствора кислоты, чтобы получить 50%- ный раствор кислоты?

2. При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 20%, и второго раствора этой же кислоты, концентрация которого 50%, получили раствор, содержащий 30% кислоты. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?

3.Сколько граммов воды надо добавить к 180 г сиропа, содержащего 25% сахара, чтобы получить сироп, концентрация которого равна 20%?

4. Имеется кусок сплава цинка с железом общей массой 24 кг, содержащий 20% цинка. Сколько килограммов чистого железа надо добавить к этому куску сплава, чтобы получившийся сплав содержал 15% цинка?

Подведем итог занятия. Сегодня мы познакомились с алгебраическим способом решения задач на смешение. Конечно, не все задачи можно решить этим способом, но я думаю, что вам интересно было познакомиться с ним. Дома еще раз осмыслить способ решения, и я думаю, что на уроках в 9 классе при подготовке к итоговой аттестации вы успешно примените этот способ.

Самостоятельная работа в конце занятия показала, что тему учащиеся поняли хорошо, научились арифметически решать задачи на смеси и сплавы. В дальнейшем (в 9 классе) планирую разобрать другие виды задач и способы их решения: применение линейных уравнений, применение систем линейных уравнений.

Литература:

1. ЕГЭ, Математика: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов /под. ред.И.В. Ященко. – М: Издательство «Национальное образование», 2015. 272с.- (ЕГЭ. ФИПИ – школе)

2. ОГЭ, Математика: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов /под. ред.И.В. Ященко. – М: Издательство «Национальное образование», 2015. 224с.- (ОГЭ. ФИПИ – школе)

3. ЕГЭ 2010. Математика: репетитор /В.В.Кочагин, М.Н.Кочагина. -.М:, Эксмо,2009, - 320с. – (ЕГЭ. Репетитор)

8