МРПЗ №3. Геометрические и механические приложения производной

ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

НОВОСИБИРСКОЙ ОБЛАСТИ

«БАРАБИНСКИЙ МЕДИЦИНСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

Рассмотрено на заседании ЦМК

Протокол № ____от________________

Председатель_____________________

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

ПРАКТИЧЕСКОГО ЗАНЯТИЯ ДЛЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ

Специальность 31.02.01 Лечебное дело

ДИСЦИПЛИНА ЕН.02. МАТЕМАТИКА

Раздел 1. Математический анализ

Тема 1.5. Основы дифференциального исчисления

Практическое занятие 3.

Геометрические и механические приложения производной.

Разработчик – преподаватель О.А. Потемкина

2019

Методический лист 3

Мотивация 3

Примерная хронокарта 4

Актуализация опорных знаний 5

Самостоятельная работа студентов на практическом занятии 6

Контролирующий материал 16

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы студентов 17

Список использованных источников 17

Выписка из рабочей программы

дисциплины ЕН.02. МАТЕМАТИКА для специальности 31.02.01 Лечебное дело

Методический лист

Тип занятия – учебное занятие по изучению и первичному закреплению знаний и способов деятельности.

Вид занятия – объяснение и решение задач.

Продолжительность – 90 мин.

Цели занятия:

1. Учебные цели:

• сформировать знание об основах дифференциального исчисления.

2. Развивающие цели:

• способствовать формированию ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

3. Воспитательные цели:

• создать условия для формирования ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

Методы обучения: объяснительно-иллюстративный, репродуктивный.

Место проведения занятия: аудитория колледжа.

Интегративные связи: физика, геометрия и все предметы, где используется математический аппарат.

Занятие хотелось бы провести под девизом Крылова Алексея Николаевича советского математика и кораблестроителя: «Теория без практики мертва или бесполезна, практика без теории невозможна или пагубна».

Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Умение решать задачи с применением производной требует хорошего знания теоретического материала, умения проводить исследование различных ситуаций.

Поэтому сегодня на занятии мы закрепим и систематизируем полученные знания, на примере некоторых задач рассмотрим применение производной в физике, биологии и геометрии.

Так же изучение данной темы позволит выполнить требования государственного образовательного стандарта СПО по специальности 31.02.01 Лечебное дело дисциплина ЕН.02. Математика, а так же будет способствовать формированию ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес, ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

Примерная хронокарта

1. Что называется производной функции в точке? (Производной функции у = f(x) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю).

2. Что вы знаете о производной (свойства, теоремы)?

3. Угол ее наклона выражает геометрический смысл производной. О чем идет речь? (О касательной).

4. Назовите раздел физики, помогающий понять физический смысл производной (Механика).

5. Кто был основоположником применения производной в механике (И. Ньютон)

6. В чем заключается геометрический смысл производной? (Значение производной f '(x) при данном значении аргумента равно тангенсу угла, образованного касательной к графику функции f(x) с положительным направлением оси Ох в точке М(х; f (x)).

7. Раздел математики, который изучает производные функции и их применения, называется (дифференциальным исчислением).

8. Для каждой функции из левого столбца найти ее производную из правого столбца.

Ответ: Лагранж, Ньютон

Термин «производная» – это буквальный перевод на русский derivee. Этот термин ввел Лагранж в 1797 году. А само понятие, задолго до Лагранжа, независимо друг от друга, ввели и активно использовали, заложив фундамент нового исчисления, Лейбниц и Ньютон.

Критерии оценки

«5» – двум первым студентам, сдавшим карточки с правильными ответами;

«4» – двум вторым студентам, сдавшим карточки с правильными ответами;

«3» –студентам, сдавшим карточки с правильными ответами;

«2» –студентам не справившимся с заданием.

Самостоятельная работа студентов на практическом занятии

по теме 1.5. Основы дифференциального исчисления

Практическое занятие 3.

Геометрические и механические приложения производной.

Математические задачи с практическим содержанием – это такие задачи, которые связаны с применением математики в технике, химии, медицине, экономики, физики, а также и в быту. Сегодня мы рассмотрим задачи, которые можно решить с помощью производной.

