Научно-исследовательский проект по математике "История возникновения дробей"

МБОУ «Красноуральская средняя общеобразовательная школа Оренбургского района» Оренбургской области

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ

«История возникновения дробей»

Выполнили:

Винокурова Полина Михайловна, 5 «Б» класс,

Кандыба Александра Денисовна, 5 «Б» класс

Руководитель:

Верховцева Татьяна Павловна,

учитель математики

Село имени 9 Января

2017

Оглавление

Введение………………………………………………………………...	3
§1 Из истории возникновения обыкновенных дробей:
1.1 Возникновение дробей……………………………………………	4
1.2 Дроби в Древнем Вавилоне………………………………………	4
1.3 Дроби в Древнем Риме……………………………………………	5
1.4 Дроби в Древнем Египте…………………………………………	6
1.5 Дроби Древней Греции…………………………………………...	9
1.6 Дроби на Руси……………………………………………………...	10
1.7 Дроби в Древнем Китае…………………………………………..	12
1.8 Дроби в других государствах древних и средних веков……..	12
1.9 История возникновения десятичных дробей………………….	13
Заключение…………………………………………………………….	15
Список литературы…………………………………………………...	16
Приложение…………………………………………………………….	17

Введение

На уроках математики мы начали изучать дроби. Они показались нам очень необычными числами, начиная с их непривычной записи и заканчивая сложными действиями с ними. Оказывается, все вокруг нас, так или иначе, связано с дробями. Нам стало интересно узнать, как люди обходились без дробей раньше, где впервые появились дроби, как люди их обозначали, кто придумал правила работы с дробями. Хотя слово «придумал», наверное, не очень подходит, потому что в математике все должно быть проверено и доказано, поскольку все науки опираются на четкие математические законы, действующие во всем мире.

К сожалению, на уроках математики при изучении темы «Дроби» очень мало внимания было уделено истории развития дробей, поэтому мы решили рассмотреть данный вопрос более основательно.

Объект исследования: обыкновенные дроби.

Предмет исследования: история возникновения обыкновенных дробей.

Цель исследования: изучить вопрос об истории возникновения обыкновенной дроби.

Задачи исследования:

1. Определить происхождение слова «дробь»

2. Обобщить исторический материал: когда и где впервые упоминается о дробях.

3. Составить опорные таблицы способов записи дроби в разные эпохи и у разных народов.

4. Кратко оформить собранный материал в буклет и распространить его среди учащихся 5-6-х классов.

5. Представить защиту проекта в виде презентации на кружке «В гостях у Пифагора»

В ходе работы над проектом мы узнали много новых терминов и понятий, познакомились с историей математики многих стран, поломали голову, решая задачки, и разбирая решение, предложенное древними учеными. А еще провели опрос учащихся 5-6 классов по интересующим нас вопросам (анкетирование представлено в приложении).

В процессе работы нами были обработаны ряд учебной, научной и энциклопедической литературы, интернет-сайты. Список литературы прилагается.

Как итог нашей работы выполнен буклет и презентация.

§1. Из истории обыкновенных дробей

1.1 Возникновение дробей

Не секрет, что первыми люди стали использовать для счета натуральные числа. Однако при дележе добычи, состоящей из нескольких убитых животных, между охотниками часто возникали споры, которые могли привести первобытного человека к делению целого на равные части, т.е. к понятию о дробном числе. Кроме того, в жизни человеку приходилось не только считать предметы, но и измерять величины. Люди встретились с измерениями длин, площадей земельных участков, объемов, массы тел. При этом случалось, что единица измерения не укладывалась целое число раз в измеряемой величине. И люди выбирали более мелкую единицу для измерения, т.е. «делили» целое на более мелкие, но равные части.

Таким образом, еще с древних времен, понятие «дробь» стало неразрывным с процессом деления целого на равные части. Так русское слово дробь, как и его аналоги в других языках, происходят от латинского слова fractura, которое, в свою очередь, является переводом арабского с тем же значением: ломать, раздроблять. Первой дробью, с которой познакомились люди, была половина. Следующей дробью была треть. В древности у разных народов использовались разные дроби и разные записи дробей. Система записи дробей, правила действий с ними заметно различались как у разных народов, так и в разные времена у одного и того же народа. Важную роль играли также многочисленные заимствования идей при культурных контактах различных цивилизаций.

