Методика обучения решению текстовых задач экономического содержания.

ХII Региональная научно-практическая конференция

«Колмогоровские чтения – 2016»

Секция: Математика и дидактика математики

Название доклада: Методика обучения решению текстовых задач экономического содержания.

Охват Любовь Петровна

МБОУ «СОШ №1 им. Героя Советского Союза П. В. Масленникова ст. Архонская»

Задачи №17 в контрольно – измерительных материалах единого государственного экзамена по математике — это текстовые задачи экономического содержания с усиленной практической составляющей условия, которые появились в прошлом году. На сегодняшний момент типы задач стали разнообразнее и сложнее. Данные задачи можно разделить на два типа.

1. Задачи, использующие дискретные модели: проценты, кредиты, вклады, вклады с пополнением и др.

2. Задачи, использующие непрерывные модели: производство, объемы выпускаемой продукции, протяженные во времени, и др.

При решении данных задач требуются построить математическую модель, ввести переменные, решить составленные уравнения или системы уравнений. В своей работе рассмотрю задачи, в которых, составленная модель представляет собой некоторую функцию и её необходимо исследовать, например, найти её наибольшее или наименьшее значение. Для решения данного типа задач предлагаю следующую пошаговую инструкцию.

Шаг 1. Вводим переменные.

Шаг 2. Составляем функцию нескольких переменных.

Шаг 3. По возможности, выражаем одну переменную через другую или находим числовое значение некоторых переменных.

Шаг 4. Подставляем новые данные в исходную функцию.

Шаг 5. Исследуем получившуюся функцию.

Шаг 6. При необходимости находим наибольшее (наименьшее) значение функции.

Применим данную инструкцию для решения нескольких задач второго типа.

Задача №1 (вариант 1) В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 1 кг алюминия или 3 кг никеля. Во второй шахте имеется 300 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 3 кг алюминия или 1 кг никеля. Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на два кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод? [1]

Решение.

Шаг 1. Пусть в первой шахте n человек, а во второй - m человек добывают никель. Тогда алюминий добывают (100 – n) человек в первой шахте и (300 – m) человек во второй шахте.

Шаг 2. По условию задачи составим функцию двух переменных

S = S(n; m) = 3∙5∙n+1∙5∙m+1∙5∙(100 – n)+ 3∙5∙(300 – m) = 10n-10m+5000.

Шаг 3. Так как для производства сплава на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля, то имеем

1∙5∙(100 – n)+ 3∙5∙(300 – m) = 2∙(3∙5∙n+1∙5∙m). Получим, что m = 200 - n.

Шаг 4. S = 10n-10(200 - n)+5000=24n+3000.

Шаг 5. S(n) – линейная функция, возрастает на всей области определения [0;100]. Значит, наибольшее значение достигается при n=100.

Шаг 6. S = 24∙100+3000=5400.

Ответ: 5400 кг.

Задача №2. (вариант 19) В двух областях есть по 90 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х² человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется у² человеко-часов труда. Для нужд промышленности можно использовать или алюминий или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно? [1]

Решение.

Шаг 1. Пусть в первой области n человек добывают алюминий. Тогда никель добывают (90 – n) человек.

Шаг 2. По условию задачи составим функцию трёх переменных

S= S(n; х; у) = 0,3∙5∙n + 0,1∙5∙(90 – n)+ х + у = n + 45 + х + у.

Шаг 3. Так как для производства сплава на 1 кг алюминия приходится 1 кг никеля и х² + у² = 90∙5 , то имеем х = у = 15.

Шаг 4. S = n + 45 + х + у = n + 45 + 30 = n+75.

Шаг 5. S(n) – линейная функция, возрастает на всей области определения [0;90]. Значит, наибольшее значение достигается при n=90.

Шаг 6. S = 90+75=165.

Ответ: 165 кг.

Задача №3 (вариант 4) Предприниматель купил здание и собирается открыть в нём отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 21 квадратных метров и номера «люкс» площадью 49 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 1099 квадратных метров. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс» - 4500 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своём отеле предприниматель? [1]

Решение.

Шаг 1. Пусть будет n стандартных номеров и m номеров «люкс».

Шаг 2. По условию задачи составим функцию двух переменных

S = S(n; m) = n∙2000 + m∙4500.

Шаг 3. Так как общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 1099 квадратных метров, то n ∙ 21 + m ∙ 49 = 1099. Отсюда n = , где m N, n N.

Шаг 4. S = n∙2000 + m∙4500 = ∙2000 + m∙4500 = + .

Шаг 5. S(m) – линейная функция, убывает на всей области определения. Значит, наибольшее значение достигается при наименьшем значении m=1.

Шаг 6. S = = 104500.

Ответ: 104500 р.

Задача №4. (вариант 20) У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором – 200 ц/га. Урожайность свеклы на первом поле составляет 200 ц/га, а на втором – 300 ц/га. Фермер может продавать картофель по цене 10000 руб. за центнер, а свеклу – по цене 13000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер? [1]

Решение.

