Модулдуу теңдемелер

7

§ 14. МОДУЛДУУ ТЕҢДЕМЕЛЕР ЖАНА БАРАБАРСЫЗДЫКТАР

Модулдуу теңдемелерди чыгаруунун төмөнкүдөй ыкмалары бар:

1. Модулдун аныктамасынын негизинде чыгаруу ыкмасы;

2. Белгилеп алуу менен жаңы өзгөрүлмөгө өтүп чыгаруу ыкмасы;

3. Интервалдар ыкмасы;

4. Тең күчтөгү теңдеме же теңдемелер системасы менен алмаштырып алуу ыкмасы.

14.1. Модулдун аныктамасынын негизинде чыгаруу ыкмасы

Аныктаманын негизинде а санынын модулу төмөнкүдөй аныкталат:

түрүндөгү теңдемени чыгаруу үчүн бул теңдемеге тең күчтөгү төмөнкү эки системаны чыгарабыз:

1-Мисал. Теңдемени чыгаргыла:

Чыгаруу. Теңдемени чыгаруу үчүн тең күчтөгү төмөнкү эки системаны чыгарабыз:

2-Мисал. Теңдемени чыгаргыла:

Чыгаруу. Теңдемени чыгаруу үчүн тең күчтөгү төмөнкү эки системаны чыгарабыз:

№ 14.1. Теңдемелерди чыгаргыла:

14.2. Белгилеп алуу менен жаңы өзгөрүлмөгө өтүп чыгаруу ыкмасы

түрүндөгү тендемени чыгарууда деп белгилеп алсак, анда төмөнкүдөй системаны чыгарабыз:

3-Мисал. Теңдемени чыгаргыла:

Чыгаруу. Теңдемени чыгаруу үчүн белгилеп алуу менен жаңы өзгөрмөгө өтөбүз:

№ 14.2. Теңдемелерди чыгаргыла:

14.3. Интервалдар ыкмасы

түрүндөгү модулдуу теңдемелерди төмөнкүдөй схема менен чыгарабыз:

1. Модуль ичиндеги туюнтмалардын нөлдөрүн табабыз;

2. Табылган нөлдөрдү сан огунда белгилейбиз;

3. Келип чыккан ар бир интервалда тендеменин тамырларын табабыз.

4-Мисал. Теңдемени чыгаргыла:

Чыгаруу. Теңдемени чыгаруу үчүн:

1. Модуль ичиндеги туюнтмалардын нөлдөрүн табабыз:

1. Табылган нөлдөрдү сан огунда белгилейбиз:

1. Келип чыккан ар бир интервалда тендеменин тамырларын табабыз:

а) Бул интервалда жана туюнтмаларынын мааниси терс болгондуктан модуль белгисин кашаа менен алмаштырып, кашаанын сыртындагы белгилерди карама-каршысына өзгөртөбүз, б.а.

болгондуктан бул сан теңдеменин чечими болот.

б) Бул интервалда туюнтмасынын мааниси оң болгондуктан модул белгисин кашаа менен алмаштырып, кашаанын сыртындагы белгиси өзгөрбөйт. Ал эми туюнтмасынын мааниси терс болгондуктан модуль белгисин кашаа менен алмаштырып, кашаанын сыртындагы белгини карама-каршысына өзгөртөбүз, б.а.

болгондуктан бул сан теңдеменин чечими болбойт.

в) Бул интервалда жана туюнтмаларынын мааниси оң болгондуктан модуль белгисин кашаа менен алмаштырып, кашаанын сыртындагы белгиси өзгөрбөйт, б.а.

болгондуктан бул сан теңдеменин чечими болбойт.

№ 14.3. Теңдемелерди чыгаргыла:

14.4. Тең күчтөгү теңдеме же теңдемелер системасы менен алмаштырып алуу ыкмасы

1. түрүндөгү теңдемелерди чыгаруу жолдорун карайбыз:

• Эгерде болсо, анда теңдемесинин чечими жок;

• Эгерде болсо, анда теңдемеси теңдемеси менен тең күчтүү;

• Эгерде болсо, анда теңдемесин чыгаруу үчүн жана теңдемелерин чыгарабыз.

5-Мисал. Теңдемени чыгаргыла:

Чыгаруу. Теңдеменин сол жагы терс эмес, ал эми оң жагы терс болгондуктан бул теңдеменин чечими жок.

6-Мисал. Теңдемени чыгаргыла:

Чыгаруу.

7-Мисал. Теңдемени чыгаргыла:

Чыгаруу. 1)

.

№ 14.4. Теңдемелерди чыгаргыла:

1. түрүндөгү теңдемелерди чыгаруу үчүн бул теңдемеге тең күчтөгү

теңдемесин чыгарабыз.

8-Мисал. Теңдемени чыгаргыла:

Чыгаруу.

