Мнемонические приёмы запоминания при изучении тригонометрии

Мнемонические приёмы запоминания при изучении тригонометрии

Для многих ребят в школе тригонометрия – один из самых трудных, непонятных разделов математики. Уже с первых уроков идёт отторжение и нежелание изучать её, вникать в глубины, запоминать правила, значения функций. А как запомнить множество формул? На помощь пришла мнемотехника. Стала сама придумывать мнемотехнические правила, какие-то правила предложили ребята, что-то взяла из работ своих коллег.

8 класс

Определение тригонометрических функций острого угла прямоугольного треугольника

Для запоминания определений синуса и косинуса предлагаю закон «равновесия». Согласно этому закону к короткому слову (синус) надо соотнести длинное слово (противолежащий), к длинному слову (косинус) – короткое слово (прилежащий).

Синус противолежащий

К осинус прилежащий

Через некоторое время пришло озарение по запоминанию правила про тангенс. Именно предлог «про» помог. И сейчас, когда я прошу напомнить определение про тангенс, специально делаю упор на предлог про и ребята хором отвечают – это отношение противолежащего катета к прилежащему. Назвали мы данный способ – правило «про».

9 класс

Определение синуса и косинуса угла

Для облегчения запоминания, что косинус угла – это абсцисса точки, а синус угла – это ордината точки единичной окружности используем закон соответствия. Предлагаю ребятам посмотреть на начальные буквы функций (косинус, синус), начальные буквы координат (абсцисса, ордината) и записать их в алфавитном порядке: в первом столбце – функции, во втором – координаты.

К осинус абсцисса (cos α x)

Синус ордината (sin α y)

Значения функций

Значения синуса и косинуса для углов 0, 30, 45, 60, 90 легко вычислить с помощью левой руки. Для этого:

Пронумеруем пальцы от большого до мизинца, счет начинаем с нуля (рис. 1).

Затем из каждого числа извлечем корень и разделим на 2. Где возможно подсчитаем значения (рис. 2).

Д

Рис. 1

Для sin Для cos

большой № 0 – соответствует 0, большой № 0 – соответствует 90,

указательный № 1 – соответствует 30, указательный № 1 – соответствует 60,

средний № 2 – соответствует 45, средний № 2 – соответствует 45,

безымянный № 3 – соответствует 60, безымянный № 3 – соответствует 30,

мизинец № 4 – соответствует 90. мизинец № 4 – соответствует 0.

Рис. 2

Рис. 1

Ребята, которые используют этот метод, отсчитывают угол в нужном направлении, смотрят на номер пальца и говорят значение функции.

10 класс

Знаки функций

Учащиеся прекрасно запоминают, что у тангенса и котангенса знаки располагаются крест-накрест, но забывают, у какой функции (синуса или косинуса), знаки расположены горизонтально, а у какой – вертикально. В этом случае поможет следующее правило: произносить слова «синус» и «косинус» нужно нараспев, выделяя ударную гласную и фиксируя при этом, в каком направлении вытягивается рот. При произнесении слова «синус» ударная гласная «и» вытягивает рот в направлении «», значит, у синуса знаки расположены горизонтально. Аналогично, при произнесении слова «косинус», ударная гласная «о» вытягивает рот в направлении «↕», значит, у косинуса знаки расположены вертикально.

Четность и нечетность тригонометрических функций

Приём сладкоежек: последние три функции: синус, тангенс и котангенс – это друзья, они конфетки (знак «минус») не едят и как капризные детки их выплевывают, а вот Косинус, – сладкоежка и конфету съедает.

Формулы приведения (Лошадиное правило)

В старые добрые времена жил рассеянный математик, который при поиске ответа менять или не менять название функции (синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс), смотрел на свою умную лошадь. Она кивала головой вдоль той оси координат, которой принадлежала точка, соответствующая первому слагаемому аргумента π/2 ± α (3π/2 ± α) или π ± α (2π ± α). Если лошадь кивала головой вдоль оси ОУ (вертикального диаметра окружности), то математик считал, что получен ответ «да, менять», если вдоль оси ОХ (горизонтального диаметра окружности), то «нет, не менять».

Затем оставалось, только определить знак функции – это зависело от того в какой четверти располагалась это точка и знака тригонометрической функции в той или иной четверти.

Основное тригонометрическое тождество

Тождество можно ребятам преподнести в виде стишка.

Синус квадрат очень рад

К нему едет брат – косинус квадрат.

Когда встретятся они, окружность удивится:

Выйдет целая семья, то есть единица.

Тригонометрические формулы

Много трудностей обычно вызывает запоминание тригонометрических формул, и далеко не все ученики могут тут же вывести забытую формулу. Поэтому можно рекомендовать запомнить, что sinx – функция «хорошая», а cosx – «плохая». Это означает, что для синуса в соответствующих формулах знак сохраняется, а для косинуса – меняется. Кроме того, функция синус – объединяющая функция, а косинус – разделяющая функция.

Формулы сложения

Для запоминания формул сложения для синуса и косинуса мы применяем правило сенокоса (sin – сено, cos – коси) :

Правило для синуса – сено коси, коси сено:

sin(x + y)=sinxcosy + cosxsiny

sin(x – y)=sinxcosy – cosxsiny

При записи формул надо вспомнить, что sinx – функция «хорошая» (знак сохраняется, то есть справа такой же знак, как и слева), также функция синус – объединяющая функция (справа стоят смешанные произведения синуса и косинуса).

Правило для косинуса – коси коси, сено сено:

cos(x + y)= cosxcosy – sinxsiny

cos(x – y)= cosxcosy + sinxsiny

При записи формул надо вспомнить, что cosx – функция «плохая» (знак справа меняется на противоположный), также функция косинус – разделяющая функция (справа произведения одноименных функций).

Формулы понижения степени

Важно понять структуру этих формул, в частности, такой момент – «степень понижается, а угол становится в два раза больше». Эти формулы очень похожи друг на друга, поэтому для лучшего их запоминания следует применять правило: «Единица минус – дает синус, а единица плюс – дает косинус».

Формулы корней простейших тригонометрических уравнений

Вспоминаем, что друзья – это Синус, Тангенс и Котангенс. У них во всех формулах стоит πn. А у единственной сладкоежки, у косинуса стоит 2πn. Ключевое слово – два. В этой же единственной формуле стоят два знака в начале. Плюс и минус. И там, и там – два. Так что, если вы написали два знака перед арккосинусом, легче вспомнить, что в конце будет 2πn.. А ещё наоборот бывает. Пропустит ученик знак ±, доберётся до конца, напишет правильно 2πn, да и спохватится. Впереди-то два знака! Вернётся ученик к началу, да ошибку-то и исправит! Вот так.