1.2 Дроби в Древнем Вавилоне.

Впервые дроби мы встречаем в математике древнего Вавилона. Вавилоняне пользовались всего двумя цифрами. Вертикальная черточка обозначала единицу, а угол из лежащих двух черточек – десять. А вот в качестве знаменателя они использовали число 60. Ученые этот факт связывают с тем, что вавилонская денежная и весовая единицы измерения подразделялись в силу исторических условий на 60 равных частей: 1 талант = 60 мин; 1 мина = 60 шекель. Шестидесятые доли были привычны в жизни вавилонян. Вот почему они пользовались шестидесятеричными дробями, имеющими знаменателем всегда число 60 или его степени. Это первые в мире систематические дроби, т.е. дроби, у которых знаменателем являются степени одного и того же числа. Пользуясь такими дробями, вавилоняне должны были многие дроби изображать приближенно. В этом недостаток и в то же время преимущество этих дробей. Эти дроби стали постоянным орудием научных вычислений греческих, а затем арабоязычных и средневековых европейских ученых вплоть до XV века, пока не уступили место десятичным дробям. Но шестидесятеричными дробями пользовались в астрономии ученые всех народов вплоть до XVII, называя их астрономическими дробями.

Интересно то, что операции деления в Вавилоне не существовало. Деление числа m на число n вавилоняне сводили к умножению числа m на дробь 1\ n. Т.е. в Вавилоне активно пользовались таблицами обратных величин. Кроме того, для вычислений с дробями вавилоняне составляли обширнейшие таблицы, выражавшие в шестидесятиричных дробях основные дроби.

Сложение и вычитание дробей вавилонянами производилось аналогично соответствующим действиям над целыми числами и десятичными дробями в нашей позиционной системе счисления. Но как умножалась дробь на дробь? В Вавилоне высоко развита была измерительная геометрия (землемерие, измерение площадей), что позволяет предположить применение вавилонянами этих знаний при умножении дробей. В Вавилоне рассматривали только конечные шестидесятеричные дроби, в области которых деление было не всегда выполнимо. Кроме того, у них в обиходе были дроби 1\2, 1\3, 2\3, 1\4, 1\5, 1\6, 5\6, для которых существовали индивидуальные знаки.

Следы вавилонской шестидесятеричной системы счисления удержались в современной науке при измерении времени и углов. До наших дней сохранилось деление часа на 60 минут, минуты на 60 секунд, окружности на 360 градусов, градуса на 60 минут, минуты на 60 секунд Минута означает по-латыни «маленькая часть», секунда- «вторая» маленькая часть . [2]

1.3 Дроби в Древнем Риме.

Интересная система дробей была в Древнем Риме. Римляне пользовались, в основном, только конкретными дробями. Эта система дробей основывалась на делении на 12 долей единицы веса, которая называлась асс. Так возникли римские двенадцатеричные дроби, т.е. дроби у которых знаменатель всегда был двенадцать. Двенадцатую долю асса называли унцией. Вместо 1\12 римляне говорили «одна унция», 5\12 – «пять унций» и т.д. Три унции назывались четвертью, четыре унции – третью, шесть унций – половиной. А путь, время и другие величины сравнивали с наглядной вещью- весом. Для дробей, получающихся сокращением дробей со знаменателем 12 или раздроблением двенадцатых долей на более мелкие, были особые названия. Всего применялось 18 различных названий дробей. Например, в ходу были такие названия:
“скрупулус” - 1/288 асса,

”семис”- половина асса,

“секстанс”- шестая его доля,

“семиунция”- половина унции, т.е. 1/24 асса и т.д.

Чтобы работать с такими дробями, надо было помнить для этих дробей таблицу сложения и таблицу умножения. Поэтому римские купцы твёрдо знали, что при сложении триенса (1/3 асса) и секстанса получается семис, а при умножении беса (2/3 асса) на сескунцию ( 2/3 унции, т.е.1/8 асса) получается унция. Для облегчения работы составлялись специальные таблицы, некоторые из которых дошли до нас.