№ 14.5. Теңдемелерди чыгаргыла:

14.5. Модулдуу барабарсыздыктар

Модулдуу барабарсыздыктар типтерине жараша ар түрдүү ыкмалар менен чыгарылат.

1. түрүндөгү барабарсыздыктарды чыгаруу ыкмаларын карайбыз:

а) болсо, берилген барабарсыздыктын чечими жок;

б) болсо, берилген барабарсыздыктын чечимин табуу үчүн бул барабарсыздык менен тең күчтөгү тендемесин чыгарабыз;

в) болсо, берилген барабарсыздыктын чечимин табуу үчүн бул барабарсыздык менен тең күчтөгү кош барабарсыздыгын же болбосо

барабарсыздыктар системасын чыгарабыз.

9-Мисал. Барабарсыздыкты чыгаргыла:

Чыгаруу. Барабарсыздыктын сол жагы терс эмес, ал эми оң жагы терс болгондуктан барабарсыздыктын чечими жок.

10-Мисал. Барабарсыздыкты чыгаргыла:

Чыгаруу. Берилген барабарсыздыктын чечимин табуу үчүн бул барабарсыздык менен тең күчтөгү тендемесин чыгарабыз:

11-Мисал. Барабарсыздыкты чыгаргыла:

Чыгаруу. Берилген барабарсыздыктын чечимин табуу үчүн бул барабарсыздык менен тең күчтөгү кош барабарсыздыгын же болбосо

барабарсыздыктар системасын чыгарабыз.

12-Мисал. Барабарсыздыкты чыгаргыла:

Чыгаруу. Берилген барабарсыздыктын оң жана сол жактары терс эмес болгондуктан эки жагын тең квадратка көтөрүп барабарсыздыкты чыгарабыз:

Барабарсыздыкты интервалдар ыкмасы менен чыгарабыз:

13-Мисал. Барабарсыздыкты чыгаргыла:

Чыгаруу. Берилген барабарсыздыкты чыгаруу үчүн эки учурду карайбыз:

Биринчи жана экинчи учурдун чечимдердин биригүүсү берилген барабарсыздыктын чечими болот, б.а.

№ 14.6. Барабарсыздыктарды чыгаргыла:

2) түрүндөгү барабарсыздыктарды чыгаруу ыкмаларын карайбыз:

а) болсо, берилген барабарсыздыктын чечими , б.а. чыныгы сандардын көптүгү;

б) болсо, берилген барабарсыздыктын чечимин табуу үчүн бул барабарсыздык менен тең күчтөгү кош барабарсыздыгын же болбосо

барабарсыздыктар системасын чыгарабыз.

14-Мисал. Барабарсыздыкты чыгаргыла:

Чыгаруу. Барабарсыздыктын оң жагы терс сан болгондуктан, чечими чыныгы сандардын көптүгү, б.а. каалагандай чыныгы сан.

Жообу:

15-Мисал. Барабарсыздыкты чыгаргыла:

Чыгаруу. Барабарсыздыктын оң жагы терс эмес сан болгондуктан, чечими чыныгы сандардын көптүгү, б.а. каалагандай чыныгы сан.

Жообу:

16-Мисал. Барабарсыздыкты чыгаргыла:

Чыгаруу. Бул учурда модуль ичиндеги туюнтманын маанисин нөлгө барабарлап алабыз, б.а. барабарсыздыктын нөлүн табабыз:

дан башка каалагандай чыныгы сан барабарсыздыктын чечими болот.

17-Мисал. Барабарсыздыкты чыгаргыла:

Чыгаруу. Барабарсыздыкты чыгаруу төмөнкү барабарсыздыктар системасын чыгаруу менен тең күчтө:

Барабарсыздыкты чыгарабыз:

№ 14.7. Барабарсыздыкты чыгаргыла:

14.6. Бөлчөктүү-сызыктуу барабарсыздыктар

түрүндөгү барабарсыздыктарды бөлчөктүү-сызыктуу барабарсыздыктар дейбиз.

Мындай түрдөгү барабарсыздыктарды чыгаруу үчүн:

1. Барабарсыздыктын алымынын жана бөлүмүнүн нөлдөрүн табабыз, б.а. алымын жана бөлүмүн нөлгө барабарлап, ал теңдемелерди чыгарабыз:

1. Барабарсыздыктын нөлдөрүн сан огунда өсүү тартибинде жайгаштырабыз (сан огунда үч интервал пайда болот);

1. Четки сол жактагы интервалга барабарсыздыктын алымынын жана бөлүмүнүн көбөйтүндүсүнүн, б.а. көбөйтүндүсүнүн белгисин коёбуз. Калган интервалдарда көбөйтүндүнүн белгилери ирээти менен алмашылат;

2. Барабарсыздыктын тиешелүү белгиси коюлган интервал барабарсыздыктын чечими болот.

