МР комбинированного занятия для преподавателя "Основы интегрального исчисления. Определённый интеграл".

Восстановим перпендикуляры из этих точек до пересечения с кривой у = f(х). Тогда площадь всей фигуры будет примерно равна сумме элементарных прямоугольников, имеющих основание, равное х_i = х_i -х_i-1, а высоту, равную значению функции f(х) внутри каждого прямоугольника. Чем меньше величина х_i, тем точнее будет определяться площадь фигуры S. Следовательно:

Определение. Если существует предел интегральной суммы, не зависящий от способа разбиения отрезка [а, b] и выбора точек , то этот предел называют определенным интегралом от функции f(х) на отрезке [а, b] и обозначают:

где f(x) ‑ подынтегральная функция, х ‑ переменная интегрирования, а и b — пределы интегрирования (читается: определенный интеграл от a дo b эф от икс де икс).

Таким образом, геометрический смысл определенного интеграла связан с определением площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху функцией у = f(х), снизу осью Ох, а по бокам ‑ перпендикулярами, восстановленными в точках а и b.

Процесс вычисления определенного интеграла называют интегрированием. Числа а и b называют соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

Свойства определенного интеграла

1. Если пределы интегрирования равны, то определенный интеграл равен нулю:
   
   

2. Если переставить пределы интегрирования, то знак интеграла изменится на противоположный:
   
   

3. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
   
   

4. Определенный интеграл от суммы конечного числа непрерывных функций f₁(x), f₂(x)...f_n(x), заданных на отрезке [а, b], равен сумме определенных интегралов от слагаемых функций:

5. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:
   
   

6. Если функция всегда положительна, либо всегда отрицательна на отрезке [а, b], то определенный интеграл представляет собой число того же знака, что и функция:

Формула Ньютона-Лейбница

Формула Ньютона-Лейбница устанавливает связь между определенным и неопределенным интегралами.

Теорема. Величина определенного интеграла от функции f(х) на отрезке [а, b] равна приращению любой из первообразных для этой функции на данном отрезке:

Из этой теоремы следует, что определенный интеграл есть число, в то время как неопределенный ‑ совокупность первообразных функций. Таким образом, согласно формуле для нахождения определенного интеграла необходимо:

1. Найти неопределенный интеграл от данной функции, положив С = 0.

2. Подставить в выражение первообразной вместо аргумента х сначала верхний предел b, затем нижний предел а, и вычесть из первого результата второй.

Вычисление определенных интегралов различными методами

При вычислении определенных интегралов используют методы, рассмотренные для нахождения неопределенных интегралов.

Метод непосредственного интегрирования

Этот метод основан на использовании табличных интегралов и основных свойств определенного интеграла.

ПРИМЕРЫ:

1) Найти

Решение:

2) Найти

Решение:

3) Найти

Решение:

Метод замены переменной интегрирования

ПРИМЕР:

1. Найти

Решение. Для нахождения интеграла воспользуемся методом замены переменной. Вводим новую переменную

u=3x ‑ 1, тогда du = 3dx, dx = . При введении новой переменной необходимо осуществить замену пределов интегрирования, так как новая переменная будет иметь другие границы изменения. Они находятся по формуле замены переменной. Так верхний предел будет равен и_b = 32 ‑ 1 = 5, нижний ‑ и_а =31 ‑ 1 = 2. Заменив переменную и пределы интегрирования, получим:

Метод интегрирования по частям

Этот метод основан на использовании формулы интегрирования по частям для определенного интеграла:

ПРИМЕР:

1) Найти

Решение:

Пусть u = ln x, dv = xdx, тогда

Отсюда

Применение определенного интеграла к вычислению различных величин.

Вычисление площади плоской фигуры

Ранее было показано, что определенный интеграл можно использовать для вычисления площади фигуры, заключенной между графиком функции у = f(x), осью Ох и двумя прямыми х = а и х = b.

Если функция у = f(x) находится ниже линии абсцисс, т.е. f(x)

Если функция у = f(x) несколько раз пересекает ось Ох, то необходимо отдельно найти площади для участков, когда f(x) 0, и сложить их с абсолютными величинами площадей, когда функция f(x)

ПРИМЕР 1. Найти площадь фигуры, ограниченной функцией у = sin х и осью Ох на участке 0  х  2.

Решение. Площадь фигуры будет равна сумме площадей:

S = S₁ + |S₂|,

где S₁ —_;площадь при у0; S₂ — площадь при у 0.