Нестандартные арифметическиезадачи как средство развития логических универсальных учебных действий младших школьников

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего образования

«Национальный исследовательский

Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского»

Арзамасский филиал

Факультет дошкольного и начального образования

Кафедра методики дошкольного и начального образования

Выполнила:

Шолик М.Ю.,

студентка IV курса заочной формы обучения,

направление подготовки

«Педагогическое образование»

направленность (профиль) «Начальное образование»

Даю согласие на размещение текста работы

в электронно-библиотечной системе ННГУ

________________________

(подпись студента)

Выпускная квалификационная работа

бакалаврская работа

НЕСТАНДАРТНЫЕ АРИФМЕТИЧЕСКИЕЗАДАЧИ КАК СРЕДСТВО РАЗВИТИЯ ЛОГИЧЕСКИХ УНИВЕРСАЛЬНЫХ УЧЕБНЫХ ДЕЙСТВИЙ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Научный руководитель:

кандидат педагогических наук, доцент

Маклаева Э.В.

Допущена к защите:

Зав. кафедрой, кандидат педагогических наук, доцент

_____________ (Гусев Д.А.)

«___» ___________ 2020 г.

Арзамас

2020

Содержание

Введение…………………………………………………………………………..3

Глава 1. Теоретические основы развития логических универсальных учебных действий младших школьников средствами нестандартных арифметических задач………………………………………………………………………………..8

1.1. Проблема развития логических универсальных учебных действий у детей младшего школьного возраста…………………………………………………...8

1.2. Особенности применения нестандартных арифметических задач в начальной школе…………………………………………………………………15

1.3. Возможности применения нестандартных арифметических задач в процессе развития логических универсальных учебных действий младших школьников…………………………………………………………………........21

Выводы по главе 1……………………………………………………………….26

Глава 2. Опытно-экспериментальная работа по применению нестандартных арифметических задач в процессе развития логических универсальных учебных действий младших школьников…………………………………...…28

2.1. Изучение уровня развития логических универсальных учебных действий младших школьников……………………………………………………………28

2.2. Содержание работы по развитию логических универсальных учебных действий младших школьников средствами нестандартных арифметических задач………………………………………………………………………………38

2.3. Анализ результатов опытно-экспериментальной работы………………..43

Выводы по главе 2……………………………………………………………….50

Заключение………………………………………………………………….……52

Список источников и литературы……………………………………………....57

Приложения……………………………………………………………………...63

Введение

Актуальность темы исследования заключается в том, что в соответствии с действующим в России Федеральным государственным образовательным стандартом начального общего образования важнейшей целью образования в начальной школе становится формирование умения учиться, которое означает умение результативно сотрудничать как с учителем, так и со сверстниками, искать пути решения, умение вести диалог, поддерживать друг друга (1). Достижение данной цели становится возможным благодаря формированию системы универсальных учебных действий.

Среди универсальных учебных действий (УУД) младших школьников особую роль играют познавательные УУД, включающие в себя общеучебные, логические, знаково-символические, а также действия постановки и решения проблем, которые готовят школьника к решению любой проблемы-задачи.

Одним из компонентов познавательных универсальных учебных действий являются логические действия, их формирование подразумевает способность к анализу, синтезу, обобщению, осуществлению умозаключений без опоры на наглядность, установление причинно-следственных связей и другое. Развитие логического мышления является важной задачей начального обучения, для успешного усвоения ребенком учебного материала и гармоничного развития личности.

Формирование умственного разви­тия младших школьников главным образом начинается во время обучения в начальной школе. Все необходимые условия в школе создаются для того, чтобы сформировать ученика, который способен самостоятельно рассуждать, правильно оценивать свои действия. Важно также научить грамотно сопоставлять, сравнивать, предлагать, оценивать и выбирать иные способы решения существующей проблемы. И, чтобы в конечном итоге, применять полученные знания на практике научится определять главное и делать выводы.

Одно из основных познавательных универсальных действий - умение творчески решать проблемы и задачи. Усвоение приёмов решения задач в начальной школе базируется на сформированности логических операций. Уме­ние ставить и решать задачи – один из важных показателей развития учащегося. В начальной школе в качестве учебных задач, способствующих развитию логического и нестандартного мышления в процессе обучения математике, применяют нестандартные арифметические задачи.

Все уроки из курса начальной школы так или иначе способствуют развитию логического мышления младшего школьника. Однако, именно математика - это такой учебный предмет, где в большой степени развиваются все виды логических уни­версальных действий. Для того, чтобы нацелить детей учиться с увлечением, интересом, чтобы на уроках математики дети научились не только считать, но и думать, необходимо включать в процесс обучения нестандартные арифметические задачи, не входящие в рамки учебного мате­риала.

Под нестандартными арифметическими задачами подразумевают задачи, требующие осуще­ствления мыслительного процесса, связанного с использованием понятий, операций, различных логических конструкций. Предлагая учащимся такие задачи, у них формируется способность выпол­нять логические операции.

За прошедшие годы российские педагоги и психологи пришли к выводу, что необходимо включить в учебный процесс по изучению математики достаточное количество нестандартных задач.

Однако, несмотря на многоплановость исследований, проведённых по данной проблеме, решение её не может быть признано окончательным и полным. Таким образом, нами выявлено противоречие: не смотря на достаточно изученность вопроса и растущую потребность развития логических универсальных учебных действий младших школьников, возникает необходимость применения нестандартных арифметических задач как средства развития логических универсальных учебных действий младших школьников как на теоретическом, так и на методическом уровнях. Этим и обусловлен выбор темы исследования: «Нестандартные арифметические задачи как средство развития логических универсальных учебных действий младших школьников».

Проблема исследования: каковы возможности применения нестандартных арифметические задач в процессе развития логических универсальных учебных действий младших школьников.

Цель исследования: изучить и опытно-экспериментальным путем проверить эффективность применения нестандартных арифметических задач как средства развития логических универсальных учебных действий младших школьников.

Объект исследования: процесс развития логических универсальных учебных действий младших школьников.

Предмет исследования: нестандартные арифметические задачи как средство развития логических универсальных учебных действий младших школьников.

Гипотеза исследования: процесс развития логических универсальных учебных действий младших школьников будет более эффективным, если:

- учитывать возрастные и индивидуальные особенности детей данного возраста;

- использовать возможности применения нестандартных арифметических задач для организации этого процесса.

Задачи исследования:

1. Изучить проблему развития логических универсальных учебных действий у детей младшего школьного возраста.

2. Раскрыть особенности применения нестандартных арифметических задач в начальной школе.

3. Рассмотреть возможности применения нестандартных арифметических задач в процессе развития логических универсальных учебных действий младших школьников.

4. Изучить уровень развития логических универсальных учебных действий младших школьников.

5. Провести работу по развитию логических универсальных учебных действий младших школьников средствами нестандартных арифметических задач.

6. Провести анализ результатов опытно-экспериментальной работы.

Методы исследования: изучение и анализ психолого-педагогической литературы, педагогическое наблюдение, тестирование, анкетирование, констатирующий, формирующий эксперименты, методы обработки экспериментальных данных: количественный, качественный анализ результатов эксперимента.