Мы уже знаем, что производная характеризует скорость изменения функции по отношению к изменению независимой переменной. В математике производная характеризует крутизну графика, в механике – скорость неравномерного прямолинейного движения, в экономике – отзывчивость производственной функции (выход продукта на единицу затрат), в биологии – скорость размножения микроорганизмов, в химии – скорость химической реакции. Среди многих задач наиболее важной является задача нахождения экстремума функции и связанная с ней задача нахождения наибольшего (наименьшего) значения соответствующих функций.

Если внимательно изучить вопрос применения производной в других областях, то можно составить вот такую таблицу:

• Мощность – это производная работы по времени P = A' (t).

• Сила тока – производная от заряда по времени I = q' (t), где q – положительный электрический заряд переносимый через сечение проводника, за время t.

• Сила – есть производная работы по перемещению F = A' (x).

• Теплоемкость – это производная количества теплоты по температуре
  C = Q' (t).

• Давление – производная силы по площади P = F'(S)

• Скорости течения химической реакции – производная количества вещества, вступающего в реакцию от времени V= m’(t).

Выполнение заданий на закрепление знаний и умений

Применение производной в механике

При изучении тех или иных процессов и явлений часто возникает задача определения скорости этих процессов. Её решение приводит к понятию производной, являющемуся основным понятием дифференциального исчисления.

Метод дифференциального исчисления был создан в XVII и XVIII вв. С возникновением этого метода связаны имена двух великих математиков – И. Ньютона и Г.В. Лейбница.

Ньютон пришёл к открытию дифференциального исчисления при решении задач о скорости движения материальной точки в данный момент времени (мгновенной скорости).

S = S(t)

V = S′(t) = x′(t) (скорость как производная пути),

a = V′(t) = S″(t)(ускорение как производная скорости).

Пример 1.

Найти скорость движения материальной точки в конце 3-й секунды, если движение точки задано уравнением

S = t² –11t + 30

Решение:

V = S′(t)

V (t) = (t² –11t + 30 )′= 2t – 11

V (3) =23 -11= - 5 (м/с)

Кинетическая энергия

Пример 2.

Тело массой 8 кг движется прямолинейно по закону S = 2t²+ 3t – 1.

Найти кинетическую энергию тела через 3 секунды после начала движения.

Решение:

Найдем скорость движения тела в любой момент времени:

V = S′(t)

V (t) = (2t²+ 3t – 1)′= 4t + 3

Вычислим скорость тела в момент времени t = 3:

V (3) =43 + 3 = 15 (м/с)

Определим кинетическую энергию тела в момент времени t = 3:

=(8 15²)/2=900 (Дж)

Задания закрепления

Механический смысл 1-й и 2-й производной

1. Точка движется по закону: s = -3t² + 7t -1 (t в секундах, s в метрах). Найти его скорость через 1 секунду от начала движения.

2. Найти ускорение тела, движущееся по закону f(t) = 2t³ - 3t² + 6t + 5 (t в секундах, s в метрах) через 2 секунды от начала движения.

3. Материальная точка движется по закону: s = f(t) = + 2t. Найти её ускорение в момент времени, когда скорость равна 1 м/с.

4. Тело массой 2 кг движется по закону: s = f(t) = 2t³ - 3t² +14t - 5. Найти силу, действующую на это тело, и его кинетическую энергию через 3 секунды от начала движения.

5. Температура тела Т изменяется в зависимости от времени по закону: Т = 0,2t² - 2t, где t – время в секундах, Т – температура в градусах. С какой скоростью нагревается тело в момент времени t₀ =5 с?

6. Материальная точка совершает гармоническое колебание по закону
   x(t) = 2sin 2 t. Найдите скорость точки в момент t = 0,5 с.

7. Размер популяции бактерий определяется формулой P(t) = 10⁶ + 10⁴t -10³t², где t – время в часах. Найдите скорость роста популяции при t = 2ч.

8. Концентрация раствора изменяется с течением времени по закону: Какой формулой будет определяться скорость растворения.

