Научно-исследовательская работа по математике. Тема: «Нестандартные признаки равенства треугольников».

МКОУ «Богучарская средняя общеобразовательная школа №1»

Научно-исследовательская работа по математике.

Тема: «Нестандартные признаки равенства треугольников».

Автор: Ильченко Ангелина Антоновна,7 класс
Руководитель: Фоменко Ольга Михайловна

город Богучар

2016 год

Содержание

Введение……………………………………………………………………… 3

Основная часть

1.Признаки равенства треугольников………………………………………… 4

2.Нестандартные признаки равенства треугольников……………………….7

Заключение…………………………………………………………………… 10

Список литературы…………………………………………………………… 11

Приложение

Введение.

Актуальность:

Треугольник – одна из основных фигур в планиметрии. При решении задач часто приходится доказывать равенство треугольников. В учебнике геометрии, по которому мы обучаемся (авторы Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов и др. Геометрия 7-9) рассматривается 3 признака равенства треугольников.

Гипотеза: Возможно, ли сформулировать, кроме трёх известных, другие признаки равенства треугольников?

Чтобы убедиться в том, что ответ на этот вопрос волнует не только меня, я провела социологический опрос среди учащихся (см. приложение 1).

Мои предположения подтвердились. Большинство учеников знают только 3 признака равенства треугольников.

Таким образом, целью моего исследования стало отыскание новых признаков равенства треугольников.

Задачи:

• Изучить литературу по исследуемой теме.

• Уточнить количество признаков равенства треугольников.

• Продемонстрировать другим учащимся существование других признаков равенства треугольников и возможности их доказательства.

Объект исследования: Изучение признаков равенства треугольников.

Предмет исследования: Треугольник, как одна из основных фигур в планиметрии

Метод исследования: Теоретический (изучение, анализ и синтез), системно-поисковый, практический (доказательство теорем).

Признаки равенства треугольников.

Начнём с определения. Треугольники ABC и A₁B₁C₁ называются равными, если они имеют соответственно равные стороны и углы.

Треугольник состоит из шести элементов. Из трёх углов и трёх сторон.

При этом возникает вопрос: «Какое наименьшее количество элементов треугольника нужно взять для установления равенства двух треугольников?»

Мы не сможем установить равенство двух треугольников по одному элементу, потому что неизвестно: «Будут ли равны остальные элементы?»

В В₁

А С А₁ С₁

АС = А₁С₁

Так же невозможно установить равенство двух треугольников, используя два элемента по причине нехватки информации для установления равенства.

В

В₁

А С А₁ С₁

АВ = А₁В_1, АС = А₁С_1.

Возможно установление равенства двух треугольников, используя три элемента. Но при этом возникает вопрос: «Какие именно три элемента нужно назвать, для установления равенства двух треугольников?»

При изучении этого вопроса, я просмотрела школьные учебники геометрии различных авторов, а также словари и справочники. В учебниках за седьмой класс предложены к изучению только 3 признака равенства треугольников.

1 признак: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2 признак: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3 признак: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

В Справочнике по элементарной математике М.Я.Выгодского был предложен 4 признак: Если две стороны и угол, лежащий против большей из них одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, лежащему против большей из них другого треугольника, то такие треугольники равны.

Приведу одно из доказательств этого признака.

Дано: ∆ АВС, ∆ А₁В₁С₁, АВ = А₁В₁, АС= А₁С₁., ے В = ے В₁.

Доказать: ∆ АВС = ∆ А₁В₁С_1.

Рисунок № 1

Расположим треугольники так, как на рисунке 1. Соединим В и В₁, тогда ∆АВВ₁ – равнобедренный, значит ے 1= ے 2. ے 3= ے 4 как остатки равных углов. Получим ∆ВСВ₁ – равнобедренный, отсюда ВС=В₁С. ∆АВС=∆А₁В₁С₁ по трем сторонам.

Также в школьном курсе рассматриваются 4 признака равенства прямоугольных треугольников:

• Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

• Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.

• Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

• Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Я решила расширить теоретическую базу по признакам равенства треугольников, добавив к сторонам и углам, используемым в классических признаках равенства треугольников, другие компоненты: биссектрису, медиану и высоту.

Нестандартные признаки равенства треугольников.

1) По двум сторонам и высоте, проведенной к одной из них.

A

B K C

A₁

B₁ K₁ C₁

Дано: АВ = А₁В_1, ВС = В₁С_1, АК = А₁К₁. Доказать: ∆АВС=∆А₁В₁С₁ Доказательство: ∆АВК= ∆А₁В₁К₁ по гипотенузе и катету, тогда ےВ = ےВ₁ и получим ∆АВС = ∆А₁В₁С₁ по 1 признаку (по 1 признаку).

2) По двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них.