Методологические основы исследования: Проблемой изучения логических универсальных учебных действий младших школьников занима­лись такие учёные, как: А. Г. Асмолов, Н.Б. Истомина, О. А. Карабанова, З.А. Магомеддиберова, О.Б. Мочалова, Н.Б. Тихонова, Т. С. Ячменникова и др. Внедрением нестандартных арифметических задач в процесс обучения детей математике с целью развития логических универсальных учебных действий учащихся начальной школы занимались авторы: Л.Н. Борейко, Г.Г. Левитас, А. К. Мендыгалиева, Е.Н. Морева, Е.Е. Останина, В.А. Потанина, Л.В. Селькина, Д.А. Сергеева, Л.М. Фрид­ман, Т.С. Хазыкова, С.Е. Царева и др.

Апробация материалов исследования осуществлялась в ходе педагогической деятельности, участия в семинарах, педсоветах на базе МБОУ «Школа №130» г. Нижнего Новгорода, выступлений на заседаниях методобъединений учителей начальных классов, в виде публикаций научно-методических статей. Основные положения и результаты исследования обсуждались на Всероссийской студенческой научно-практической конференции «Актуальные проблемы современной педагогической науки: взгляд молодых исследователей» (6 - 9 апреля 2020 г., Арзамасский филиал ННГУ). 

База исследования: МБОУ «Школа № 130» г. Нижнего Новгорода.

Структура выпускной квалификационной работы: работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка источников и литературы и приложений.

Глава 1. Теоретические основы развития логических универсальных учебных действий младших школьников средствами нестандартных арифметических задач

1.1. Проблема развития логических универсальных учебных действий у детей младшего школьного возраста

В современных образовательных стандартах (ФГОС НОО) существенно изменились подходы к требованиям и результатам обучения. В настоящее время образование отходит от фактической оценки знаний, умений и навыков. Приоритетная задача начального образования трансформируется в необходимость развития системы универсальных учебных действий, позволяющих учащимся успешно добывать, анализировать и применять в разных ситуациях учебную информацию. В отношении раздела «Математика и информатика» на первый план выходит «умение выполнять устно и письменно арифметические действия с числами и числовыми выражениями, решать текстовые задачи, умение действовать в соответствии с алгоритмом и строить простейшие алгоритмы, исследовать, распознавать и изображать геометрические фигуры, работать с таблицами, схемами, графиками и диаграммами, цепочками, совокупностями, представлять, анализировать и интерпретировать данные» (1).

Другими словами, основной целью образования на сегодня является не передача знаний, умений и навыков, а формирование учебных и личностных компетенций, а также – универсальных учебных действий школьников.

Универсальные учебные действия (УУД) – это совокупность различных способов действий учащихся, обеспечивающих способность детей к самостоятельному усвоению новых знаний, умений, понятий, закономерностей и т.д. (37, с. 11).

Как отмечает О. А. Карабанова «универсальные учебные действия открывают школьникам возможность широкой ориентации в различных предметных областях, а также – в построении алгоритма самой учебной деятельности, включающей осознание ее целей, ценностно-смысловых и операциональных характеристик» (37, с. 12).

К основным функциям УУД можно отнести:

- обеспечение учащимся возможностей самостоятельно осуществлять познавательную деятельность, ставить цели, искать необходимые средства и способы их достижения, контролировать процесс и результаты деятельности;

- создание условий для гармоничного развития личности школьника и ее самореализации на основе готовности к непрерывному образованию;

- обеспечение успешного формирования компетентностей в любой предметной области, а также – в личностной сфере (37, с. 13).

По мнению А. Г. Асмолова, Г. В. Бурменской и И. А. Володарской, учебные достижения рассматриваются в педагогическом процессе с разных позиций:

- как процесс продвижения школьника к поставленной учебной цели и как результат, полученный в ходе обучения;

- как процесс, в основе которого находятся познавательные потребности учащихся;

- как объективный и субъективный результат.

Причем, учащийся на сегодняшний день рассматривается именно как субъект образовательной деятельности, потому педагогу важно добиваться значимого роста достижений школьников посредством организации самостоятельного овладения основными понятиями (2, с. 74).

Учебные достижения младших школьников, как отмечает Г.И. Щукина, «характеризуются их возрастными особенностями. В младшем школьном возрасте происходит систематическое накопление знаний, развитие основных психических процессов. Усвоение основ наук расширяет кругозор учащихся, развивает мышление, формирует основы мировоззрения. Данный возраст является определяющим для развития основных мыслительных действий и приемов: анализа, сравнения, выделения главного, обобщения, установления причинно-следственных связей и др. Однако, процесс формирования познавательной активности находится у младших школьников в начале становления. Это обусловливает тот факт, что получаемые на уроках знания оказываются неполными, неточными или даже ошибочными. Этот факт существенно осложняет процесс обучения, снижает его эффективность» (28, с. 92).

По мнению Л.М. Фридман «в младшем школьном возрасте происходят изменения в характере внимания: вдвое увеличивается объем, повышается устойчивость, развиваются навыки переключения и распределения внимания» (27, с. 134).

С позиций повышения эффективности восприятия, запоминания и понимания изучаемых понятий и явлений, следует выделить основные виды продуктивной деятельности младшего школьника:

- группировка объектов или событий,

- выделение главного,

- составление плана,

- определение структурных компонентов,

- составление схем,

- установление аналогий,

- мнемотехнические приемы,

- перекодирование,

- достраивание запоминаемого материала,

- серийная организация ассоциации,

- повторение изученного (27, с. 135).

Как утверждает А. Г. Асмолов «налаженная система контроля помогает учащемуся стать равноправным субъектом обучения. У школьников появляется готовность и стремление к проверке своих знаний, к выяснению пробелов и проблем, вырабатывается способность к рефлексии, что существенно оптимизирует процесс формирования универсальных учебных действий» (25, с. 39).

Рассмотрим определение логических универсальных учебных действий, которое дает нам Федеральный государственный образовательный стандарт: «логические универсальные учебные действия - овладение действиями сравнения, анализа, синтеза, обобщения, классификации по родовидовым признакам, установление аналогий и причинно - следственных связей, построение рассуждений, отнесения к известным понятиям» (1).

В системе логических универсальных учебных действий, согласно ФГОС отмечено, что «логические универсальные учебные действия являются частью познавательных универсальных учебных действий и направлены на формирование: анализа, синтеза, сравнения, классификации, установление причинно - следственных связей, представление цепочек объектов и явлений; построение логической цепочки рассуждений, анализ истинности утверждений, доказательство, выдвижение гипотез и их обоснование» (1).

Как пишет О. А. Карабанова, в процессе развития универсальных учебных действий, у младших школьников формируются следующие умения.

Умение сравнивать - это умение устанавливать черты сходства (сопоставлять) и различия (противопоставлять). Процесс сравнения является наиболее важным в организации продуктивной деятельности младших школьников в процессе обучения математике. Необходимо, например, ориентироваться на такие этапы:

- выделение свойств или признаков одного объекта;

- нахождение сходства и различия между свойствами двух объектов;

- обнаружение сходства между признаками трех, четырех или более объектов.

В процессе работы по формированию у детей логического умения сравнивать на первых уроках математики лучше всего использовать качестве объектов картинки с изображением предметов, хорошо им знакомых, в которых они могут выявить те или иные признаки, с помощью имеющиеся у них представлений (37, с. 14).

Умение анализировать – это умение разделения целого на части и тщательное исследование каждого его компонента. Умение синтезировать - это умение объединять выделенные анализом детали целого. Анализ и синтез всегда взаимосвязаны. Способность к аналитико - синтетической деятельности это не только умение выделять элементы или соединять их воедино, но и умение включать их в новые связи, видеть в их новые функции.

