Методическая разработка урока "Показательные уравнения" 11 класс

ОГАОУ «Белгородский инженерный юношеский лицей-интернат»

Открытый урок

по алгебре и началам математического анализа.

Учитель: Тратникова Е. П.

Класс: 11 Е

г. Белгород

2015 г.

План-конспект

урока разноуровневого обобщающего повторения по алгебре

и началам анализа

в 11 Е классе по теме «Показательные уравнения»

Цель: систематизировать знания о способах решения показательных уравнений, подготовить учащихся к сдаче ЕГЭ.

Оборудование: картотеки, КИМы, ЕГЭ, таблицы по темам «Показательная функция», «Показательные уравнения».

Урок разработан для учащихся 11 класса. В классе 26 учеников.

По результатам предыдущих диагностических контрольных работ выявлено, что 5 учеников класса справляются с заданиями на эту тему от 80% до 100%.

15 учеников справляются с такими заданиями от 50% до 80%.

6 учеников справились с заданиями на указанную тему менее чем на 50%.

Перед началом урока учащиеся рассаживаются в соответствии с тремя уровнями подготовки на определенные ряды. При этом учащиеся знают, что по мере усвоения материала они могут переходить в следующие по уровню подготовки группу.

Ход урока.

1. Организационный момент (1 минута).

Комментарий учителя: во всех вариантах тестов ЕГЭ имеются задания с использованием показательных функций, неравенств, уравнений и систем уравнений. Сегодня мы восстановим представление о смысле понятия «показательное уравнение», систематизируем алгоритмы решения показательных уравнений. Все показательные уравнения, какой бы степени сложности они ни были, решаются по единым алгоритмам. Их всего пять. Рассмотрим и решим на уроке показательные уравнения в заданиях разного типа: с выбором ответа, с кратким ответом и с подробным решением. При этом надо помнить о теоремах равносильности. Ведь основная идея решения уравнений – идея равносильности уравнений.

1. Устные упражнения (3 минуты).

1. На одном из рисунков изображен график функции _. Укажите этот рисунок.

1. Найти множество значений функции:

а) ; б)

1. Упростить выражения:

а) 2^х·2^3,5 ; б) ; в) ; г) 2^х·3^х

1. Решить уравнения:

а) 2^х = 4 ; б) 5^х = 1 ; в) π^х = 0 ; г) 9^х = -81 ; д) 2^х = х+1

1. Выяснить, сколько корней имеет уравнение?

16^|х| = 4

1. Воспроизведение и коррекция опорных знаний (14 минут).

Ученики записывают в тетрадях тему «Способы (алгоритмы) решения показательных уравнений». Общеклассная работа – разбор заданий у доски. Работа идет фронтально. Ученики называют каждый способ, записывают его название и совместно с учителем решают соответствующие уравнения, условия которых записаны заранее на доске.

I. Уравнивание оснований:

а^х = а^у

х = у

1) Задание с выбором ответа.

Указать промежуток, которому принадлежит корень уравнения:

а) (0;1) ; б) (1;2) ; в) (2;3) ; г) (3;4)

2) Решить уравнение:

81·2^х - 16·3^х = 0 ;

3⁴·2^х = 3^х·2⁴ ;

;

х = 4.

Ответ: 4.

II. Логарифмирование обеих частей уравнения.

a^х = b

х = log_ab (b0, a0, a≠1)

Пример. Решить уравнение:

5^х-8 = 9

х-8 = log₅9

х = 8+ log₅9

Ответ: 8+ log₅9

III. Вынесение общего множителя за скобки.

Примеры. Решить уравнения:

1. 2^х + 2^х-1 + 2^х-2 = 5^х + 5^х-1 + 5^х-2

2^х-2(2² + 2 + 1) = 5^х-2(5² + 5 + 1)

2^х-2·7 = 5^х-2·31

x - 2 = _

х = 2 + _

Ответ: 2 + _

IV. Введение вспомогательной переменной

(задания с кратким ответом и с развернутым ответом)

1. Записать корень уравнения или сумму корней: 5^2х - 4·5^х – 5 = 0.

Пусть 5^х = t (t0), тогда уравнение примет вид:

t² – 4t – 5 = 0

t₁ = 5 ; t₂ = -1 – посторонний корень, так как t0.

Вернемся к переменной «х»: 5^х = 5 ; х = 1.