Унция обозначалась чертой - ,половина асса (6 унций) – буквой S (первой в латинском слове Semis-половина). Эти два знака служили для записи любой двенадцатеричной дроби, каждая из которых имела свое название. Например, 7\12 записывались так: S-.

Ещё в первом веке до нашей эры выдающийся римский оратор и писатель Цицерон говорил: “Без знания дробей никто не может признаваться знающим арифметику!”.

Характерен следующий отрывок из произведения знаменитого римского поэта I века до нашей эры Горация, о беседе учителя с учеником в одной из римских школ той эпохи:

- Учитель: Пусть скажет Сын Альбина, сколько останется, если от пяти унций отнять одну унцию!

- Ученик: Одна треть.

- Учитель: Правильно, ты хорошо знаешь дроби и сумеешь сберечь своё имущество. [2]

1.4 Дроби в Древнем Египте

Древний Египет славился высокоразвитой архитектурой. Это требовало точности в вычислениях длины, площади, объема и т.д. При изучении записей на папирусах, ученые узнали, что египтяне 4000 лет назад имели десятичную систему счисления, умели решать задачи, связанные со строительством, торговлей, военным делом. На протяжении многих веков египтяне именовали дроби “ломаным числом”, а первая дробь, с которой они познакомились, была 1/2. За ней последовали 1/4, 1/8, 1/16, …, затем 1/3, 1/6, …, т.е. самые простые дроби, называемые единичными, у которых числитель равен единице (т.е., которые мы называем «долями»). Математики называют такие дроби аликвотными (от лат. aliquot – несколько). Так же используется название основные дроби или единичные дроби.

Египтяне ставили иероглиф

(ер, «[один] из» или ре, рот) над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а в священных текстах использовали линию. К примеру:

Египтяне использовали только две дроби не являющиеся долями – две трети и три четверти. Эти дроби часто встречались в вычислениях. Для них существовали специальные символы, был специальный знак и для дроби 1/2.

Иероглиф	Значение	Примерная величина
	большая часть глаза	1/2 (или 32/64)
	зрачок	1/4 (или 16/64)
	бровь	1/8 (или 8/64)
	меньшая часть глаза	1/16 (или 4/64)
	капля слезы (?)	1/32 (или ²/64)
	знак сокола (?)	1/64
	Уаджет	63/64

Кроме того, египтяне использовали формы записи, основанные на иероглифе Глаз Гора (Уаджет). Для древних характерно переплетение образа Солнца и глаза. В египетской мифологии часто упоминается бог Гор, олицетворяющий крылатое Солнце и являющийся одним из самых распространенных сакральных символов. В битве с врагами Солнца, воплощенными в образе Сета, Гор сначала терпит поражение. Сет вырывает у него Глаз — чудесное око — и разрывает его в клочья. Тот — бог учения, разума и правосудия — снова сложил части глаза в одно целое, создав "здоровый глаз Гора". Изображения частей разрубленного Ока использовались при письме в Древнем Египте для обозначения дробей от ¹/₂ до ¹/_{64 .} [6]

Сумма шести знаков, входящих в Уаджет, и приведенных к общему знаменателю: 32/64 + 16/64 + 8/64 + 4/64 + 2/64 + 1/64 = 63/64

Такие дроби использовались вместе с другими формами записи египетских дробей для того, чтобы поделить хекат, основную меру объёма в Древнем Египте. Эта комбинированная запись также использовалась для измерения объёма зерна, хлеба и пива. Если после записи количества в виде дроби Глаза Гора оставался какой-то остаток, его записывали в обычном виде кратно ро, единице измерения, равной 1/320 хеката.

Например, так:

При этом «рот» помещался перед всеми иероглифами.

Хекат ячменя: ¹/₂ + ¹/₄ + ¹/₃₂ (то есть ²⁵/₃₂ сосуда ячменя).

Хекат равнялся примерно 4,785 литрам.

Всякую другую дробь египтяне представляли как сумму аликвотных дробей, например 9/16 = 1/2+1/16; 7/8=1/2+1/4+1/8 и так далее.

Это записывалось так: /2 /16; /2 /4 /8.

В некоторых случаях это кажется достаточно просто. Например, 2/7 = 1/7 + 1/7. Но ещё одним правилом египтян было отсутствие в ряду дробей повторяющихся чисел. То есть 2/7, по их мнению, было 1/4+1/28.