9. Зависимость между количеством вещества Q, полученной в некоторой химической реакции, и временем t выражается уравнением:

Q = 100t + 10e^-2t. Определить уравнение скорости реакции.

Эталоны ответов

1. 1 м/с;

2. 18 м/с²;

3. 2 м/с²;

4. 2500 Дж, 60Н.

5. 0;

6. -4;

7. 6000;

8. ;

9. 

Применение производной в геометрии

Производная в математике показывает числовое выражение степени изменений величины, находящейся в одной и тоже точке, под влиянием различных условий.

Формула производной встречается нам ещё в 15 веке. Великий итальянский математик Тартальи, рассматривая и развивая вопрос – на сколько зависит дальность полёта снаряда от наклона орудия – применяет её в своих трудах.

Формула производной часто встречается в работах известных математиков 17 века. Её применяют Ньютон и Лейбниц.

Посвящает целый трактат о роли производной в математике известный учёный Галилео Галилей. Затем производная и различные изложения с её применением стали встречаться в работах Декарта, французского математика Роберваля и англичанина Грегори. Большой вклад по изучению производной внесли такие умы, как Лопиталь, Бернулли, Лангранж и др.

Методами дифференциального исчисления можно проводить исследование функции на монотонность, на экстремумы, что помогает при построении графиков функций.

П режде всего, остановимся на геометрическом смысле производной.

Как известно, производная функции в точке х₀ равна тангенсу угла наклона касательной к графику этой функции, проведенной в точке х, то есть

,

– угол наклона касательной к графику в точке .

Заметим, что угол – это угол между прямой и положительным направлением оси Ох.

Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке x₀ имеет вид:

y = f(x₀) + f’(x₀)(x – x₀)

В этом уравнении:

x₀ – абсцисса точки касания,

f(x₀) – значение функции y = f(x) в точке касания,

f’(x₀) – значение производной функции y = f(x) в точке касания.

Приведем пример решения задач

Пример 3.

Написать уравнение касательной к кривой y=x² – 3x + 4 в точке с абсциссой x₀ = 0.

Решение. 

Находим значение функции в заданной точке:

y(x₀) = y(0) =4

Далее вычислим значение производной функции в точке x₀ = 0:

y’= (x² – 3x + 4)’ =(x²)’ – (3x)’ + (4)’= 2x – 3 

y’(0) = – 3, а тогда уравнение касательной запишется в виде:

y = 4 – 3(x – 0) или после упрощения:

y = - 3x +4

Ответ. Уравнение касательной:  y = - 3x +4

Применение производной к исследованию функций

Условия монотонности функции

Если функция непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b) и для х(a; b) { для х(a, b)}, то функция возрастает {убывает} на [a, b].

Исследование функции на экстремум

Точка х=х₀ называется точкой минимума функции , если существует некоторый интервал , в каждой точке х которого (точка х₀ на рис. 1а, 1б).

Точка х₀ называется точкой максимума функции , если существует некоторый интервал , в каждой точке х которого

(точки b, l на рис. 2).

Необходимое условие экстремума

Если х₀ – точка экстремума функции, то либо , либо не существует производной в этой точке (такие точки называют стационарными).

Замечание. Это условие является необходимым, но не достаточным условием экстремума. Может быть так, что в точке х₀ (рис. 3а) или не существует (рис. 3б), и в этой точке функция не имеет экстремума.

Достаточные условия экстремума

Пусть функция дифференцируема на интервалах (а; х₀) и (х₀; b) и х₀ – стационарная точка. Тогда:

1. Если при переходе через точку х₀ производная меняет знак с «–» на «+», то х₀ – точка минимума функции.

2. Если при переходе через точку х₀ производная меняет знак с «+» на «–», то х₀ – точка максимума функции.

Результаты исследования обычно заносятся в таблицу.

Алгоритм исследования функции на экстремум

1. Найти .

2. Найти точки, в которых: или – не существует.

3. Все точки нанести на числовую прямую и найти знаки производной на каждом из полученных интервалов.

4. Занести результаты в таблицу, например:

Пример 4.

