Многогранные углы. выпуклые многогранники. теорема эйлера. развёртка многогранника. призма

2.1. МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ. ВЫПУКЛЫЕ МНОГОГРАННИКИ. ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА. РАЗВЁРТКА МНОГОГРАННИКА. ПРИЗМА

(Раздел «Многогранники»)

ДЕЯТЕЛЬНОСТНАЯ КАРТА УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

Профессии: 15.01.20 Слесарь по контрольно-измерительным приборам и автоматике, 09.01.03 Мастер по обработке цифровой информации, 23.01.03 Автомеханик, 09.01.01 Наладчик аппаратного и программного обеспечения

Учебные группы: КИП-21, М-21, А-21, Н-21

Учебный предмет: ООПу.04 Математика

Тема учебного занятия: Многогранные углы. Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера. Развёртка многогранника. Призма

Тип урока: урок «открытия» новых знаний

Вид урока: лекция-беседа

Средства обучения:

• технические: мультимедийный проектор, персональный компьютер;

информационно-коммуникационные: электронная презентация.

Цели урока:

образовательная: создание условий для овладения знаниями о многогранниках;

развивающая: развитие умений планировать, анализировать, выдвигать гипотезы по решению заданий, применять полученные знания для выполнения упражнений;

воспитательная: воспитание интереса к изучению математики, математической культуры студентов.

Прогнозируемые результаты:

1) предметные:

• сформированность знаний о многогранниках;

• владение умением решать задачи вычислительного и доказательного характера с использованием знаний о многогранниках, строить развёртки многогранников.

2) метапредметные:

• регулятивные:

• умение ставить перед собой цель, видеть ожидаемый результат работы;

• умение объективно оценивать свои возможности, анализировать свои результаты, корректировать свои действия;

• владение навыками познавательной рефлексии;

• познавательные:

• выбор оснований и критериев для сравнения;

• умение структурировать полученную информацию;

• умение анализировать и обобщать информацию;

• коммуникативные:

• умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности;

• умение выражать свои мысли с достаточной полнотой и точностью.

Образовательные технологии: элементы технологии проблемного обучения; информационно-коммуникационные технологии.

Формы организации обучения: фронтальная, индивидуальная.

Методы обучения и контроля:

• вербальные: беседа;

• практические: метод сравнения, метод анализа и структурирования.

• методы контроля и самоконтроля: устный контроль, самоконтроль.

Нормативный документ

Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (утв. приказом Министерства образования и науки Российской Федерации (Минобрнауки России) от 17 мая 2012 г. № 413 г.). – М.: Министерство образования и науки РФ, – 2012.

Образовательные ресурсы:

Основная литература

1. Башмаков М. И. Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования. − М.: Издательский центр «Академия», 2018. – 256 с.

2. Башмаков М. И. Математика. Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. − М.: Издательский центр «Академия», 2014. – 416 с.

Дополнительная литература

1. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни).10—11 классы. Учебник. − М.: Просвещение, 2014. – 464 с.

2. Атанасян Л.С. Геометрия. 10 − 11 классы: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни / Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. – М.: Просвещение, 2013. – 255 с.

3. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие для техникумов / Н.В. Богомолов. – М.: Высш. шк., 2013. – 495 с.

4. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика (Книга 1): Учебное пособие. – М.: Издательство «Новая волна», 2013. – 656 с.

5. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика (Книга 2): Учебное пособие. – М.: Издательство «Новая волна», 2013. – 592 с.

6. Никольский С.М. Алгебра и начала анализа: учебник для 10 класса общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни / С.М. Никольский, М.К. Потапов. – М.: Просвещение, 2013. – 430 с.

7. Никольский С.М. Алгебра и начала анализа: учебник для 11 класса общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни / С.М. Никольский, М.К. Потапов. – М.: Просвещение, 2013. – 464 с.

Интернет-ресурсы:

1. Федеральный центр информационно-образовательных ресурсов [Электронный ресурс] URL: www. fcior. edu. ru

2. Единая коллекции цифровых образовательных ресурсов [Электронный ресурс] URL: www. school-collection. edu. ru

Основные термины и понятия: многогранный угол, многогранник, грань, ребро, вершина, диагональ, призма, апофема, развёртка.

ПЛАН УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

Содержание учебного материала:

1. Многогранный угол;

2. Многогранник;

3. Теорема Эйлера;

4. Развёртка многогранника;

5. Призма

1. Этап мотивации (самоопределения) к учебной деятельности (2 мин)

Преподаватель приветствует студентов, создает деловую обстановку, настраивает на продуктивную мыслительную деятельность.

1. Этап актуализации опорных знаний. Целеполагание (10 мин)

Преподаватель задает вопросы студентам:

1. Что такое двугранный угол?