В В₁

К К₁

А

С А₁ С₁

Дано: АВ = А₁В_1, ВС = В₁С_1, АК = А₁К₁. АК иА₁К_1- медианы

Доказать: ∆АВС=∆А₁В₁С_1.

Доказательство: ∆АВК= ∆А₁В₁К₁ по трем сторонам, значит ےВ = ےВ₁ и

∆АВС = ∆А₁В₁С₁ по 1 признаку

3)По двум углам и высоте, проведенной из третьего угла

А A₁

B K C B₁ K₁ C₁

Дано: ےВ = ےВ_{1 ,} ےС = ےС_1.AK=A₁K₁

Доказать: ∆АВС=∆А₁В₁С_1.

Доказательство: ∆АВК= ∆А₁В₁К₁ по катету и острому углу, значит BK= B₁K₁ ∆АСК= ∆А₁С₁К₁ по катету и острому углу, значит KC=K₁C₁ , а следовательно

BC=B₁C₁ , а ∆АВС = ∆А₁В₁С₁ по 2 признаку.

4) По стороне и двум высотам, проведенным из углов, прилежащих к этой стороне.

Дано: АС = А₁С_1, СМ = С₁М_1, АК = А₁К₁. Доказать: ∆АВС=∆А₁В₁С_1. Доказательство: ∆АМС= ∆А₁М₁С₁ по катету и гипотенузе, значит угол А равен углу А_1,,а ∆АКС = ∆А₁К₁С₁ по катету и гипотенузе, значит ےС = ےС₁ Итак, ∆АВС = ∆А₁В₁С₁ по 2 признаку.

5) По двум сторонам и высоте, проведенной к третьей стороне.

Дано: АВ = А₁В_1, ВС = В₁С_1, ВК = В₁К_1.

Доказать: ∆АВС=∆А₁В₁С_{1 .}

Доказательство: ∆АВК= ∆А₁В₁К₁ по гипотенузе и катету, значит АК=А₁К₁ ∆ВКС = ∆В₁К₁С₁ по катету и гипотенузе, значит КС=К₁С_1. Итак, ∆АВС = ∆А₁В₁С₁ по трем сторонам.

В В₁

А К С А₁ К₁ С₁

6) По стороне, одному из углов, прилежащих к этой стороне и биссектрисе из этого угла.

Дано: АС = А₁С_1, АК = А₁К_{1, ے}А = ےА_1.

Доказать: ∆АВС=∆А₁В₁С_1.

Доказательство: ∆КАС = ∆К₁А₁С₁ по 1признаку, отсюда

ےС = ےС_1, ∆АВС = ∆А₁В₁С₁ по 2признаку.

7) По двум высотам и углу, из которого проведена одна из высот.

Дано: СМ = С₁М_1, АК = А₁К_{1, ے}А = ےА_1. Доказать: ∆АВС=∆А₁В₁С_1. Доказательство: ∆АМС= ∆А₁М₁С₁ по катету и острому углу, ∆АКС = ∆А₁К₁С₁ по катету и гипотенузе, ∆АВС = ∆А₁В₁С₁ по 2признаку.

Заключение.

В ходе исследования я выяснила, что помимо трех основных признаков равенства треугольников возможно указать немало других. Я сформулировала и доказала равенство треугольников по медиане, высоте, биссектрисе треугольника в сочетании со сторонами и углами треугольника, придерживаясь наличия трех элементов.

Результат моего исследования: доказаны несколько признаков равенства треугольников, не изучаемых в школьном курсе геометрии.

Список литературы

1. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике.

2. Геометрия. 7-9 классы: учеб. Для общеобразоват. учреждений/Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 19-е изд. – М. : Просвещение, 2009.

3. Погорелов А. В. Геометрия: Учеб. Для 7-9 кл. общеобразоват. Учреждений. – 3-е издание. – М.: Просвещение, 2002.

Приложение 1

1.Как вы считаете, сколько существует признаков равенства треугольников?

А) 3 Б) более трех В) меньше трех

2. Хотели бы вы узнать новые признаки равенства треугольников?

А) да Б) нет

МКОУ «Богучарская средняя общеобразовательная школа №1»

Научно-исследовательская работа по теме:

« Нестандартные признаки равенства треугольников »

Автор: Ильченко Ангелина 7 «А» класс

Руководитель: Фоменко Ольга Михайловна

Первый признак равенства треугольников.

A

A 1

C

B 1

B

C 1

Второй признак равенства треугольников.

A 1

A

C 1

C

B

B 1

Третий признак равенства треугольников.

A 1

A

C 1

B

B 1

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

По двум катетам

По катету и острому углу

По гипотенузе и острому углу

По гипотенузе и катету

Первый вопрос: Как вы считаете, сколько признаков равенства треугольников существует?

Второй вопрос: Хотели бы вы узнать новые признаки равенства треугольников?