Исследовать функцию на экстремум и построить схематично график.

Решение.

1. Найдем .

2. Найдем точки, в которых (функция дифференцируема для всех х).

.

1. В данном случае удобно воспользоваться исследованием знака на числовой прямой.

Таким образом, в точке х=1 нет экстремума, но в этой точке , то есть касательная параллельна оси Ох, .

Чтобы построить график, найдем дополнительные точки.

Точки пересечения с осью Ох:

 

.

или

– уравнение не имеет решений.

Строим график.

Задания для закрепления

Геометрический смысл производной

1. Найти тангенс угла наклона касательной к графику функции
у = + в точке с абсциссой х₀ = .

2. В какой точке графика функции у = 4 - х тангенс угла наклона касательной равен 1?

3. В какой точке касательная, проведённая к графику функции у = 2 - х² - х, параллельна прямой y=5х - 3 ?

4. Написать уравнение касательной, проведённой к графику функции
у = х² -4х + 3 с абсциссой х₀ = 1.

Приложения производной к исследованию функций

1. Определить промежутки убывания функции у = -3х² +12х-5.

2. Найти промежутки возрастания функции y = .

3. Исследовать функцию у = -2х²+3х + 4 на экстремум.

4. Исследовать функцию у = + х² +1 на монотонность и экстремум.

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = 4х - х² на отрезке [1; 5].

Эталоны ответов

Геометрический смысл производной

1. -15;

2. ±1;

3. -3;

4. .

Приложения производной к исследованию функций

1. f(x) (2;+∞);

1. f(x) (-1,5;+∞);

1. x_max=1, x_min=3;

1. x_max=-2, x_min=0, f(x) (-2;0), f(x) (-∞;-2) (0;+∞);

2. y_max=4, y_min=-5.

Дополнительные задания для самостоятельной работы

1. Точка движется прямолинейно по закону s = 6t – t². В какой момент ее скорость окажется равной нулю?

2. Два тела движутся прямолинейно: одно по закону s = t³ – t² – 27t, другое – по закону s =- t² + 1. Определить момент, когда скорости этих тел окажутся равными.

3. Найти кинетическую энергию тела через 4 с после начала движения, если его масса равна 25 кг, а закон движения имеет вид s = 3t²– 1.

4. Материальная точка движется по закону s = 2t³ – 6t² + 4t. Найти ее ускорение в конце 3-й секунды.

Эталоны ответов

1. 3;

2. 3;

3. 6612,5

4. 24.

по теме «Применение производной»

1 вариант

1. Найдите тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной, проведённой к графику функции
   f(x) = 2sin x в точке x₀ = .

2. Напишите уравнение касательной, проведённой к графику функции f(x) = x² + 2x – 1 в точке x₀ = 1.

3. Материальная точка движется прямолинейно по закону . Найдите скорость точки в момент времени t = 3.

4. Определите промежутки монотонности и экстремумы функции .

Вариант 2

1. Найдите тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной, проведённой к графику функции
   f(x) = 4cos x в точке x₀ = .

2. Напишите уравнение касательной, проведённой к графику функции f(x) = x² - 3x + 1 в точке x₀ = 2.

3. Материальная точка движется прямолинейно по закону . Найдите скорость точки в момент времени t = 2.

4. Определите промежутки монотонности и экстремумы функции .

Эталоны ответов

Критерии оценки

«5» – все задания выполнены, верно;

«4» – 3 задания выполнены, верно;

«3» – 2 или хотя бы 1 задание выполнено, верно;

«2» –не выполнено ни одного задания.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы студентов

1. Конспект

2. Работа с учебником [1, стр. 78, задание №15, контрольные вопросы]

Список использованных источников

1. Гилярова М.Г. Математика для медицинских колледжей. – Ростов н/Д: Феникс, 2011. – 410, [1] с. – (Медицина)

2. Математика: учеб. пособие / В.С. Михеев [и др.]; под ред. Н.М. Демина. – Ростов н/Д : Феникс, 2009. – 896 с. – (Среднее профессиональное образование).