Шаг 1. Пусть на первом поле под картофель отведено а гектар, а на втором – в гектар. Тогда под свеклу на пером поле (10 – а) гектар, а на втором (10 – в) гектар.

Шаг 2. По условию задачи составим функцию двух переменных

S (а; в) = 300∙а∙10000 + 200∙в∙10000 + 200∙(10 – а)∙13000 + 300∙(10 – в)∙13000 = 40000∙а - 1900000∙в + 65000000.

Шаг 3. Из условия известно только то, что а [0; 10] и в [0; 10].

Шаг 4. –

Шаг 5. Наибольшее значение функция S (а; в) примет при максимальном а и минимальном в.

Шаг 6. S (а; в) = 40000∙а - 1900000∙в + 65000000 = 40000∙10 - 1900000∙0 + 65000000 = 69000000.

Ответ: 69000000 р.

Задача №5. (№ 510075) Вла­ди­мир яв­ля­ет­ся вла­дель­цем двух за­во­дов в ра­зных го­ро­дах. На за­во­дах про­из­во­дят­ся аб­со­лют­но оди­на­ко­вые то­ва­ры, но на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, ис­поль­зу­ет­ся более со­вер­шен­ное обо­ру­до­ва­ние. В ре­зуль­та­те, если ра­бочие на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном в пер­вом го­ро­де, трудят­ся сум­мар­но t ² часов в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­во­дят 2t еди­ниц то­ва­ра; если ра­бо­чие на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, тру­дят­ся сум­мар­но t ² часов в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­во­дят 5t еди­ниц то­ва­ра. За каж­дый час ра­бо­ты (на каж­дом из за­во­дов) Вла­ди­мир пла­тит ра­бо­че­му 500 руб­лей. Вла­ди­ми­ру нужно каж­дую не­де­лю про­из­во­дить 580 еди­ниц то­ва­ра. Какую наи­мень­шую сумму при­дет­ся тра­тить еже­не­дель­но на опла­ту труда ра­бо­чих? [2]

Решение.

Шаг 1. Пусть на первом заводе рабочие трудятся n² часов, а на втором – m² часов. Тогда на первом заводе производят 2n единиц товара, а на втором – 5m единиц товара.

Шаг 2. По условию задачи составим функцию двух переменных

S = S(n; m) = n²∙500 + m²∙500.

Шаг 3. Так как по условию задачи 2n + 5m = 580, то n = 290 - .

Шаг 4. S = n²∙500 + m²∙500 = (290 - )²∙500 + m²∙500 = 500∙(290² - 5∙290m + m²).

Шаг 5. Функция S(n) – квадратичная и принимает наименьшее значение

при n = = 100.

Шаг 6. S = 500∙(290² - 5∙290m + m²) = 500∙(290² - 5∙290∙100 + ∙ 100²) = 5800000.

Ответ: 5800000 р.

Задача №6. (№ 509067) В 1-е клас­сы по­сту­па­ет 43 че­ло­ве­ка: 23 маль­чи­ка и 20 де­во­чек. Их рас­пре­де­ли­ли по двум клас­сам: в одном долж­но по­лу­чить­ся 22 че­ло­ве­ка, а в дру­гом ― 21. После рас­пре­де­ле­ния по­счи­та­ли про­цент маль­чи­ков в каж­дом клас­се и по­лу­чен­ные числа сло­жи­ли. Каким долж­но быть рас­пре­де­ле­ние по клас­сам, чтобы по­лу­чен­ная сумма была наи­боль­шей? [2]

Решение.

Шаг 1. Пусть в одном классе n мальчиков, а в другом – m мальчиков.

Шаг 2. По условию задачи составим функцию двух переменных

S = S(n; m) = ∙100 + ∙100.

Шаг 3. Так, как по условию задачи известно, что всего мальчиков 23,

то n + m = 23. Таким образом, m = 23 – n.

Шаг 4. S = ∙100 + ∙100 = 100 ∙ .

Шаг 5. Линейная функция S(n) убывает на отрезке на всей области определения. Поэтому наибольшее значение она принимает при наименьшем возможном значении n=2. (Девочек по условию всего 20).

Шаг 6. –

Ответ: в первом классе 2 мальчика и 20 девочек, а во втором классе 21 мальчик.

Одним из основных показателей глубины усвоения учащимися учебного материала и уровня математического развития является умение решать задачи. Таким образом, одной из важнейших целей, стоящих перед учителем, является обучить детей решению текстовых задач. Предложенная методика обучения решению не лёгких задач, представляется мне доступной как для учителей, так и для учащихся.

Литература

1. ЕГЭ 2016. Математика. 50 вариантов типовых тестовых заданий / И.В. Ященко, М.А. Волчкевич, И.Р. Высоцкий, Р.К. Гордин, П.В.Семенов, и т.д.; под ред. И.В. Ященко – М.: Издательство «Экзамен», 2016. – 247, [1] с.

2. http://reshuege.ru/test?theme=221