Сейчас сумма нескольких аликвотных дробей называется египетской дробью. Другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число.

Проводить различные вычисления, выражая все дроби через единичные, было, конечно, очень трудно и отнимало много времени. Поэтому египетские ученые составили специальные таблицы разложений дробей на простейшие. Математические документы древнего Египта-это не научные трактаты по математике, а практические учебники с примерами, взятыми из жизни. Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях является Математический папирус Ринда. Три более древних текста, в которых упоминаются египетские дроби — это Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима. Самый древний памятник египетской математики, так называемый «Московский папирус», - документ XIX века до нашей эры. Он был приобретен в 1893 году собирателем древних сокровищ Голенищевым, а в 1912 году перешел в собственность Московского музея изящных искусств. В нем содержалось 25 различных задач.

Самый большой математический документ - папирус по руководству к вычислениям писца Ахмеса - найден в 1858 году английским коллекционером Райндом. Папирус составлен в XVII веке до нашей эры. Его длина 20 метров, ширина 30 сантиметров. Он содержит 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей.

Папирус Ахмеса начинается с таблицы, в которой все дроби вида 2\n- от 2/5 до 2/99 записаны в виде сумм аликвотных дробей. Умели египтяне также умножать и делить дроби. Но для умножения приходилось умножать доли на доли, а потом, быть может, снова использовать таблицу. Еще сложнее обстояло дело с делением. [2]

Вот одна задача из папируса Ахмеса, демонстрирующая применение аликвотных дробей: «Разделить 7 хлебов между 8 людьми».
Если резать каждый хлеб на 8 частей, придется провести 49 разрезов.
А по-египетски эта задача решалась так. Дробь 7/8 записывали в виде долей: 1/2 + 1/4 + 1/8. Значит, каждому человеку надо дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба; поэтому четыре хлеба разрезаем пополам, два хлеба - на 4 части и один хлеб - на 8 долей, после чего каждому даем его часть.

Египетские дроби продолжали использоваться в древней Греции и, впоследствии, математиками всего мира до средних веков, несмотря на имеющиеся к ним замечания древних математиков. К примеру, Клавдий Птолемей говорил о неудобстве использования египетских дробей по сравнению с Вавилонской системой (позиционная система исчисления). Важную работу по исследованию египетских дробей провёл математик XIII века Фибоначчи в своём труде «Liber Abaci» -  это вычисления, использующие десятичные и обычные дроби, вытеснившие со временем египетские дроби. Фибоначчи использовал сложную запись дробей, включавшую запись чисел со смешанным основанием и запись в виде сумм дробей, часто использовались и египетские дроби. Также в этой книге были приведены алгоритмы перевода из обычных дробей в египетские.

1.5 Дроби в Древней Греции.  

Греки считали, что дроби можно использовать только в логистике. Греки свободно оперировали всеми арифметическими действиями с дробями, но числами их не признавали. В греческих сочинениях по математике дробей не встречалось. Греческие ученые считали, что математика должна заниматься только целыми числами. Возиться с дробями они предоставляли купцам, ремесленникам, а также астрономам, землемерам, механикам и другому «черному люду». «Если ты захочешь делить единицу, математики высмеют тебя и не позволят это делать»,- писал основатель афинской академии Платон.

Но не все древнегреческие математики соглашались с Платоном. Так в трактате «Об измерении круга» Архимед употребляет дроби. С дробями свободно обращался и Герон Александрийский. Он подобно египтянам разбивает дробь на сумму основных дробей. Вместо 12\13 он пишет 1\2 + 1\3 + 1\13 + 1\78, вместо 5\12 пишет 1\3 + 1\12 и т.п.

Поскольку греки работали с обыкновенными дробями лишь эпизодически, они использовали различные обозначения. Герон и Диофант записывали дроби в алфавитной форме, причем числитель располагали под знаменателем. Для некоторых дробей применялись отдельные обозначения, например, для 1\2 - L′′, но в целом их алфавитная нумерация с трудом позволяла обозначать дроби.