Умение обобщать - это умение выражать главные результаты в общем положении, делать вывод, приводить обобщающее значение чему-либо. (37, с. 15).

Умение классифицировать - это умение разделять какие-либо объекты по классам, отделам, разрядам в соответствии с их общими свойствами. Основой приема классификации является умение вявлять признаки предметов и определять между ними сходства и различия.

В курсе математики в процессе распределения множества на классы необходимо выполнять следующие условия:

1. Ни одно из подмножеств не пусто.

2. Подмножество попарно не пересекаются.

3. Союз всех подмножеств составляет данное множество.

Эти условия необходимо учитывать, когда детям даются задания на классификацию.

Умение проводить аналогии - это умение находить общее, по каким-либо признакам, отношениям между предметами, явлениями или понятиями. На уроках математики учитель нередко просит детей: «Сделайте по аналогии» или «Это аналогичное задание». Это делается затем, чтобы закрепить те или иные действия.

Умение обосновывать - это приводить убедительные доказательства, или доводы, в результате которых принимается какое-либо утверждение. Формирование у учащихся способности обосновывать (доказывать) свои суждения является главным условием развивающего обучения. Такую способность еще связывают с умением рассуждать, аргументировать свою точку зрения (37, с. 17).

По мнению З.А. Магомеддиберовой «математика считается полигоном для освоения логических универсальных учебных действий, которые являются частью познавательных универсальных учебных действий» (42, с. 40).

О.Б. Мочалова считает, что формирование логических универсальных учебных действий во многом зависит от построения образовательного процесса организации учебной деятельности в классе. В процессе работы на уроках математики, для более глубокой выработки логических универсальных учебных действий необходимо следовать следующим методическим рекомендациям:

- систематически и целенаправленно применять задания на формирование логических универсальных учебных действий;

- включать разноплановые задания и их формулировки: избегать типичных заданий для формирования интереса, активности и мотивации учащихся;

- применять комплексные и разновариантные задания, для активного мышления учеников, тем самым формируя логические универсальные учебные действия (15, с. 71).

Таким образом, именно в данном возрасте формирование логических УУД является наиболее актуальным, эффективным и перспективным для дальнейшего развития познавательной сферы школьника.

Как считают Н.Б. Истомина, Н.Б. Тихонова, постановка и решение проблемы из позиции логических УУД предполагает:

- формулирование проблемы;

- самостоятельное создание способов решения проблем творческого и поискового характера (35, с. 32).

По мнению О. А. Карабановой «формирование логических УУД необходимо начинать именно в начальной школе – не уровне установления простейших связей между предметами, нахождения сходства и отличия, понимания формы и размера предметов. Если эти связи осмыслены на достаточном уровне – то к переходу в среднее звено школы и началу изучения первичных основ геометрии с ее теоремами и доказательствами, ученик уже сможет легче ориентироваться в заданиях более высокого уровня» (37, с. 18).

Таким образом, логические универсальные учебные действия – это овладение действиями сравнения, анализа, синтеза, обобщения, классификации по родовидовым признакам, установление аналогий и причинно-следственных связей, построение рассуждений, отнесения к известным понятиям. В процессе развития логических универсальных учебных действий, у младших школьников формируются следующие умения: умение сравнивать – это умение определять черты сходства (сопоставление) и различия (противопоставление); умение анализировать – умение разделения целого на части и тщательное исследование каждого его компонента; умение классифицировать - это умение разделять какие-либо объекты по классам, отделам, разрядам в соответствии с их общими свойствами; умение проводить аналогии - это умение находить общее, по каким-либо признакам, отношениям между предметами, явлениями или понятиями; умение обобщать - это умение выражать главные результаты в общем положении, делать вывод, приводить обобщающее значение чему-либо; умение обосновывать - это приводить убедительные доказательства, или доводы, в результате которых принимается какое-либо утверждение.

1.2. Особенности применения нестандартных арифметических задач в начальной школе

Обзор литературы показывает, что учебная дисциплина математика предоставляет большие возможности для развития логических универсальных учебных действий школьников. Программный материал данного предмета характеризуется высоким уровнем абстракции. Чаще всего математические понятия фиксируют лишь формы и отношения между предметами. Для решения же задач необходимо провести анализ системы понятий, сделать выводы, подобрать необходимый, более подходящий алгоритм, составить план действий и проч. То есть, применить методы логической оценки и формулирования выводов.

Сами математические понятия также характеризуются высокой степенью обобщенности и компактности, что дает возможность достаточно быстро усвоить их и перенести на уровень задач повседневной жизни и других предметных дисциплин. В то же время, подобный перевод нередко вызывает трудности для самостоятельного осмысления учащимися, что не позволяет им приводить конкретные примеры и использовать их в рассуждениях. Чтобы выделить количественные отношения и конкретные пространственные формы, необходимо применить ряд последовательных ступеней обобщения (10, с. 37).

Многие исследователи дают определение нестандартным арифметическим за­дачам, но более четко сформулированное определение дает Л.М. Фрид­ман: «Нестандартные арифметические задачи - это такие, для которых в курсе математи­ки не имеется общих правил и положений, определяющих точную про­грамму их решения. Они рассчитаны на наличие исследователь­ского характера. Также под нестандартной понимается задача, при ре­шении которой учащийся не знает ни способа ее решения, ни на какой учебный материал нужно опираться при ее решении» (26, с. 24).

Н.Б. Истомина считает, что «для решения большинства нестандартных задач не требуется знания учащимися каких-либо правил; часто учащиеся вынуждены сами «придумывать» новый способ решения. Нестандартные арифметические задачи является важным средством формирования навыка самостоятельного построения учащимися новых алгоритмов решения задач. Одна и та же задача может быть стандартной или нестандартной в зависимости от того, знают ли учащиеся со способы их решения. Нестандартная задача, в отличие от традиционной, не может решаться по какому-либо известному им принципу. Такие задачи предполагают различные способы решения и не ограничиваются жесткими рамками. Здесь необходим поиск, что требует творческой работы мышления ученика и способствует его развитию» (10, с. 41).

Как утверждает Л.В. Селькина «решение учащимися нестандартных арифметических задач предполагает развитие у учащихся не столько способности к овладению фиксированными операциями и приёмами, сколько к обнаружению новых связей, к переносу знаний в новые условия, к овладению новыми приёмами умственной деятельности, к деятельности творческого характера. Решение этих задач, с одной стороны, повышает общую и математическую культуру школьников, способствует развитию их математического мышления, а с другой стороны, вызывает у них стремление к открытию нового, ранее неизученного» (20, с. 69).

Классификаций нестандартных арифметических задач огромное множество, но самая удачная из них - это классификация, данная Л.Н. Борейко, где автор классифицирует нестандартные задачи по способу действия, выполняемому в процессе решения. Это такие задачи, как:

1. комбинаторные задачи;

• задачи на активный перебор вариантов отношений;

• задачи, в которых нужно упорядочить элементы множества;

• задачи на вливания и переливания;

• задачи на взвешивания;

• задачи на логическое мышление;

1. задачи на нахождение функциональных, временных и пространственных, отношений (5, с. 52).

Как утверждают Е.Н. Морева, Т.С. Хазыкова, вид нестандартной арифметической задачи можно определить по характерным признакам. Первым признаком является характер требования задачи. Это задачи такие как:

1. Задачи на нахождение искомого (вычислительные задачи).

