Нахождение неизвестного числа с использованием позиционной формы записи к-значных чисел

Дидактические материалы для развития творческих способностей учащихся 5-6 классов

1. Из позиционной формы записи числа перейти к записи числа в виде суммы:

а) ав б) ва в) сва г) сав

д) ааа е) аав ж) аавв д) abdck

ОТВЕТ:

а) 10а+в; б) 10в+а; в) 100с+10в+а;

г) 100с+10а+в; д) 100а+10а+а; е) 100а+10а+в;

ж) 1000а+100а+10в+в;

з) 10000а+1000в+100d+10c+k;

1. Записать в позиционной форме следующие числа:

а) 10а+в; б) 100а+10в+с; в) 1000а+100в+10с+d;

г) 100а+10с+в; д) 100в+10а+с; е)100x+10y+4; ж) 100x+y.

ОТВЕТ: а) ав; б) авс; в) aвcd; г) асв; д) вас; е) xy4; ж) x0y.

1. К числу x приписали справа цифру 4. Представить в виде суммы полученное число, если x:

а) двухзначное число;

б) трехзначное число.

РЕШЕНИЕ: а) Пусть двухзначное число x=ав, тогда припи-

сав справа 4, получаем ав4=10ав+4=10x+4.

б) Пусть трехзначное число x=авс. Тогда имеем

авс4=10авс+4=10x+4.

ОТВЕТ: а) 10x+4; б)10x+4.

1. К числу у приписали слева цифру 5. Представьте полученное число, если данное число было:

а) двузначное;

б) трехзначное.

РЕШЕНИЕ: а) Пусть двузначное число у=ав. Приписав слева

цифру 5, имеем 5ав=500+ав=500+у;

б) пусть данное трехзначное число у=авс. Тогда

5авс=5000+авс=у+5000.

ОТВЕТ: а) 500+у; б)5000+у.

1. Если к задуманному числу приписать справа 0 и результат вычесть из 143, то получится утроенное задуманное число. Какое число задумано?

РЕШЕНИЕ: 143-10х=3х; 13х=143; х=11.

ОТВЕТ: 11.

1. Если к задуманному числу приписать справа цифру 9 и к по-лученному числу прибавить удвоенное данное число, то сумма будет равна 633.Найти данное число.

РШЕНИЕ: Пусть данное число х. Приписав справа 9 полу-

чаем число 10х+9. Тогда

10х+9+2х=633

12х=624

х=52

ОТВЕТ: 52.

7) Если к данному трехзначному числу слева приписать цифру 8 и к полученному четырехзначному числу прибавить 619, то сум-ма будет в 40 раз больше данного трехзначного. Найти это чис-ло.

РЕШЕНИЕ: Пусть данное трехзначное число авс. Приписав цифру 8 слева, имеем число 8авс. Тогда

8000+авс+619=40авс

39авс=8619

авс=221

ОТВЕТ: 221

8) Каждая из букв в записи 4·klmnp=4klmnp представляет цифру. Какую цифру представляет m?

РЕШЕНИЕ: Пусть klmnp=x, тогда 4·(10х+4)=400000+х

40х+16=400000+х

39х=399984

х=10258. Значит klmnp=10258 и m=2

ОТВЕТ: 2

9) Докажите, что числа, запись которых состоит из трех одинаковых цифр, делится на 3 и 37.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: ааа=100а+10а+а=111а=3·37а – кратно 3 и 37.

10) Докажите, что если сумма цифр делится на 9, то и число делится на 9.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Пусть данное число трехзначное, т.е. авс. По условию а+в+с делится на 9.авс=100а+ +10в+с= =(а+в+с)+99а+9в. Т.к. каждое слагае-мое делится на 9, то и авс делится на 9. Анало-гично доказываем, что любое к-значное число (к), сумма цифр, которых делится на 9, всегда делится на 9.

11) Написали подряд три раза двузначное число. Докажите, что полученное число делится на 3,7,13 и 37.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: ававав=ав·10000+ав·100+ав=ав (10000+ 100+1)=ав·10101=3·7·13·37ав

12) Докажите, что число, записанное шестью одинаковыми цифрами делится на 3,7,11,13 и 37.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:аааааа=100000а+10000а+1000а+100а+ +10а+а=111111а=3·7·11·13·37а

13) Цифры трехзначного числа записали в обратном порядке и из большего вычли меньшее. Докажите, что разность делится на 9.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Пусть трехзначное число авс, а число записанное в обратном порядке сва. Тогда авс-сва=100а+10в+с-(100с+10в+в)=99а-99с=99(а-с) – кратно 9.

14) ЗАДАЧА-ФОКУС: Возьмите трехзначное число. Запишите цифры в обратном порядке, получится еще одно трехзначное чис-ло. От большего числа отнимите меньшее. Последнюю цифру раз-ности скажите мне, и я назову разность. Почему так?