Для единичных дробей применялась особая запись: знаменатель дроби сопровождался штрихом справа, числитель не писали. Например, в алфавитной системе означало 32, а ' – дробь 1\32. Встречаются такие записи обыкновенных дробей, в которых числитель со штрихом и дважды взятый знаменатель с двумя штрихами пишутся рядом в одной строке. Вот как записывал, например, Герон Александрийский дробь 3\4: .[6]

В древних источниках встречается и такая запись: сверху знаменатель, а под ним- числитель дроби. Еще за 2-3 столетия до Евклида и Архимеда греки свободно владели арифметическими действиями с дробями.

1.6 Дроби на Руси

В русском языке слово «дробь» появилось в VIII веке. Происходит слово «дробь» от слов «дробить, разбивать, ломать на части». В первых учебниках математики (VII в.) дроби называли долями, позднее «ломаными числами». При записи числа использовалась горизонтальная черта.

В старых руководствах есть следующие названия дробей на Руси:

1/2 - половина, полтина

1/3 – треть

1/4 – четь

1/6 – полтреть

1/8 - полчеть

1/12 –полполтреть

1/16 - полполчеть

1/24 – полполполтреть (малая треть)

1/32 – полполполчеть (малая четь)

1/5 – пятина

1/7 - седьмина

1/10 – десятина.

Первый русский математик, известный нам как монах Новгородского монастыря Кирик занимался вопросами хронологии и календаря. В его рукописной книге «Учение им же ведати человеку числа всех лет» (1136 г.), т.е. «Наставление, как человеку познать счисление лет» применяется деление часа на пятые, двадцать пятые и т.д. доли, которые он называл «дробными часами» или «часцами». Доходит он до седьмых дробных часов, которых в дне или ночи 937 500, причем говорит, что от седьмых дробных уже ничего не получается. [6]

Использовалась в России земельная мера четверть и более мелкая –

получетверть, которая называлась осьмина. Это были конкретные дроби, единицы для измерения площади земли, но осьминой нельзя было измерить время или скорость и др. Значительно позднее осьмина стала означать отвлеченную дробь 1/8, которой можно выразить любую величину.

О применении дробей в России XVII века можно прочитать в книге В.Беллюстина «Как постепенно люди дошли до настоящей арифметики» следующее: «В рукописи XVIIв. «Статия численная о всяких долях указ «начинается прямо с письменного обозначения дробей и с указания числителя и знаменателя. При выговаривании дробей интересны такие особенности: четвертая часть называлась четью, доли же со знаменателем от 5 до 11 выражались словами с окончанием «ина», так что 1/7 – седмина, 1/5 – пятина, 1/10 – десятина; доли же со знаменателями, большими 10, выговаривались с помощью слов «жеребей», например 5/13 – пять тринадцатых жеребьёв. Нумерация дробей была прямо заимствована из западных источников… Числитель назывался верхним числом, знаменатель исподним». [7]

С XVI века в России большой популярностью пользовался дощаной счет – вычисления при помощи прибора, бывшего прообразом русских счетов. Он позволял быстро и легко производить сложные арифметические действия. Дощаной счет имел весьма широкое распространение среди торговцев, служащих московских приказов, «мерщиков» - землемеров, монастырских экономов и т.д.

В первоначальной форме дощаной счет был специально приспособлен к нуждам сошной арифметики. Это система налогового обложения в России 15—17 вв., при которой, наряду со сложением, вычитанием, умножением и делением целых чисел, надо было производить те же операции и с дробями, поскольку условная единица обложения — соха, делилась на части.

Дощаный счёт представлял собой два складывающихся ящика. Каждый ящик разгораживался надвое (позже только внизу); второй ящик был необходим ввиду особенностей денежного счёта. Внутри ящика на натянутые шнуры или проволоку нанизывались кости. В соответствии с десятичной системой счисления ряды для целых чисел имели по 9 или 10 костей; операции с дробями производились на неполных рядах: ряд из трёх костей составлял три трети, ряд из четырёх костей — четыре четверти (чети). Ниже располагались ряды, в которых было по одной кости: каждая кость представляла половину от той дроби, под которой она располагалась (например, кость расположенная под рядом из трех костей, составляла половину от одной трети, кость под ней — половину от половины одной трети, и т. д.). Сложение двух одинаковых «сошных» дробей дает дробь ближайшего высшего разряда, например, 1/12+1/12=1/6 и т.п. На счетах сложение двух таких дробей соответствует переход к ближайшей вышестоящей костяшке.