2. Задачи на доказательство или объяснение (верность, ложность утверждения, объяснение какого - то явления).

3. Задачи на преобразование или построение (сконструировать что -то, изменить). Данные задачи способствуют восстановлению образа изображенных предметов и различных мыслительных операций с этими связанных. Самыми распространёнными и интересными задачами данного видя являются задачи со спичками.

К нестандартным арифметическим задачам А. К. Мендыгалиева также относит: задачи с естественным рассуждением, задачи-ловушки, формально-логические, задачи с внутренним вопросом, задачи-загадки, а также магические квадраты, задачи в стихах, логические цепочки, числовые головоломки, матема­тические, геометрические задачи со счетными палочками, задачи на сообразительность, задачи-шутки, математические фокусы, арифметические ребусы и лабиринты, задачи-сказки и т.п. (44).

Е.Н. Морева, Т.С. Хазыкова приводят примеры некоторых нестандартных арифметических задач, применяемых в начальной школе.

1. Задачи с естественным рассуждением:

- На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и купцы, которые всегда лгут. Островитянин в присутствии другого островитянина говорит, что, по крайней мере, один из них лжец. Кто они?

2. Задачи-ловушки:

Сколько будет трижды сорок и пять?

3 * 40 + 5 = 125 или 3 * (40 + 5) = 135

- Четыре яблока, не разрезая их, нужно разделить между тремя приятелями так, чтобы никто из них не получил больше, чем остальные. Как это сделать?

3. Формально-логические задачи, в которых ответ абсолютно очевиден (и верен), но на первых порах совершенно неясно, как же его получить:

- Мама купила 4 воздушных шара: красные и голубые. Красных шаров больше, чем голубых. Сколько шаров каждого цвета купила мама?

4. Задачи с внутренним вопросом:

а) Переложить 2 спички из числа имеющихся так, чтобы образовалась фигура, состоящая из четырех одинаковых квадратов.

5. Задачи-загадки:

- Сосчитай быстро: 012345678910.

Сколько в сумме 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 составят числа, записанные в ряд? (45, с. 83).

Л.В. Селькина отмечает, что «главное при решении нестандартных задач - это научить учащихся думать над задачей, рассуждать, догадываться, делать правильные умозаключения. По результатам выполнения заданий учитель имеет возможность сформировать различные способы умственной деятельности: умение производить анализ, синтез, делать сравнения, сопоставления, обобщения, классифицировать предметы и явления, формулировать выводы. А эти умения носят обобщенный, межпредметный характер. Выполнение этих заданий воспитывает такие качества знаний, как глубина и полнота, осознанность и оперативность» (20, с. 104).

По мнению С.Е. Царевой «наибольший эффект нестандартные арифметические задачи развивающего характера могут дать лишь при условии, если учитель грамотно организует поисковую деятельность детей, верно направляет мысль учащихся. Важно на разнообразных нестандартных задачах и упражнениях формировать общие способы решения любых доступных возрасту учащихся задач» (48, с. 38).

По мнению С.Е. Царевой «следует особо подчеркнуть огромное общеобразовательное значение специального обучения младших школьников решению нестандартных арифметических задач. Каждая нестандартная задача - это маленькая проблема, требующая от учеников умственной активности и находчивости в поисках непроторенных путей решения. Что способствует развитию логико-математического продуктивного, эвристического мышления учащихся, активизирует мыслительные операции, развивает самостоятельность, способствует отточенности; вырабатывает ценные умственные качества: последовательность мысли, логичность, сообразительность, смекалку, то есть улучшает и повышает качество математической подготовки учащихся» (49, с. 50).

Результативность обучения младших школьников решению нестандартных арифметических задач зависит от некоторых условий:

1. Задачи необходимо вводить в процесс обучения систематически, в определенной последовательности постепенно увеличивая их сложность, потому что непосильная задача не окажет никакого влияния на развитие учащихся.

2. В процессе решения задач, ученикам следует предоставлять максимум самостоятельности в поиске решения задач, давать возможность ошибиться или найти неверный способ решения и пройти до конца по неправильному пути, убедиться в ошибке, вернуться к началу задачи и искать иной, верный путь решения.

3. Необходимо помогать учащимся осознавать всевозможные способы, приемы, общие подходы к решению нестандартных арифметических задач (49, с. 51).

Нами были проанализированы три общеобразовательные про­граммы начальной школы по математике: «Начальная школа 21 века» под редакцией Н.Ф. Виноградовой, «Школа 2000» (автор Л.Г. Петерсон) и «Школа России» (автор М.И. Моро). На основе проведенного анализа была выведена классификация нестандартных арифметических задач, изучае­мых по данным программам. Виды нестандартных задач расположены в порядке их употребления, т.е. от часто используемых задач в данной программе к менее используемым

На основе анализа программ мы установили, что две программы («Начальная школа 21 века» и «Школа 2000») имеют упор на комбинаторные зада­чи, этот вид задач более доступны для восприятия школьников, т.к. он менее абстрактный по сравнению с другим нестандартным арифметическим зада­чам. В программе «Школа России» делается упор на задачи на соответ­ствие. В трех программах используются в основном одинаковые виды нестандартных задач, только в программе «Школа России» добавляют­ся такие виды нестандартных арифметических задач, как: «магические квадраты», голо­воломки, «занимательные рамки», благодаря которым разви­ваются логические универсальные учебные действия младших школьников.

Таким образом, нестандартная арифметическая задача - это текстовая задача, в которой требуется вычислить значение некоторой величины с помощью операций над числами, и для которой в курсе математики нет общих правил и положений, с помощью которых можно определить точный способ их решения. Нестандартные арифметические задачи могут являться важным средством формирования навыка самостоятельного построения учениками новых алгоритмов решения задач. Выделяют 5 типов нестандартных арифметических задач, наиболее применяемых в начальной школе: задачи с естественным рассуждением, задачи – ловушки, задачи с формально – логическим аспектом, задачи с внутренним вопросом, задачи – загадки. Важным в работе над решением нестандартных арифметических задач – является обучение младших школьников думать и рассуждать над задачей, догадываться, делать правильные выводы. Результатом применения таких задач является возможность сформирования различных способов умственной деятельности.

1.3. Возможности применения нестандартных арифметических задач в процессе развития логических универсальных учебных действий младших школьников

В педагогической литературе отмечается, что формирование логических универсальных учебных действий у младших школьников во многом зависит от того, каким образом выстроен образовательный процесс и организована учебная деятельность на уроке. Для наиболее продуктивного формирования логических УУД на уроках математики исходить из следующих принципов:

- целенаправленное использование заданий на формирование логических УУД, куда входят задания на сравнение, выделение главного, установление взаимосвязей, зависимостей и т.д.;

- разнообразие учебных заданий и их формулировок: для совершенствования логических навыков один и тот же тип задач на определение функциональной зависимости можно троить на различном материале (установлении геометрических характеристик, построения последовательности чисел, описание зависимости между числами и выражениями, предполагающими, например, умножение числа на 3);

- использование комплексных и многовариантных заданий для стимулирования активной мыслительной деятельности учащихся для формирования логических универсальных учебных действий (50, с. 24).

На основе изученной методической литературы были рас­смотрены возможности применения нестандартных арифметических задач в процессе развития логических универсальных учебных действий младших школьников. Так как нестандартные арифметические задачи - это такие задачи, для которых в курсе матема­тики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения, то выделяются общие рекомендации для решения нестандартных арифметических задач. Методика обучения нестандартным задачам заключается в том, что описываются приемы, использованные при ре­шении той или иной задачи, и, следуя данным приёмам, можно прийти к решению той или иной задачи (18, с. 86).