Гипотеза  – возможно ли сформулировать, кроме трёх известных, другие признаки равенства треугольников?

Цель: отыскание новых признаков равенства треугольников.

.

Задачи:

1. Сформулировать новые признаки равенства треугольников.

2. Доказать новые признаки равенства треугольников.

3. Продемонстрировать другим учащимся существование других признаков равенства треугольников и возможности их доказательства.

4 признак: Если две стороны и угол, лежащий против большей из них одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, лежащему против большей из них другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ∆ АВС, ∆ А 1 В 1 С 1 , АВ = А 1 В 1 , АС= А 1 С 1 ., ے В = ے В 1 .

Доказать: ∆ АВС = ∆ А 1 В 1 С 1.

Расположим треугольники так, как на рисунке . Соединим В и В 1 ,

тогда ∆АВВ 1 – равнобедренный, значит ے 1 = ے 2 . ے 3 = ے 4 как остатки

равных углов. Получим ∆ВСВ 1 – равнобедренный,

отсюда ВС=В 1 С. ∆АВС=∆А 1 В 1 С 1 по трем сторонам .

Признаки равенства произвольных треугольников

1) По двум сторонам и высоте, проведенной к одной из них .

Дано: АВ = А 1 В 1, ВС = В 1 С 1, АК = А 1 К 1 .

Доказать: ∆АВС=∆А 1 В 1 С 1

Доказательство:

∆ АВК= ∆А 1 В 1 К 1 по гипотенузе и катету,

тогда ے В = ے В 1

и получим ∆АВС = ∆А 1 В 1 С 1 по 1 признаку .

2) По двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них.

Дано: АВ = А 1 В 1, ВС = В 1 С 1, АК = А 1 К 1 . АК иА 1 К 1- медианы

Доказать: ∆АВС=∆А 1 В 1 С 1.

Доказательство: ∆АВК= ∆А 1 В 1 К 1 по трем сторонам,

значит ے В = ے В 1 и

∆ АВС = ∆А 1 В 1 С 1 по 1 признаку

3)По двум углам и высоте, проведенной из третьего угла.

Дано: ے В = ے В 1 , ے С = ے С 1. AK = A 1 K 1

Доказать: ∆АВС=∆А 1 В 1 С 1.

Доказательство: ∆АВК= ∆А 1 В 1 К 1 по катету и острому углу,

значит BK = B 1 K 1 ∆АСК= ∆А 1 С 1 К 1 по катету и острому углу,

значит KC = K 1 C 1 , а следовательно

BC = B 1 C 1 , а ∆АВС = ∆А 1 В 1 С 1 по 2 признаку.

4) По стороне и двум высотам, проведенных из углов, прилежащих к этой стороне

Дано: АС = А 1 С 1, СМ = С 1 М 1, АК = А 1 К 1 .

Доказать: ∆АВС=∆А 1 В 1 С 1.

Доказательство: ∆АМС= ∆А 1 М 1 С 1 по катету и гипотенузе,

значит угол А равен углу А 1, ,

а ∆АКС = ∆А 1 К 1 С 1 по катету и гипотенузе, значит ے С = ے С 1

Итак, ∆АВС = ∆А 1 В 1 С 1 по 2 признаку.

5) По двум сторонам и высоте, проведенной к третьей стороне

Дано: АВ = А 1 В 1, ВС = В 1 С 1, ВК = В 1 К 1.

Доказать: ∆АВС=∆А 1 В 1 С 1 .

Доказательство: ∆АВК= ∆А 1 В 1 К 1 по гипотенузе и катету,

значит АК=А 1 К 1 ∆ВКС = ∆В 1 К 1 С 1 по катету и гипотенузе,

значит КС=К 1 С 1. Итак, ∆АВС = ∆А 1 В 1 С 1 по трем сторонам.

6 ) По стороне, одному из углов, прилежащих к этой

стороне и биссектрисе из этого угла.

Дано: АС = А 1 С 1, АК = А 1 К 1, ے А = ے А 1.

Доказать: ∆АВС=∆А 1 В 1 С 1.

Доказательство: ∆КАС = ∆К 1 А 1 С 1 по 1 признаку, отсюда

ے С = ے С 1, ∆АВС = ∆А 1 В 1 С 1 по 2признаку.

7 ) По двум высотам и углу, из которого проведена одна из высот.

Дано: СМ = С 1 М 1, АК = А 1 К 1, ے А = ے А 1.

Доказать: ∆АВС=∆А 1 В 1 С 1.

Доказательство: ∆АМС= ∆А 1 М 1 С 1 по катету и острому углу,

∆ АКС = ∆А 1 К 1 С 1 по катету и гипотенузе, ∆АВС = ∆А 1 В 1 С 1 по 2признаку.

Результат моего исследования:

доказаны несколько признаков равенства треугольников, не изучаемых в школьном курсе геометрии.