Ответ: 1

1. 0,5 ·4⁺² - 35·2+12=0

Преобразим уравнение: 0,5 ·2^{2(+ 2)} – 35 · 2+12 = 0

1. 0,5 · 2²· 2⁴ – 35 · 2 + 12 = 0

Введем замену: 2= t, (t 0).

8 t² – 35 t + 12 = 0

Вычислим корни при помощи дискриминанта, получим t₁ = 4; t₂ =

Вернемся к замене:

1) 2= 4 2) 2=

2= 2² Прологарифмируем эти части уравнения при

= 2 основании 2:

х = 4 = log₂

т.к. log₂

основании 2 значение логарифма для чисел, меньших единицы, будет отрицательным), то уравнение решений не имеет.

Ответ: 4.

V. Функционально-графический метод.

1. Решить уравнение: 2^х = _ (ответ: корней нет)

б) 2^х+1 = _ (ответ: х = 1)

в) 3^х + 4^х = 5^х (ответ: х = 1)

4. Применение обобщенных знаний. Самостоятельная работа (разноуровневые варианты) (15 минут).

Учитель раздает учащимся бланки для ответов на которых указаны номера вариантов. При составлении вариантов используется сборник «Тестовые задания по алгебре и началам анализа» под редакцией Семенко Е.А. («Просвещение – ЮГ», Краснодар, 2005г.), «Тематические тесты для подготовки к ЕГЭ по математике» под редакцией Шамшина В.М. («Феникс», Ростов-на-Дону, 2004г.), различные задания из КИМов ЕГЭ 2002-2006гг.

Образцы вариантов.

Базовый уровень (6 вариантов).

Эти задания выполняют учащиеся низкого и среднего уровней. Во время выполнения работы, учитель, если необходимо, помогает учащимся низкого уровня при решении примеров наводящими вопросами.

1. Решить уравнение: 3^3х+4 = _

2. Решить уравнение: 32^х-1 = _

3. Найти корни уравнения: 49^х·7^4-х = _

4. Найти меньший корень уравнения: _

1) -1 2) - 3) 1 4)

1. Найти наибольший корень уравнения: _

1. 0 2) 2 3) -2 4) 1

6) Найти значение выражения: (х₁ – х₂)², где х₁ и х₂ – корни уравнения

1. Найти сумму корней уравнения:

49·7^2х - 50·7^х +1 = 0

1) 1 2) 2 3) -2 4) 50

Повышенный уровень (6 вариантов).

Учащиеся этой группы должны представить краткий ответ на первые пять задач и развернутое решение последней задачи.

1. Найти корень уравнения: 36^-8·6^х = 1

2. Найти абсциссу точки пересечения графиков функций:

y = _ и y = _

1. Найти значение выражения: 7х₀ + 4, где х₀ – корень уравнения

8·64^х + 15·8^х – 2 = 0

1. Решить уравнение: 10^х – 5^х-1·2^х-2 = 950

2. Найти произведение корней уравнения:

1. Решить уравнение: _

Во время самостоятельной работы учитель берет по одному, наиболее подготовленному ученику, из первой и из второй группы и предлагает выполнить им подобные варианты заданий на доске по карточкам.

По истечению времени учащиеся сдают работы.

5. Обсуждение решений задач представленных на доске (6 минут).

Учащиеся выполнявшие задания у доски, комментируют свои решения, а остальные вносят, при необходимости коррективы.

6. Сообщение домашнего задания. Подведение итогов урока (2 минуты).

Для домашнего задания предлагается тест, цель которого – закрепить умения и навыки решать показательные уравнения. Прокомментировать некоторые задания (4, 9, 10).

1. Решить уравнение: 2^х-1 + 2^х+1 = 20

2. Найти произведение корней уравнения: _

3. _

4. Сколько корней имеет уравнение: _

5. 5^2х + 4·5^х – 5 = 0

6. 2^3х·5^х = 1600

7. 2^9х+9·3^7х+3·5^6х = 720^х+3

8. _

9. Решить систему уравнений: _

10. _

Проверку этого теста можно провести перед следующим уроком по листам самопроверки, разобрав на доске наиболее трудные задания (по просьбе учащихся).

Учитель еще раз обращает внимание на те типы показательных уравнений, которые разбирались на уроке.

Разбор заданий (д/з)

1. 2^х-1 + 2^х+1 = 20

2^х-1(1 + 2²) = 20

2^х-1 = 4

x – 1 = 2

x = 3

Ответ: 3.