Как пишет В.А. Потанина, начинать знакомство с нестандартными задачами лучше с таких задач:

1) в которых не достаёт данных - такие задачи способствуют развитию нестандартного анализа;

2) которые нерешаемы, они развивают умение анализировать существующую ситуацию;

3) в которых есть задания на выделение закономерностей – с помощью таких задач происходит развитие умения без помощи взрослого анализировать ситуацию и формулировать предположения для изменения этой ситуации;

4) в которых имеются задания с помощью которых формируются умения проводить логические рассуждения (учащиеся в процессе решении данных задач учатся проявлять смекалку, догадываться, что представленная задача не имеет решения или, что в задаче имеются лишние данные или части данных не хватает) (18, с. 88).

Е.Е. Останина рекомендует «начинать решать задачу с построе­ния чертежа или рисунка; вводить вспомогательный элемент к задаче (если это необходимо); некоторые задачи можно начинать решать с метода подбора; также следует научить детей перефразировать содер­жание задачи, решать задачу с конца (анализ) или разбивать ее на час­ти (синтез)» (16, с. 108).

Данные рекомендации не обязательно применять в такой последовательности, сочетать и комбинировать можно их по-разному, в чём и заключается творческий процесс решения нестандартных арифметических задач. Можно показать это детям на примере, совместно решив несколько задач. Рассмотрим некоторые рекомендации на конкретных примерах.

З.А. Магомеддиберова рассматривает, каким образом решение данных задач влияет на развитие логических универсальных учебных действий у младших школьников. Нестандартные арифметические задачи способствуют формированию следующих компонентов логических универсальных учебных действий:

- умение выделять существенные признаки из второстепенных;

- умение рассуждать, сравнивать, анализировать, классифицировать предметы, аргументировать свою точку зрения;

- умение устанавливать причинно-следственные связи;

- развитие нестандартного мышления (42, с. 43).

С целью формирования умения рассуждать, сравнивать, анализировать, классифицировать, обобщать предметы, аргументировать свою точку зрения можно использовать, например, следующую задачу: «Ленту длиной 12м разрезали на 3 равные части. Сколько разрезов сделали?». Сначала ученики должны прочи­тать задачу, потом учитель у них выясняет, сталкивались ли они с по­добными задачами и знают ли они каким способом можно решить такую задачу. Возможно, дети ошибочно будут решать задачу следующим образом: «Надо 12м разделить на 3 равные части». Учитель объясняет школьникам, что таким способом задача будет решена неправильно. Если количество яблок можно разделить поровну на 2, 3 и 5 детей, тогда, число яблок может делиттся на 2, 3, 5. Если количество яблок нельзя раздать 4 детям поровну, значит, число яблок не делится на 4. Следовательно, эту задачу учитель предлагает детям переформулировать следующим образом: «Найти наимень­шее двузначное число, которое делится на 2, 3, 5 и не делится на 4» (18, с. 63).

Затем учитель предлагает решить задачу методом подбора. Сначала определяется наименьшее двузначное число – например, 10. Оно может делиться на 2 и 5, но не де­лится на 3. Значит число 10 здесь не подходит. Также можно не рассматривать все числа подряд, а рассмотреть только те числа, которые делятся на 5. Число 15 здесь также не подходит, так как оно не делится на 2. В результате подбора чисел, дети делают вывод, что здесь подойдёт только число 30. Оно делится на 2, 3, 5, но не делится на 4. таким образом получается ответ, что в кор­зине 30 яблок.

Другим способом эту задачу можно также решить с помощью чертежа: начертив луч необходимо последовательно отложить на нем отрезки длиной 2, 3, 5 клеточек. Данное действие выполняется до той поры, пока точка, соединяющая концы трех видов отрезков не найдется. Затем нужно посчитать число клеточек, которое получилось. С помощью чертежа можно понять, что отрезки длиной 4 клеточки не укладываются целое число раз в большой отрезок длиной 30 клеточек. И после этой большой проделанной работы можно на­звать ответ. Данный способ является более сложным, но некоторым ученикам он подойдёт больше и показаться нагляднее и легче, в зависимости от их индивидуальных осо­бенностей (18, с. 65).

Как пишет И. Липина «систематическое использование на уроках математики нестандартных арифметических задач и заданий, направленных на развитие логических универсальных учебных действий, расширяет математический кругозор младших школьников и позволяет более уверенно ориентироваться в простейших закономерностях окружающей их действительности и активнее использовать математические знания в повседневной жизни» (41, с. 39).

Таким образом, возможности применения нестандартных арифметических задач в процессе развития логических универсальных учебных действий младших школьников состоят в том, что в методике обучения нестандартным задачам описываются приемы, использованные при ре­шении той или иной задачи, с помощью которых можно прийти к решению. Развитие логических универсальных учебных действий в процессе решения нестандартных арифметических задач строится по принципу от простой задачи сложной. Учащихся обучают нахождению своего алгоритма решения. Не менее результативным в развитии логических универсальных учебных действий является применение сочетания различных видов нестандартных арифметических задач и систематическое их использование на уроках математики, что расширяет математический кругозор младших школьников и активнее использовать математические знания в повседневной жизни.

Выводы по главе 1

Теоретический анализ проблемы развития логических универсальных учебных действий младших школьников средствами нестандартных арифметических задач, позволил нам сделать следующие выводы.

Логические универсальные учебные действия – это овладение действиями сравнения, анализа, синтеза, обобщения, классификации по родовидовым признакам, установление аналогий и причинно-следственных связей, построение рассуждений, отнесения к известным понятиям. В процессе развития логических универсальных учебных действий, у младших школьников формируются следующие умения: умение сравнивать – это умение определять черты сходства (сопоставление) и различия (противопоставление); умение анализировать – умение разделения целого на части и тщательное исследование каждого его компонента; умение классифицировать - это умение разделять какие-либо объекты по классам, отделам, разрядам в соответствии с их общими свойствами; умение проводить аналогии - это умение находить общее, по каким-либо признакам, отношениям между предметами, явлениями или понятиями; умение обобщать - это умение выражать главные результаты в общем положении, делать вывод, приводить обобщающее значение чему-либо; умение обосновывать - это приводить убедительные доказательства, или доводы, в результате которых принимается какое-либо утверждение.

Нестандартная арифметическая задача - это текстовая задача, в которой требуется вычислить значение некоторой величины с помощью операций над числами, и для которой в курсе математики нет общих правил и положений, с помощью которых можно определить точный способ их решения. Нестандартные арифметические задачи могут являться важным средством формирования навыка самостоятельного построения учениками новых алгоритмов решения задач. Выделяют 5 типов нестандартных арифметических задач, наиболее применяемых в начальной школе: задачи с естественным рассуждением, задачи – ловушки, задачи с формально – логическим аспектом, задачи с внутренним вопросом, задачи – загадки. Важным в работе над решением нестандартных арифметических задач – является обучение младших школьников думать и рассуждать над задачей, догадываться, делать правильные выводы. Результатом применения таких задач является возможность сформирования различных способов умственной деятельности.