Дроби суммировались без приведения к общему знаменателю, например «четь да полтрети, да полполчети» (1/4 + 1/6 + 1/16). Иногда операции с дробями производились как с целыми при помощи приравнивания целого (сохи) к определённой сумме денег. Например, при равенстве соха = 48 денежным единицам приведённая выше дробь составит 12 + 8 + 3 = 23 денежные единицы.

В сошной арифметике приходилось иметь дело и с более мелкими дробями. В некоторых рукописях приводятся чертежи и описания «дщиц счетных», аналогичных только что рассмотренным, но с большим числом рядов с одной костью, так что на них можно откладывать доли до 1/128 и 1/96. Несомненно, что изготовлялись и соответствующие приборы. Для удобства вычислителей приводилось много правил «Свода мелких костей», т.е. сложения употребительных в сошном счете дробей, вроде: три чети сохи да полчети сохи да пол-полчети сохи и т.д. вплоть до пол-пол-пол-пол-полчети сохи составляют соху без пол-пол-пол-пол-полчети, т.е. 3/4+1/8+1/16+1/32 +1/64 + 1/128 = 1 - 1/128 и т.п.

Но из дробей рассматривались только 1/2 и 1/3, а также полученные из них при помощи последовательного деления на 2. Для действий с дробями других рядов "дощатый счет" приспособлен не был. При оперировании с ними нужно было обращаться к специальным таблицам, в которых приводились итоги разного сочетания дробей.

1.7 Дроби в Древнем Китае

В Древнем Китае пользовались десятичной системой мер, обозначая дроби словами, используя меры длины ЧИ: цуни, доли, порядковые, шерстинки, тончайшие, паутинки.

В Китае практически все арифметические операции с обыкновенными дробями были установлены уже ко II в. до н. э.; они описаны в фундаментальном своде математических знаний древнего Китая – «Математике в девяти книгах», под редакцией Чжан Цану. Умножение дробей представлялось как нахождение площади прямоугольного земельного участка, длина и ширина которого выражены дробными числами. Деление рассматривалось с помощью идеи дележа, при этом китайских математиков не смущало, что число участников дележа может быть дробным, например, 3⅓ человека.

Первоначально китайцы использовали простейшие дроби, которые получили наименования с использованием иероглифа бань :

бань («половина») –1\2;

шао бань («малая половина») –1\3;

тай бань («большая половина») –2\3. [6]

В «Цзю чжан суань шу» («Правила счета в девяти разделах») дробь рассматривается как часть целого, которая выражается в n-ном числе его долей-фэнь – m (n

В первом разделе «Цзю чжан суань шу», посвященном в целом измерению полей, отдельно приводятся правила сокращения, сложения, вычитания, деления и умножения дробей, а также их сравнения и «уравнивания», т.е. такого сравнения трех дробей, при котором необходимо найти их среднее арифметическое.

Деление дробей в «Цзю чжан суань шу» отличается от принятого сегодня. В правиле «цзин фэнь» («порядок деления») указывается, что перед делением дробей их следует привести к общему знаменателю. Таким образом, процедура деления дробей имеет излишний этап: a/b : c/d = ad/bd : cb/bd = ad/cb. Только в V в. Чжан Цю-цзянь в своем сочинении «Чжан Цю-цзянь суань цзин» («Счетный канон Чжан Цю-цзяня») от него избавился, производя деление дробей по обычному правилу: a/b : c/d = ad/cb.

1.8 Дроби в других государствах древности и средних веков.

Дальнейшее развитие понятия обыкновенной дроби было достигнуто в Индии. Математики этой страны сумели достаточно быстро перейти от единичных дробей к дробям общего вида. Впервые такие дроби встречаются в «Правилах веревки» Апастамбы (VII-Vв. до н.э.), которые содержат геометрические построения и результаты некоторых вычислений. В Индии использовалась система записи – возможно, китайского, а возможно, позднегреческого происхождения, – при которой числитель дроби писался над знаменателем – как у нас, но без дробной черты, зато вся дробь помещалась в прямоугольную рамку. Иногда использовалось и «трехэтажное» выражение с тремя числами в одной рамке; в зависимости от контекста это могло обозначать неправильную дробь (a + b/c) или деление целого числа a на дробь b/c.

