Нечеткие множества и лингвистические переменные

Под нечётким множеством A понимается совокупность упорядоченных пар, составленных из элементов x универсального множества X и соответствующих степеней принадлежности :

— функция принадлежности, указывающая, в какой степени (мере) элемент x принадлежит нечёткому множеству A. Функция  принимает значения в некотором линейно упорядоченном множестве M. 

Множество M называют множеством принадлежностей, часто в качестве M выбирается отрезок [0, 1]. Если M={0,1} (то есть состоит только из двух элементов), то нечёткое множество может рассматриваться как обычное чёткое множество.

Носителем (суппортом) нечёткого множества называется множество { .

Величина называется высотой нечёткого множества A . Нечёткое множество A нормально, если его высота равна 1. Если высота строго меньше 1 , нечёткое множество называется субнормальным.

Нечёткое множество пусто, если .

Непустое субнормальное нечёткое множество можно нормализовать по формуле

Нечёткое множество унимодально, если только на одном x из X.

Элементы , для которых , называются точками перехода нечёткого множества A.

1) -срезом нечёткого множества , обозначаемым как , называется следующее чёткое множество:

то есть множество, определяемое следующей характеристической функцией (функцией принадлежности):

2) Для - среза нечёткого множества истинна импликация:

3)Нечёткое множество является выпуклым тогда и только тогда, когда выполняется условие:

для любых .

4)Нечёткое множество является вогнутым тогда и только тогда, когда выполняется условие:

для любых .

При множестве принадлежностей M=[0,1]

Пересечением нечётких множеств A и B называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности, являющейся минимумом функций принадлежности A и B:

Произведением нечётких множеств A и B называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:

Объединением нечётких множеств A и B называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности, являющейся максимумом функций принадлежности A и B :

Суммой нечётких множеств A и B называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:

Отрицанием множества A называется множество с функцией принадлежности:

для каждого .

Теорема. Если 𝐴 и 𝐵 выпуклые, то и их пересечение выпукло.

Доказательство. Пусть 𝐶 = 𝐴 ∩ 𝐵. Тогда

𝑓𝐶 [𝜆𝑥1 + (1 − 𝜆)𝑥2] = 𝑀 𝑖𝑛 [𝑓𝐴[𝜆𝑥1 + (1 − 𝜆)𝑥2], 𝑓𝐵[𝜆𝑥1 + (1 − 𝜆)𝑥2]].

Так как 𝐴 и 𝐵 выпуклые множества, то

𝑓𝐴[𝜆𝑥1 + (1 − 𝜆)𝑥2] ≥ 𝑀 𝑖𝑛 [𝑓𝐴(𝑥1), 𝑓𝐴(𝑥2)],

𝑓𝐵[𝜆𝑥1 + (1 − 𝜆)𝑥2] ≥ 𝑀 𝑖𝑛 [𝑓𝐵(𝑥1), 𝑓𝐵(𝑥2)],

и следовательно

𝑓𝐶 [𝜆𝑥1 + (1 − 𝜆)𝑥2] ≥ 𝑀 𝑖𝑛 [𝑀 𝑖𝑛 [𝑓𝐴(𝑥1), 𝑓𝐴(𝑥2)], 𝑀 𝑖𝑛 [𝑓𝐵(𝑥1), 𝑓𝐵(𝑥2)]],

или эквивалентно

𝑓𝐶 [𝜆𝑥1 + (1 − 𝜆)𝑥2] ≥ 𝑀 𝑖𝑛 [𝑀 𝑖𝑛 [𝑓𝐴(𝑥1), 𝑓𝐵(𝑥1)], 𝑀 𝑖𝑛 [𝑓𝐴(𝑥2), 𝑓𝐵(𝑥2)]],

и наконец

𝑓𝐶 [𝜆𝑥1 + (1 − 𝜆)𝑥2] ≥ 𝑀 𝑖𝑛 [𝑓𝐶 (𝑥1), 𝑓𝐶 (𝑥2)], чтд.

Ограниченность. Нечеткое множество 𝐴 ограничено если и только если множества Γ𝛼 = {𝑥|𝑓𝐴(𝑥) ≥ 𝛼} ограничены для всех 𝛼 0, то есть для каждого

𝛼 0 существует конечное 𝑅(𝛼) такое, что ‖𝑥‖ ≤ 𝑅(𝛼) для всех 𝑥 из Γ𝛼.

Если 𝐴 есть ограниченное множество, то для каждого 𝜀 0 существует гиперплоскость 𝐻 такая, что 𝑓𝐴(𝑥) ≤ 𝜀 для всех 𝑥 по ту сторону 𝐻, которая не

содержит начало координат. Рассмотрим множество Γ𝜀 = {𝑥 | 𝑓𝐴(𝑥) ≥ 𝜀}. В соответствии с предположением, это множество содержится в сфере 𝑆 радиуса 𝑅(𝜀).

Пусть 𝐻 будет любой опорной гиперплоскостью для 𝑆. Тогда все точки по ту

сторону 𝐻, которая не содержит начало координат, лежат вне или на 𝑆, и, следовательно, для всех таких точек 𝑓𝐴(𝑥) ≤ 𝜀.

Лингвистическая переменная — в теории нечетких множеств, переменная, которая может принимать значения фраз из естественного или искусственного языка.

Например, лингвистическая переменная «скорость» может иметь значения «высокая», «средняя», «очень низкая» и т. д.. Фразы, значение которых принимает переменная, в свою очередь являются именами нечетких переменных и описываются нечетким множеством.

Лингвистической переменной называется пятерка  , где 

x - имя переменной; 

T(x) - множество имен лингвистических значений переменной x, каждое из которых является нечетким множеством на множестве X; 

G есть синтаксическое правило для образования имен значений x; 

M есть семантическое правило для ассоциирования каждой величины значения с ее понятием.

Пример: Рассмотрим лингвистическую переменную, описывающую возраст человека, тогда:

x: "возраст";

X: множество целых чисел из интервала [1, 120];

T(x): значения "молодой", "зрелый", "старый";

G: "очень", "не очень". Такие добавки позволяют образовывать новые значения: "очень молодой", "не очень старый" и пр.

M:математическое правило, определяющее вид функции принадлежности для каждого значения из множества T.