Возможности применения нестандартных арифметических задач в процессе развития логических универсальных учебных действий младших школьников состоят в том, что в методике обучения нестандартным задачам описываются приемы, использованные при ре­шении той или иной задачи, с помощью которых можно прийти к решению. Развитие логических универсальных учебных действий в процессе решения нестандартных арифметических задач строится по принципу от простой задачи сложной. Учащихся обучают нахождению своего алгоритма решения. Не менее результативным в развитии логических универсальных учебных действий является применение сочетания различных видов нестандартных арифметических задач и систематическое их использование на уроках математики, что расширяет математический кругозор младших школьников и активнее использовать математические знания в повседневной жизни.

Глава 2. Опытно-экспериментальная работа по применению нестандартных арифметических задач в процессе развития логических универсальных учебных действий младших школьников

2.1. Изучение уровня развития логических универсальных учебных действий младших школьников

Теоретический анализ проблемы развития логических универсальных учебных действий младших школьников средствами нестандартных арифметических задач стал основанием экспериментального исследования.

С целью выявления уровня развития логических универсальных учебных действий младших школьников нами было проведено опытно-экспериментальное исследование на базе МБОУ «Школа № 130» г. Нижнего Новгорода. В эксперименте приняли участие 20 детей 2 класса. Возраст детей 8-9 лет. В психолого-педагогических характеристиках детей, представленных учителями, только у 3 человек исследуемых нами младших школьников отмечается высокий уровень развития логических универсальных учебных действий. У детей есть желание учиться, они добросовестно относятся к учёбе, но усидчивость и настойчивость в добывании знаний проявляют не все ребята. Некоторые дети несколько рассеяны, у них наблюдается гиперактивность и дефицит внимания.

Работа проводилась в 3 этапа:

1 этап – констатирующий, цель которого выявить уровень развития логических универсальных учебных действий младших школьников.

2 этап – формирующий, цель которого предложить и реализовать работу по развитию логических универсальных учебных действий младших школьников средствами нестандартных арифметических задач.

3 этап – контрольный, цель которого выявить эффективность реализованной работы.

На основании теоретических подходов, мы определили критерии развития логических универсальных учебных действий младших школьников, это: умения сравнивать, анализировать, обобщать, классифицировать, обосновывать и проводить аналогии.

Критерии развития логических универсальных учебных действий и уровни их сформированности у младших школьников представлены в таблице 1.

Таблица 1

Критерии развития логических универсальных учебных действий и уровни их сформированности

Критерии	Уровни сформированности логических универсальных учебных действий
	Высокий	Средний	Низкий
Умение анализировать и сравнивать	Ученик называет черты сходства и различия более чем 12 пар понятий.	Ученик называет черты сходства и различия 8 - 11 пар понятий.	Ученик называет черты сходства и различия менее чем 8-ми пар понятий.
Умение классифицировать, обобщать, обосновывать	Ученик выполняет операции обобщения, имеет способность к абстрагированию, выделению существенных признаков предметов и явлений; проводит аналогии и делает правильные умозаключения; хорошо осведомлен	Ученик частично выполняет операции обобщения, способен к абстрагированию, частично выделяет существенные признаки предметов и явлений; частично проводит аналогии, делает умозаключения, но не всегда верные; осведомленность средняя.	Ученик плохо выполняет операции обобщения, не имеет способности к абстрагированию, выделению существенных признаков предметов и явлений; частично проводит аналогии, но не делает правильных умозаключений; плохо осведомлен
Умение проводить аналогии	Учеником составлена верная последовательность рисунков. Он понимает связь событий, выстраивает последовательный рассказ, умеет мыслить логически.	Учеником составлена верная последовательность рисунков, но он не может составить правильный последовательный рассказа, вместо этого предлагает свой вариант рассказа.	Ученик испытывает сложности в составлении последовательности рисунков. Та последовательность, что составляется -не соответствует рассказу. Ученик производит описание отдельных картинок, не связанных между собой. На рисунках ученик просто перечисляет предметы либо вообще отказывается от рассказа.

Исходя из выделенных критериев, с целью выявления уровня развитии логических универсальных учебных действий, мы подобрали следующие методики:

1. Методика «Сравнение понятий», автор Л.С. Выготский (диагностика умения анализировать и сравнивать) (24);

2. Методика «Исследование словесно-логического мышления младших школьников», автор Э.Ф. Замбацявичене (диагностика умения классифицировать, обобщать, обосновывать) (15);

3. Методика «Последовательность событий», автор Н.А. Бернштейн (диагностика умения проводить аналогии) (15).

1. Для диагностики умения анализировать и сравнивать, мы использовали методику «Сравнение понятий», автор Л.С. Выготский.

Цель методики: определить уровень сформированности операции анализа и сравнения у младших школьников.

Испытуемому называют два слова, обозначающие те или иные предметы или явления, и просят сказать, что общего между ними и чем они отличаются друг от друга. При этом экспериментатор все время стимулирует испытуемого в поиске возможно большего количества черт сходства и различия между парными словами: «Чем они похожи?», «Еще чем?», «Чем они отличаются друг от друга?»

Рекомендованное время для интерпретации одной пары понятий составляет 3–5 минут для учащихся младших классов.

От испытуемого требуется указать сначала то, чем сходны предлагаемые понятия, а затем — как они отличаются. Соблюдение этой последовательности имеет важное значение для последующей интерпретации результатов.

Список слов для сравнения представлен в приложении 1.

Уровни развития умения анализировать и сравнивать распределились следующим образом:

Высокий уровень - ученик называет черты сходства и различия более чем 12 пар понятий.

Средний уровень - ученик называет черты сходства и различия 8 - 11 пар понятий.

Низкий уровень - ученик называет черты сходства и различия менее чем 8-ми пар понятий.

2. Для диагностики умения классифицировать, обобщать, обосновывать, мы применили методику «Исследование словесно-логического мышления младших школьников», автор Э.Ф. Замбацявичене.

Цель методики: исследование уровня развития и особенностей понятийного мышления, сформированности важнейших логических операций.

В методику входят 4 субтеста, включающих в себя 40 вербальных заданий (по 10 заданий в каждом), подобранных с учетом программного материала начальных классов (приложение 2).

Уровень развития словесно-логического мышления школьников определяется общим подсчётом баллов:

40б. - 30б. (100% - 75%) - высокий уровень развития;

29б. - 20б. (74% - 50%) - средний уровень развития;

19б. и менее (49% - 25%) - низкий уровень развития.

Уровни развития умения классифицировать, обобщать, обосновывать распределились следующим образом:

Высокий уровень развития – ученик выполняет операции обобщения, имеет способность к абстрагированию, выделению существенных признаков предметов и явлений; проводит аналогии и делает правильные умозаключения; хорошо осведомлен.

Средний уровень развития - ученик частично выполняет операции обобщения, способен к абстрагированию, частично выделяет существенные признаки предметов и явлений; частично проводит аналогии, делает умозаключения, но не всегда верные; осведомленность средняя.

Низкий уровень развития - ученик плохо выполняет операции обобщения, не имеет способности к абстрагированию, выделению существенных признаков предметов и явлений; частично проводит аналогии, но не делает правильных умозаключений; плохо осведомлен.

3. Для диагностики умения проводить аналогии, была проведена методика «Последовательность событий», автор Н.А. Бернштейн.

Цель методики: определить способность к логическому мышлению, умению понимать связь событий и строить последовательные умозаключения, выстраивать последовательность событий на основе сюжетных картинок.

Материал и оборудование: карточки с сюжетами (от 3 до 6), на которых изображены этапы какого-либо события (посадка цветов). Наиболее популярным экспериментальным материалом для этой методики являются сюжетные рисунки Х. Бидструпа (Приложение 3).