2. Приведите примеры геометрических тел.

Студенты отвечают на эти вопросы, перебирая всевозможные варианты. Преподаватель говорит о том, что сегодня они будут изучать многогранные геометрические тела.

Формулирование темы и целей учебного занятия.

1. Работа над новой темой («открытие» нового знания) (38 мин)

Рассмотрим фигуру, составленную из углов А₁OА₂, А₂OА₃, …, А_n0А₁ и их внутренних областей так, что смежные углы (т. е. углы А₁OА₂ и А₂OА₃, …, А_n0А₁ и А₁OА₂) не лежат в одной плоскости, а несмежные углы (с их внутренними областями) не имеют общих точек. Такая фигура называется многогранным углом ОА₁А₂...А_n, углы, из которых составлен этот многогранный угол, - плоскими углами, лучи ОА₁, ОА₂, …, ОА_n - ребрами, а точка О - вершиной этого многогранного угла.

Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, будем называть многогранной поверхностью или многогранником. Тело, ограниченное многогранником, часто также называют многогранником. Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями. Стороны граней называются ребрами, а концы ребер - вершинами многогранника. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника. Плоскость, по обе стороны от которой имеются точки многогранника, называется секущей плоскостью, а общая часть многогранника и секущей плоскости - сечением многогранника. Многогранники бывают выпуклые и невыпуклые. Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. Ясно, что все грани выпуклого многогранника являются выпуклыми многоугольниками. Отметим также, что в выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 360°.

Теорема Эйлера: В любом выпуклом многограннике сумма числа гра­ней и числа вершин больше числа ребер на 2.

Развёрткой поверхности многогранника называется плоская фигура, получающаяся в результате совмещения с плоскостью всех его граней. Чертежи развёрток необходимы при изготовле­нии моделей и изделий из листового материала. Построение развёртки поверхности многогранника сводится к построению изображений граней в истинную величину. Это легко осуществить путём определения длины рёбер многогран­ника, а в случае необходимости и длины диагоналей граней.

Призма (от др. греч. «нечто отпиленное») — многогранник, две грани которого являются конгруэнтными (равными) многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками.

Прямая призма — призма, у которой все боковые ребра перпендикулярны основанию, в противном случае призма называется наклонной.

Правильная призма — прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник.

Параллелепипед — призма, основанием которой служит параллелограмм.

Боковая поверхность призмы есть объединение боковых граней призмы. Полная поверхность призмы представляет объединение оснований призмы и её боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Полная развёртка поверхности призмы состоит из развёртки её боковой поверхности и оснований. Боковые грани прямой треугольной призмы – прямоугольники, поэтому развёртка её боковой поверхности пред­став­ляет собой прямоугольник, длина которого равна периметру основания, а вы­сота – высоте приз­мы. К развёртке боковой поверх­ности при­страива­ют основания призмы – равносторонние треугольники.

1. Включение нового знания в систему имеющихся знаний (34 мин)

Решение у доски и в тетрадях следующих упражнений:

1. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12 см и 5 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45°. Найдите боковое ребро параллелепипеда.

2. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см, боковое ребро равно 6 см. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону верхнего основания и противолежащую вершину нижнего основания.

3. Диагональ правильной четырехугольной призмы образует с плоскостью боковой грани угол в 30°. Найдите угол между диагональю и плоскостью основания.

4. В правильной четырехугольной призме через диагональ основания проведено сечение параллельно диагонали призмы. Найдите площадь сечения, если сторона основания призмы равна 2 см, а ее высота равна 4 см.

5. Основанием наклонной призмы АВСА₁В₁С₁ является равнобедренный треугольник АВС, в котором АС = АВ = 13 см, ВС = 10 см, а боковое ребро призмы образует с плоскостью основания угол в 45°. Проекцией вершины А₁ является точка пересечения медиан треугольника АВС. Найдите площадь грани СС₁В₁В.

6. Основание призмы – правильный треугольник АВС. Боковое ребро АА₁ образует равные углы со сторонами основания АС и АВ. Докажите, что: а) ВС ⏊ АА₁; б) СС₁В₁В - прямоугольник.

1. Рефлексия. Подведение итогов учебного занятия (5 мин)

Беседа со студентами по содержанию занятия. Вопросы для беседы:

1. Какая была тема сегодняшнего занятия?

2. Что нового вы узнали?

3. Какая была цель занятия?

4. Что получилось у вас сегодня?

5. Что не получилось?

6. Достигли ли мы поставленной цели?

6. Инструктирование о выполнении домашнего задания (1 мин)

Изучить [1] гл. 8 занятия 1, 2, № 3, 4 с. 148.

4