Правила действий с дробями, изложенные индийским ученым Брамагуптой (VIII в.), почти не отличались от современных. Как и в Китае, в Индии для приведения к общему знаменателю долгое время перемножали знаменатели всех слагаемых, но с IX в. пользовались уже наименьшим общим кратным.

В арабских странах пользовались тремя системами записи дробей. Во-первых, на индийский манер, записывая знаменатель под числителем; дробная черта появилась в конце XII – начале XIII в. Во-вторых, чиновники, землемеры, торговцы пользовались исчислением аликвотных дробей, похожим на египетское, при этом применялись дроби со знаменателями, не превышающими 10 (только для таких дробей арабский язык имеет специальные термины); часто использовались приближенные значения; арабские ученые работали над усовершенствованием этого исчисления. В-третьих, арабские ученые унаследовали вавилонско-греческую шестидесятеричную систему, в которой, как и греки, применяли алфавитную запись, распространив ее и на целые части.

1.9 История возникновения десятичных дробей

Уже несколько тысячелетий человечество пользуется дробными числами, а вот записывать их удобными десятичными знаками стали значительно позже.

Появились десятичные дроби в трудах арабских математиков в Средние века и независимо от них в древнем Китае.

В Западной Европе XVI в. вместе с широко распространённой десятичной системой представления целых чисел в расчётах повсюду применялись шестидесятеричные дроби, восходящие ещё к древней традиции вавилонян. Только нидерландский математик Симон Стевин привел запись и целых, и дробных чисел в единую систему. По-видимому, толчком создания десятичных дробей послужили составленные им таблицы сложных процентов. В 1585 г. он опубликовал книгу “Десятина”, в которой объяснил десятичные дроби.

Более полную и систематическую трактовку получают десятичные дроби в трудах среднеазиатского ученного аль-Каши в 20-х годах XV в.

Среднеазиатский город Самарканд был в XV в. большим культурным центром. Там в знаменитой обсерватории, созданной видным астрономом Улугбеком, внуком Тамерлана, работал в 20-х годах XV в. крупный ученый того времени – Джемшид Гиясэддин ал-Каши. Это он впервые изложил учение о десятичных дробях. В своей книге «Ключ арифметики», написанной в 1427 г., аль-Каши пишет: «Астрономы применяют дроби, последовательными знаменателями которых являются 60 и его последовательные степени. По аналогии мы ввели дроби, в которых последовательными знаменателями являются 10 и его последовательные степени». Он вводит специфическую для десятичных дробей запись: целая и дробная часть пишутся в одной строке. Для отделения первой части от дробной он не применяет запятую, а пишет целую часть черными чернилами, дробную же – красными или отделяет целую часть от дробной вертикальной чертой.

К сожалению, открытие десятичных дробей аль-Каши стало известно в Европе лишь спустя 300 лет после того, как эти дроби были в конце XVI в. заново открыты С. Стевиным.

В 1579 году десятичные дроби применяются в «Математическом каноне» французского математика Франсуа Виета (1540-1603), опубликованном в Париже. В этом сочинении, представляющем собой собрание тригонометрических таблиц, Виет решительно выступил в пользу употребления, как он выражался, тысячных и тысяч, сотых и сотен, десятых и десятков и т.д. взамен шестидесятеричной системы целых и дробей. Однако, при записи десятичных дробей Виет не придерживался какого-либо одного обозначения.

В России первые систематические сведения о десятичных дробях встречаются в “Арифметике” Магницкого (1703г.)

С начала XVII века начинается интенсивное проникновение десятичных дробей в науку и практику. Развитие техники, промышленности и торговли требовали все более громоздких вычислений, которые с помощью десятичных дробей легче было выполнять.

Широкое применение десятичные дроби получили в XIX веке после введения тесно связанной с ними метрической системы мер и весов. Например, в сельском хозяйстве и промышленности десятичные дроби и их частный вид – проценты – применяются намного чаще, чем обыкновенные дроби.

В Англии в качестве знака, отделяющего целую часть от дробной, была введена точка. Запятая, как и точка, в качестве разделительного знака была предложена в 1617 году математиком Непером.

Заключение.

