Методы, используемые при аналитико-синтетической деятельности

Анализ (греческое analysis – разложение, расчленение, разбор) - проце­дура мыслительного расчленения предмета (явления, процесса) свойства предмета на части, компоненты; выделение в предмете аспектов его изуче­ния. Предметом анализа может быть все, даже любой психологический акт, ощущение, восприятие, представление, мысль, логический прием, любая на­учная теория [10].

Анализ часто представляется как многоступенчатый процесс. Что-то, что достигнутое в результате первоначального анализа, становится затем предметом более глубокого анализа. Этот переход от одного уровня анализа к другому, более глубокому, определяется и характером новых задач, возни­кающих в ходе познания. В науке выделяют два вида анализа: восходящий и нисходящий. Вкратце опишем каждый из этих определений.

Сущность метода восходящего анализа заключается в том, что исход­ным моментом решения задачи является ее заключение, преобразование ко­торого происходит путем отыскания достаточных признаков его справедли­вости, т. е. таких, из верности которых неизбежно следует справедливость заключения задачи (теоремы).

Общая схема восходящего анализа такова: пусть надо доказать утверждение А. Подбираем такое утверждение В, из которого следует А. Далее подбираем такое утверждение С, из которого следует утверждение В. Поиск продолжа­ется до тех пор, пока не найден путь решения задачи. Восходящий анализ представляет значительный интерес для решения проблем, поиска решения: он содержит в себе стратегию построения доказательства (решения), подска­зывает пути творческого поиска путей обоснования. Однако восходящий анализ не является универсальным и имеет свои слабые стороны. Сложность заключается прежде всего в том, что для доказательства истинности может быть не одно, а несколько оснований. Это приводит ученика к необходимости рассматривать несколько различных вариантов рассуждений, некоторые из которых могут поставить его в тупик. Но, несмотря на это, вос­ходящий анализ является одним из наиболее эффективных средств составле­ния плана решения задачи. Дело в том, что при решении подавляющего большинства задач, традиционно решаемых в курсе геометрии средней шко­лы, решение начинается с синтетической деятельности, т. е. с рассмотрения наиболее естественных выводов, которые можно получить из условия задачи. Однако далее, особенно при решении задач повышенной сложности, возни­кает необходимость в использовании восходящего анализа.

Теперь затронем нисходящий анализ. Рассмотрим общую схему нисхо­дящего анализа. Пусть требуется доказать некоторое утверждение А. Пред­полагаем, что оно верно, и пытаемся получить из него верное следствие. При этом возможно несколько случаев.

Получено неверное следствие. Значит, предположение о справедливости А ошибочно. Решение задачи на этом закончено.

Получено верное следствие. В этом случае следует обязательно проверить обратимость рассуждений:

а) Если все рассуждения обратимы, то А верно.

б) Если среди рассуждений есть необратимые, то приходится применять дру­гие методы поиска решения задачи.

Если верное следствие получить не удается, то также приходится перейти к другим методам.

Нисходящий анализ имеет две разновидности: несовершенный анализ и метод доказательства от противного. При решении задач методом несовершенного анализа за исходное берется заключение задачи. Преобразование заключения происходит путем отыскания необходимых признаков справед­ливости его в предположении, что заключение задачи верно, т. е. несовер­шенный анализ сводится к отысканию следствий, вытекающих из предполо­жения справедливости заключения, что приводит к получению верных след­ствий [10].

Методом «доказательства от противного» называется такая разновид­ность нисходящего анализа, при которой решение задачи происходит путем получения необходимых условий справедливости положения, противореча­щего заключению задачи.

А теперь опишем синтетический метод. Синтез (sintesis - соединение, составление, соединение) – мысленное соединение выделенных путем анали­за частей, сторон в некоторое мысленное единство, в котором фиксируется типичное в анализируемом предмете. Синтез связан с упрощением анализируе­мого, с выявлением в нем существенных связей, конструирующих это мыс­ленное единство, с получением нового результата познания.

Синтетическая деятельность по обобщению и осмыслению результатов анализа является мощным средством открытия новых истин посредством получения принципиально новых результатов, формирования тех идей, кото­рые создавали новые вехи и направления в развитии наук. Синтез всегда воспроизводит проанализированный материал, при этом он всегда связан с уточнением, обогащением, углублением знаний о предмете в целом, которые в целом, которые у нас имелись до анализа. При синтезе мы используем аппарат той научной теории, в рамках которой производится анализ. Таким образом, синтез является процедурой, обратной анализу, но с которой анализ часто сочетается в практической или познавательной дея­тельности. Само название синтетического метода свидетельствует о том, что речь в данном случае идет о таких рассуждениях, в которых преобла­дающую роль играет прием «синтез». Синтетическое решение состоит в том, что первые вспомогательные суждения являются логическим выводом из условия задачи. Далее вспомогательные суждения получают как следствие из первых и т.д. Конечно, при этом можно использовать и другие известные факты. Составление вспомогательных суждений продолжается до тех пор, пока не получится такое суждение, из которого непосредственно вытекает то, что нужно вычислить или доказать.

Сам по себе синтетический метод рассуждения имеет большое общеобразовательное значение, а поэтому знакомить учащихся с этим методом це­лесообразно и даже необходимо.

Анализ и синтез как методы научного познания в математических исследо­ваниях играют важную роль. Столь же велика их роль и в обучении матема­тике, в котором они выступают в самых разнообразных формах: как методы решения задач, доказательств теорем, изучения свойств математических по­нятий и т. д.

Некоторые из синтетических методов решения задач на построение (метод геометрических мест, подобия) были известны еще греческим геомет­рам, само различие аналитического и синтетического методов введено в ма­тематику Евклидом. Анализ и синтез у него – две разновидности «силлоги­ческого» метода доказательств. В тринадцатой книге «Начал» Евклид пишет: «В синтезе мы начинаем с того, что уже доказано и приходим к заключению или познанию того, что нужно доказать».

В методике преподавания математике терминами «анализ» и «синтез» традиционно называют два противоположных по ходу движения мысли вида рассуждений, которые применяются при решении задач и при доказательст­ве теорем; анализ – это рассуждение, идущее от того, что надо найти или до­казать, к тому, что дано, или уже установлено ранее; синтез – рассуждение, идущее в обратном направлении.

Ю.М. Колягин, В.А. Оганесян и др. в своей книге [18] пишут, что анализ стали воспринимать как прием мышления, при котором от следствия перехо­дят к причине, породившей это следствие, а синтез – как прием мышления, при котором от причин переходят к следствию, порожденному этой причи­ной.

Таким образом, мы выделяем такие методические пути:

• Ознакомление детей с понятием диалога и его сущности;

• Ознакомление с различными видами аналитико-синтетической дея­тельности с помощью диалоговой формы обучения;

• Применение нисходящего, восходящего анализов, а также синтетиче­ского подхода при решении задач.