Уровни развития умения проводить аналогии распределяются следующим образом:

Высокий – учеником составлена верная последовательность рисунков. Он понимает связь событий, выстраивает последовательный рассказ, умеет мыслить логически.

Средний – учеником составлена верная последовательность рисунков, но он не может составить правильный последовательный рассказа, вместо этого предлагает свой вариант рассказа.

Низкий – ученик испытывает сложности в составлении последовательности рисунков. Та последовательность, что составляется -не соответствует рассказу. Ученик производит описание отдельных картинок, не связанных между собой. На рисунках ученик просто перечисляет предметы либо вообще отказывается от рассказа.

Таким образом, предлагаемые нами методики являются взаимодополняющими и дают возможность получения более объективной информации об уровне развития логических универсальных учебных действий у младших школьников исследуемой группы.

Результаты первичной диагностики уровня развития умения анализировать и сравнивать с помощью применения методики «Сравнение понятий», в исследуемой группе, представлены в таблице 2, а также на рисунке 1.

Таблица 2

Уровень развития умения анализировать и сравнивать с помощью применения методики «Сравнение понятий» в исследуемой группе

Уровень развития умения анализировать и сравнивать	Исследуемая группа
	Кол-во детей	%
Высокий уровень	2	10
Средний уровень	3	15
Низкий уровень	15	75

Анализ данных, представленных в таблице 2, позволяет сделать вывод о том, что, в исследуемой группе лишь у 2 человек (10%) выявлен высокий уровень развития умения анализировать и сравнивать. Ученики называли черты сходства и различия более чем 12 пар понятий.

Средний уровень развития умения анализировать и сравнивать выявлен у 3 учащихся исследуемой группы (15%). Ученики называли черты сходства и различия 8 - 11 пар понятий.

Низкий уровень развития умения анализировать и сравнивать выявлен у 15 учащихся исследуемой группы (75%). Ученики называли черты сходства и различия менее чем 8-ми пар понятий.

Рис 1. Результаты первичной диагностики уровня развития умения анализировать и сравнивать с помощью применения методики «Сравнение понятий» в исследуемой группе

Таким образом, результаты первичной диагностики по данной методике позволяют сделать вывод, что у большей части детей исследуемой группы (75%) выявлен низкий уровень развития умения анализировать и сравнивать. Эти дети не обладают в достаточной степени умением анализировать и сравнивать.

Результаты первичной диагностики уровня развития умения классифицировать, обобщать, обосновывать, с помощью методики «Исследование словесно-логического мышления младших школьников» в исследуемой группе, представлены в таблице 3, а также на рисунке 2.

Таблица 3

Уровень развития умения классифицировать, обобщать, обосновывать, с помощью методики «Исследование словесно-логического мышления младших школьников» в исследуемой группе

Уровень развития умения классифицировать, обобщать, обосновывать	Исследуемая группа
	Кол-во детей	%
Высокий уровень	2	10
Средний уровень	2	10
Низкий уровень	16	80

Анализ данных, представленных в таблице 3, позволяет сделать вывод о том, что, в исследуемой группе лишь у 2 человек (10%) выявлен высокий уровень развития умения классифицировать, обобщать, обосновывать. Ученики выполняли операции обобщения, были способны к абстрагированию, выделению существенных признаков предметов и явлений; проводили аналогии и делали правильные умозаключения; были хорошо осведомлены.

Средний уровень развития умения классифицировать, обобщать, обосновывать выявлен также у 2 учащихся исследуемой группы (10%). Ученики частично выполняли операции обобщения, были способны к абстрагированию, частично выделяли существенные признаки предметов и явлений; частично проводили аналогии, делали умозаключения, но не всегда верные; осведомленность у учеников средняя.

Низкий уровень развития умения классифицировать, обобщать, обосновывать выявлен у 16 учащихся исследуемой группы (80%). Ученики плохо выполняли операции обобщения, не были готовы к абстрагированию, выделению существенных признаков предметов и явлений; частично проводили аналогии, но не делали правильных умозаключений; были плохо осведомлены.

Рис 2. Результаты первичной диагностики уровня развития умения классифицировать, обобщать, обосновывать с помощью методики «Исследование словесно-логического мышления младших школьников» в исследуемой группе

Таким образом, результаты первичной диагностики по данной методике позволяют сделать вывод, что больше, чем у половины детей исследуемой группы (80%) выявлен низкий уровень развития умения классифицировать, обобщать, обосновывать. Эти дети не обладают достаточными умениями классифицировать, обобщать, обосновывать.

Результаты первичной диагностики уровня развития умения проводить аналогии, с помощью методики «Последовательность событий» в исследуемой группе, представлены в таблице 4, а также на рисунке 3.

Таблица 4

Уровень развития умения проводить аналогии, с помощью методики «Последовательность событий» в исследуемой группе

Уровень развития умения проводить аналогии	Исследуемая группа
	Кол-во детей	%
Высокий уровень	2	10
Средний уровень	4	20
Низкий уровень	14	70

Анализ данных, представленных в таблице 4, позволяет сделать вывод о том, что, в исследуемой группе лишь у 2 человек (10%) выявлен высокий уровень развития умения проводить аналогии. Учениками была составлена верная последовательность рисунков. Дети понимали связь событий, выстраивали последовательный рассказ, умели мыслить логически.

Средний уровень развития умения проводить аналогии выявлен у 4 учащихся исследуемой группы (20%). Учениками составлена верная последовательность рисунков, но дети не могли составить правильный последовательный рассказа, вместо этого предлагали свой вариант рассказа.

Низкий уровень развития умения проводить аналогии выявлен у 14 учащихся исследуемой группы (70%). Ученики испытывали сложности в составлении последовательности рисунков. Та последовательность, что составлялась - не соответствовала рассказу. Ученики производили описание отдельных картинок, не связанных между собой. На рисунках ученики просто перечисляли предметы либо вообще отказывались от рассказа.

Рис 3. Результаты первичной диагностики уровня развития умения проводить аналогии, с помощью методики «Последовательность событий» в исследуемой групп

Таким образом, результаты первичной диагностики по данной методике позволяют сделать вывод, что больше, чем у половины детей исследуемой группы (70%) выявлен низкий уровень развития умения проводить аналогии. Эти дети не умеют в достаточной степени проводить аналогии.

Таким образом, полученные результаты по данным методикам взаимодополняют друг друга и позволяют сделать вывод о том, что у детей исследуемой группы выявлен достаточно низкий уровень развития логических универсальных учебных действий. Который характеризуется низким уровнем развития таких умений как: анализировать и сравнивать; классифицировать, обобщать, обосновывать; проводить аналогии. Учащиеся называют черты сходства и различия менее чем 8-ми пар понятий. Младшие школьники плохо выполняют операции обобщения, не готовы к абстрагированию, выделению существенных признаков предметов и явлений; частично проводят аналогии, но не делают правильных умозаключений; плохо осведомлены. Они испытывают сложности в составлении последовательности рисунков. Та последовательность, что составлялась - не соответствовала рассказу. Ученики производили описание отдельных картинок, не связанных между собой. На рисунках ученики просто перечисляли предметы либо вообще отказывались от рассказа.

Результаты исследования показали необходимость разработки и реализации целенаправленной систематической работы по развитию логических универсальных учебных действий младших школьников средствами нестандартных арифметических задач.