РЕШЕНИЕ: Имеем авс-сва=100а+10в+с-(100с+10в+в)=99а-99с=99(а-с), причем разность 99(а-с) будет вы-ражать числами 099,198,297,396,495,594,693, 792,891,990. Здесь имеем закономерность: сре-дняя цифра 9, сумма крайних тоже 9. Если, нап-ример, ученик назвал последнюю цифру 7, тог-да разность 297.

15) К числу 43 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 45.

РЕШЕНИЕ: Имеем число а43в. Число делится на 45, значит, оно делится на 5 и 9, Если число делится на 5, оно оканчивается 0 или 5. Значит два числа а430 и а435.

Если число делится на 9, то сумма цифр этого числа тоже делится на 9. Значит, имеем числа 2430 и 6435.

ОТВЕТ: 2430 и 6435.

16) К числу 10 припишите справа и слева по одной цифре так, что-бы получилось число кратное 72.

РЕШЕНИЕ: Приписав справа и слева по цифре, имеем чис-ло а10в. Число должно делится на 72, значит оно должно делится на 8 и 9. Если делится на 8, значит оно делится на четыре. Имеем четыре числа а100, а104, а108. Число будет делится на 9, если сумма цифр числа делится на 9. Значит, получаем числа 8100, 4104 и 9108. Из них на 72 делится только 4104.

ОТВЕТ: 4104.

17) Я задумал трехзначное число. Если из цифр этого числа составить всевозможные двузначные числа и затем их сложить. То треть суммы будет равна задуманному числу. Найдите задуманное число.

РЕШЕНИЕ:

Пусть задуманное число авс.

авс=100а+10в+с

Всевозможные двузначные числа:

аа; ав; ас; ва; вв; вс; са; св; сс. Найдем сумму

аа+ав+ас+ва+вв+вс+са+св+сс=10а+а+10а+в+10а+с+10в+а+10в+в+10в+с+10с+а+10с+в+10с+с= 33а+33в+33с.

По условию:

1/3(33а+33в+33с)=авс или

11а+11в+11с=100а+10а+с

89а=10с+в. Т.к. 10с+в двузначное, то а=1

Значит 10с+в=89, т.е. с=8; в=9 или авс=189

ОТВЕТ: 189

18) Найдите двузначное число, которое в 7 раз больше цифры его единицы.

РЕШЕНИЕ: Пусть данное двухзначное число ав, тогда ав=10а+в

10а+в=7в

10а=6в

5а=3в. Т.к. в кратное 5 и не равно 0, значит в=5. Тогда 5а=15 и а=3. Значит, искомое число 35

ОТВЕТ:

19) Трехзначное число начинается цифрой 4. Если эту цифру пе-ренести в конец числа, то полученное число составит ¾ исходно-го. Найдите исходное число.

РЕШЕНИЕ: Пусть данное число 4ав. Тогда 4ав=400+10а+в. Если переставить цифру 4 в конец, получим ав4 =100а+10в+4. По условию ¾(400+10а+в)=100а+ +10в+4. Отсюда 10а+в=32, т.е. ав=32. Значит а=3, в=2, а искомое число 432.

ОТВЕТ: 432.

20) Делятся ли числа 123123, 547547, 736736, … на 13?

РЕШЕНИЕ:Все данные числа можно записать в виде авсавс.

Тогда авсавс=1000авс+авс=1001авс=13·11·7·авс – кратно 13.

21) К некоторому двузначному числу слева и справа приписали по единице. В результате получим число в 23 раза больше первонача-льного. Найдите это двузначное число.

РЕШЕНИЕ: Пусть двузначное число ав. Тогда 1ав1=23ав, 1000а+10ав+1=23ав, 13ав+1001ав, ав=77

ОТВЕТ: 77

22) Первая цифра трехзначного числа 7. Если эту цифру переста-вить на последнее место, то получится число меньше первонача-льного на 864. Найдите первоначальное число.

РЕШЕНИЕ: 7авс-авс7=864, 7000+авс-10авс-7=864, 9авс=6129, авс=681. Значит данное число 7681.

ОТВЕТ: 7681.

23) Если между цифрами двузначного числа вписать это же число, то полученное четырехзначное число будет в 66 раз больше дан-ного. Найдите данное число.

РЕШЕНИЕ: Пусть данное число ав, тогда аавв=66ав, 1000а+100а+10в+в=66(10а+в)

8а=в. Т.к. ав двузначное число, то а=1, в=8. Значит данное число 18.

ОТВЕТ: 18.

24) Первая слева цифра шестизначного числа 1. Если эту цифру переставить на последнее место, то получится число в три раза больше первоначального. Найдите первоначальное число.

РЕШЕНИЕ: Пусть искомое число 1abcde. По условию зада-чи abcde1=3·1abcde. Пусть abcde=x, тогда 10х+1=3·(100000+х)

7х=299999

х=42857. Значит искомое число 142857.

ОТВЕТ: 142857.