18-Мисал. Барабарсыздыкты чыгаргыла:

Чыгаруу. а)

1. Барабарсыздыктын алымынын жана бөлүмүнүн нөлдөрүн табабыз, б.а. алымын жана бөлүмүн нөлгө барабарлап, ал теңдемелерди чыгарабыз:

1. Барабарсыздыктын нөлдөрүн сан огунда өсүү тартибинде жайгаштырабыз (сан огунда үч интервал пайда болот);

2. Четки сол жактагы интервалга барабарсыздыктын алымынын жана бөлүмүнүн көбөйтүндүсүнүн, б.а. көбөйтүндүсүнүн белгисин коёбуз. Калган интервалдарда көбөйтүндүнүн белгилери ирээти менен алмашылат;

1. Барабарсыздыктын тиешелүү белгиси коюлган интервал барабарсыздыктын чечими болот.

б) 1) Барабарсыздыктын оң жагындагы 1 санын барабарсыздыктын сол жагына алып өтүп, жалпы бөлүмгө келтирип алабыз:

№ 14.8. Барабарсыздыкты чыгаргыла:

14.7. Рационалдык барабарсыздыктар

Бүтүн рационалдык барабарсыздыктарды чыгаруу ыкмаларын карайбыз. Бүтүн рационалдык барабарсыздык бир нече сызыктуу көбөйтүүчүлөрдөн түзүлгөн болсун, б.а.

1. теңдемесинин нөлдөрүн табабыз:

1. Нөлдөрүн сан огунда өсүү тартибинде жайгаштырабыз. Рационалдык туюнтманын нөлдөрү деп алалы, анда бул сандар сан огун 5 интервалга бөлөт:

1. Ар бир интервалда рационалдык туюнтма белгисин (оң же терс) сактайт. Сан огунун сол эң четки интервалында рационалдык туюнтманын белгисин табабыз. Бир интервалдан жанаша турган интервалга өткөндө рационалдык туюнтма белгисин өзгөртөт.

19-Мисал. Барабарсыздыктарды чыгаргыла:

Чыгаруу. а) Туюнтманы көбөйтүүчүлөргө ажыратабыз да нөлдөрүн табабыз:

Нөлдөрдү сан огунда өсүү тартибинде жайгаштырабыз да туюнтманын белгилерин коёбуз:

Жообунда оң интервалдарды көрсөтөбүз:

б) Ар бир көбөйтүүчүнүн нөлдөрүн табабыз:

Нөлдөрдү сан огунда өсүү тартибинде жайгаштырабыз да туюнтманын белгилерин коёбуз:

Жообунда терс интервалдарды көрсөтөбүз:

в) Туюнтманын нөлдөрүн табабыз:

Нөлдөрдү сан огунда өсүү тартибинде жайгаштырабыз да туюнтманын белгилерин коёбуз. Туюнтманын белгилерин коёрдо ар бир көбөйтүүчүнүн даражасына көңүл бурабыз. Эгерде көбөйтүүчүнүн даражасы жуп болсо, анда бул көбөйтүүчүнүн нөлүнөн кийинки интервалга өткөндө туюнтманын белгиси өзгөрбөйт, көбөйтүүчүнүн даражасы так болсо, анда бул көбөйтүүчүнүн нөлүнөн кийинки интервалга өткөндө туюнтманын белгиси өзгөрөт.

Жообунда терс интервалдарды көрсөтөбүз:

№ 14.9. Барабарсыздыктарды чыгаргыла:

14.8. Бөлчөктүү-рационалдык барабарсыздыктар

түрүндөгү барабарсыздыктарды бөлчөктүү-рационалдык барабарсыздыктар дейбиз. Мында жана тиешелүү түрдө п- жана т- даражадагы көп мүчөлөр.

Бөлчөктүү-рационалдык барабарсыздыктарды чыгаруунун стандарттык ыкмаларын карайлы:

б.а. бөлчөктүү-рационалдык барабарсыздыктарды чыгаруу үчүн:

1) алымынын жана бөлүмүнүн нөлдөрүн табабыз;

2) сан огунда нөлдөрүн өсүү тартибинде жайгаштырабыз. Бөлүмүнүн нөлдөрү дайыма айлана менен сүрөттөлөт;

3) жана көп мүчөлөрүнүн көбөйтүндүсүн карайбыз, б.а.

4) сан огунун сол четки интервалынан баштап туюнтмасынын белгисин коёбуз;

5) барабарсыздыкты канааттандырган интервалдарды бөлүп алабыз да жообун жазабыз.

20-Мисал. Барабарсыздыктарды чыгаргыла:

Чыгаруу.

№ 14.10. Барабарсыздыктарды чыгаргыла:

ТЕСТ “Модулдуу теңдемелер, барабарсыздыктар жана функциялар”

Вариант “А”

ТЕСТ “Модулдуу теңдемелер, барабарсыздыктар жана функциялар”

Вариант “Б”