Учение о дробях считалось самым трудным разделом математики во все времена и у всех народов. Кто знал дроби, тот был в почете. Автор одной из старинных славянских рукописей XVв. пишет: «Несть се дивно, что …в целых, но есть похвально, что в долях…».

Проведя наше исследование, мы делаем вывод, что история обыкновенных дробей – это долгая кропотливая работа не только гениальных ученых – математиков, но и всего народа с его богатым жизненным опытом. Работая по данной теме, мы узнали много нового и интересного, прочитали много книг и разделов из энциклопедий, статей в сети Интернет. Познакомились с истоками возникновения первых дробей, с теми терминами, которыми оперировали люди, с понятием аликвотная дробь, узнали имена ученых, внесших свой вклад в развитие учения о дробях. Знакомясь с историей возникновения дробей, мы встретили много интересных старинных задач на действия с дробями, которые мы разберем на нашем кружке «В гостях у Пифагора».

Мы считаем, что цель и задачи нашего исследования достигнуты. Материал, собранный нами в процессе работы можно использовать для расширения знаний учащихся о дробях, для поддержания интереса к изучению математики. Для этого нами была составлена презентация по нашей работе, выпущен буклет «История возникновения дробей», а так же созданы опорные таблицы о способах записи дробей разных стран и эпох.

Работая над данной темой, мы поняли насколько велик и безумно интересен мир математики и как много еще нам предстоит узнать и открыть.

Список литературы

1. Бородин А.И. Из истории арифметики. Головное издательство «Вища школа»-К.,1986

2. Валах В.Я. Путешествие в мир чисел, Киев, «Советская школа», 1978, 99страниц

3. Виленкин Н.Я., Жоков В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И., Математика, Москва, Мнемозина, 2013, 279 страниц

4. Глейзер Г. И. История математики в школе: IV-VI кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1981.

5. Игнатьев Е.И. В царстве смекалки. Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука»,М.,1978.

6. Энциклопедия для детей. Том 11. Математика. Москва, «Аванта+»,1998.

Сайты сети Интернет

1. www.referatwork.ru

2. http://storyof.ru/chisla/istoriya-poyavleniya-matematicheskoj-drobi/

3. http://freecode.pspo.perm.ru/436/work/ss/ist_ch.html/

4. http://revolution.allbest.ru/mathematics/

5. http://www.researcher.ru/methodics/teor/

6. http://kindlebook.ru/referat/bystro/istoriia-vozniknoveniia-desiatichnykh-drobei/

7. http://fb.ru/article/236507/drobi-istoriya-drobey-istoriya-vozniknoveniya-obyiknovennyih-drobey

8. http://allforchildren.ru/why/when9.php

9. www.referatwork.ru

10. http://storyof.ru/chisla/istoriya-poyavleniya-matematicheskoj-drobi/

11. http://freecode.pspo.perm.ru/436/work/ss/ist_ch.html/

12. http://revolution.allbest.ru/mathematics/

13. http://www.researcher.ru/methodics/teor/

Приложение №1

Анкетирование.

Нами было проведено анкетирование учащихся 5-6 классов (46 человек приняли участие в анкетировании) по следующим вопросам:

1. Знаете ли вы в какой стране впервые упоминаются дроби?

В Вавилоне - 20 ответов;

В Египте – 8 ответов;

В Греции - 3

Затрудняюсь ответить – 15 ответов

1. Знаете ли вы среднеазиатского ученого аль-Каши? В чем его заслуга?

Да. Он описал десятичные дроби. – 10 ответов

Нет – 36 ответов

1. Кто впервые систематизировал сведения о десятичных дробях в России?

Магницкий Леонтий Филиппович – 23 ответов

Николай Иванович Лобачевский – 2 ответа

Со́фья Васи́льевна Ковале́вская- 5 ответов

Затрудняюсь ответить -16 ответов

1. Хотели бы вы узнать, как развивались дроби в разных странах?

Да- 29 ответа

Нет – 10

Не знаю – 7

Приложение №2

Опорные таблицы по обозначению дробей в разных странах

Таблица №1

Вавилонская запись дробей

Таблица №2

Образец обозначения дробей в Древнем Египте

Таблица №3

Китайская запись дробей

Таблица №4

Запись дробей на Руси

22