1. _ ОДЗ: х_R

_ или 2х – 7 = 0

_ х = 3,5

_

_

_

Ответ: -4; 3,5; 4.

1. _

Корней нет, так как _ при любых х

1. _ ОДЗ: 4 – х² ≥ 0

_ = 0 х² – 4 ≤ 0

cos х + 0 или 4 – х² = 0 (х – 2)(х + 2) ≤ 0

x = _ х = ±2 х _

-2 ≤ _ ≤ 2, _

-2_{ } ≤ _

_ ≤ n ≤ _, _

_

Итак, уравнение имеет 4 корня.

1. 5^2х + 4·5^х – 5 = 0

5^х = -5 или 5^х = 1

Корней нет, т.к. 5^х0 х = 0

Ответ: х = 0.

1. 2^3х·5^х = 1600

8^х·5^х = 1600

40^х = 40²

x = 2

Ответ: 2.

1. 2^9х+9·3^7х+3·5^6х = 720^х+3

2^9х+9·3^7х+3·5^6х = _

5х – 3 = 0

5х = 3

x = 0,6

Ответ: 0,6.

1. _

Очевидно, что 3^х – 4 ≥ 0

|3^х – 4| + _ = _

3^х – 4 + _ = _

x = log₃6

Ответ: log₃6.

1. _

Пусть 3^х = a, 3^y = b, причем a 0, b 0

Система уравнений примет вид:

Вернемся к переменным «х» и «y»:

Ответ: (3;0); (0;3).

1. _

Заметим, что _

Пусть _, тогда _причем t 0

Уравнение примет вид:

_

_

t = 1

Вернемся к переменной «х»:

_

x = 0

Ответ: 0.

На ИГЗ с группой более подготовленных учащихся разобрать задания повышенного уровня.

1. Найти абсциссы точек пересечения графиков функций:

1. Решить уравнение: 4·4^х + (4х – 13)·2^х + 3 – х = 0

2. Найти все значения параметра а, при которых уравнение: 4^х - а·2^х+1 – 3а² + 4а = 0 имеет единственный корень.

Разбор заданий на ИГЗ

1. _

Чтобы найти абсциссы точек пересечения графиков функций, решим систему уравнений:

_

_

Пусть 2^х = t (t 0), получим уравнение:

_{ }

3|t – 2| = - t² + 6t – 2 t² – 6t + 2 ≤ 0

1. T ≥ 2, 3t – 6 = - t² + 6t – 2

t² – 3t – 4 = 0

t₁ = 4, t₂ = -1 - посторонний корень

Вернемся к переменной «х»:

2^х = 4

x = 2

1. tT ² + 6t – 2

t² – 9t + 8 = 0

t₁ = 1; t₂ = 8 - посторонний корень

Вернемся к переменной «х»:

2^х = 1

x = 0

Ответ: 0 и 2.

1. 4·4^х + (4х – 13)·2^х + 3 – х = 0

Сделаем замену: 2^х = t (t 0)

Получим уравнение:

4t² + (4х – 13)t + 3 – х = 0, в котором переменную «х» будем считать параметром. Решим это квадратное уравнение:

D = (4х – 13)² - 4·4·(3 – х) = 16х² – 88х + 121 = (4х – 11)²

Вернемся к переменной «х»:

1. 2^х = _

x = -2.

1. 2^х = 3 – х

В левой части возрастающая функция, а в правой – убывающая, значит, уравнение имеет не более одного корня. Легко увидеть, что х = 1.

Ответ: -2; 1.

1. 4^х - а·2^х+1 – 3а² + 4а = 0

Пусть 2^х = t (t 0), получим уравнение:

t² – 2at – 3a² + 4a = 0

_

Если _то уравнение не имеет действительных корней.

Если _, то уравнение имеет 1 корень. Это возможно при a = 0 или

a = 1. При а = 0 t = 0, но это противоречит условию t 0. При а = 1

(t – 1)² = 0, t = 1 – удовлетворяет условию задачи.

Если _, то уравнение имеет единственный положительный корень, если:

1. корни разных знаков;

2. если один корень положительный, а другой равен нулю.

Если x₁ = 0, то -3а² + 4а = 0; а = 0 или а = _

При а = 0 нет выполнения условия. Рассмотрим а = _, t = _.

Наконец, если корни разных знаков, то

_

_

Ответ: а a = 1, a ≥ 1_ .