2.2. Содержание работы по развитию логических универсальных учебных действий младших школьников средствами нестандартных арифметических задач

На основании результатов диагностики развития логических универсальных учебных действий младших школьников мы предложили и реализовали работу по развитию логических универсальных учебных действий младших школьников средствами нестандартных арифметических задач.

Цель работы: формирование у детей младшего школьного возраста логических универсальных учебных действий средствами нестандартных арифметических задач.

Задачи работы:

1. Способствовать развитию у младших школьников умений анализировать, синтезировать, сравнивать, подводить под понятие и выдвигать гипотезу.

2. Формировать умения классифицировать, обобщать, обосновывать, делать выводы.

3. Развивать умения излагать мысли в четкой логической последовательности.

4. Обучать умению проводить аналогии и самостоятельно находить ответы на вопросы путем логических рассуждений.

5. Формировать умение устанавливать причинно-следственные связи.

6. Формировать умение решать нестандартные арифметические задачи;

7. Развивать вычислительные навыки;

8. Обучать умению отстаивать свою точку зрения.

Основными принципами нашей работы развитию логических универсальных учебных действий младших школьников средствами нестандартных арифметических задач были:

1. Эмоциональная вовлеченность взрослого в познавательную деятельность.

2. Стимуляция любознательности ребенка.

3. Передача инициативы от взрослого ребенку.

4. Безоценочность.

5. Поддержка детской активности, исследовательского интереса и любопытства.

При разработке занятий развитию логических универсальных учебных действий младших школьников средствами нестандартных арифметических задач, мы опирались на материалы следующих авторов: Л.Н. Борейко (5), Е.Е. Останиной (16), В.А. Потаниной (18), Л.В. Селькиной (20), Г.Г. Левитас (40), А. К. Мендыгалиевой (44), Е.Н. Моревой (45), Д.А. Сергеевой (46), С.Е. Царевой (49), и др.

Для проведения работы по развитию логических универсальных учебных действий младших школьников были введены следующие правила:

- поднимай руку (если хочешь спросить);

- будь внимателен;

- не унижай других (не перебивай, не смейся);

- будь на своём месте (не толкай, не пересаживайся).

Данная работа содержала комплекс арифметических задач, направленных на развитие таких умений младших школьников, как: анализировать и сравнивать; классифицировать, обобщать, обосновывать; проводить аналогии.

Всего в нашей работе было использовано 5 типов задач. Задачи с естественным рассуждением, задачи-ловушки, задачи с формально-логическим аспектом, задачи с внутренним вопросом, задачи-загадки. Работа реализовывалась на 3-х ступенях: на 1 ступени все 5 типов задач решаются совместно с учителем, на 2 ступени решение этих задач должно проводиться с увеличением доли самостоятельной работы, а на 3 ступени решение должно быть самостоятельным.

Занятия развитию логических универсальных учебных действий младших школьников средствами нестандартных арифметических задач проводились после уроков в виде кружковой работы. Работа была рассчитана на 8 занятий по 40 минут, распределена по времени 1 раз в с учетом его достаточности для качественного развития логических универсальных учебных действий младших школьников и получения запланированных результатов. Сигналом к прекращению занятий могло служить изменившееся отношение к ним детей, успешное выполнение заданий.

В приложении 4 представлена система работы по развитию логических универсальных учебных действий младших школьников средствами нестандартных арифметических задач.

Краткое содержание работы по развитию логических универсальных учебных действий младших школьников средствами нестандартных арифметических задач представлено ниже.

Занятие 1. «Что такое нестандартные задачи, каковы их особенности»

Занятие 2. Ознакомление с несколькими правилами решения нестандартных задач»

Занятие 3. «Ознакомление с задачами «с естественным рассуждением»

Занятие 4. «Ознакомление с задачами – ловушками»

Занятие 5. «Ознакомление с задачами формально- логического аспекта»

Занятие 6. «Ознакомление с задачами с внутренним вопросом»

Занятие 7. «Ознакомление с задачами – загадками»

Занятие 8. «Решение задач разными способами, самостоятельно» (закрепление).

В процессе реализации работы по развитию логических универсальных учебных действий младших школьников средствами нестандартных арифметических задач наблюдается положительная динамика. В начале дети не проявляли особого интереса к предлагаемым занятиям. Занятия заканчивались достаточно быстро (20–25 минут). В середине реализации программы, заинтересованность детей в занятиях значительно возросла появился познавательный интерес. За счет заинтересованности детей время занятий существенно удлинилось (35-40 минут).

Каждое занятие было направлено на развитие нескольких компонентов логических универсально учебных действий. Участники были заинтересованы в занятиях. Приходили с желанием и в хорошем настроении. Отсутствие критики и формальных оценок, действовало на обучающихся положительно – упражнения игры и практические задания подбирались и разрабатывались в соответствии с возрастными особенностями и интересами детей, применение учебного материала в неформальной обстановке воспринималось детьми с легкостью и интересом.

Использование арифметических задач позволило развить познавательный интерес. Обучающиеся со слабыми познавательными возможностями могли воспользоваться подсказкой со стороны товарища или выбрать более легкое задание. Так же разноуровневые задания способствовали развитию мотивационной составляющей.

В общую систему работы над задачами была включена работа над логическими нестандартными задачами. Здесь на каждом уроке, мы решали логические задачи путём рассуждения, анализа содержания, установления взаимосвязей между данными и искомыми. В процессе такой работы у учащихся, повысился уровень логического и математического мышления, появлялся интерес к занятиям математикой, а также интерес к решению нестандартных арифметических задач. Применяя данные задачи в своей работе, мы отметили позитивную динамику овладения младшими школьниками навыком решения задач определённого вида. В связи с этим повысился учебный интерес младших школьников к решению нестандартных арифметических задач.

В ходе проведения работы произошли некоторые изменения в развитии логических универсальных учебных действий. Использование разнообразных приёмов в работе над нестандартными задачами, позволило сделать эту работу интересной и наиболее эффективной для развития логического мышления младших школьников нестандартными задачами.

Решение нестандартных задач активизировало деятельность учащихся. Учащиеся научились сравнивать, классифицировать, обобщать, анализировать, это способствовало более прочному и сознательному усвоению знаний. У детей появился интерес к решению нестандартных арифметических задач. Работа способствовала развитию таких умений как: анализировать и сравнивать; классифицировать, обобщать, обосновывать; проводить аналогии. Дети научились выделению существенных признаков предметов и явлений; установлению причинно – следственных связей, проводить анализ, классификацию, обобщение, сравнение, обосновывать, делать выводы и правильные умозаключения, излагать мысли в четкой логической последовательности, проводить аналогии, отстаивать свою точку зрения.

Таким образом, систематически и разнообразия работа над нестандартными задачами, различные способы их решения, позволяют развивать логическое мышление младших школьников.

2.3.Анализ результатов опытно-экспериментальной работы

После реализации работы по развитию логических универсальных учебных действий младших школьников средствами нестандартных арифметических задач, мы провели повторное исследование уровня развития логических универсальных учебных действий, и сравнили результаты в исследуемой группе.

В ходе повторной диагностики уровня развития умения анализировать и сравнивать с помощью применения методики «Сравнение понятий», было выявлено, что в исследуемой группе наблюдается положительная динамика, мы получили следующие результаты, представленные таблице 5, а также на рисунке 4.

Таблица 5

Сравнительные результаты первичной и повторной диагностики уровня развития умения анализировать и сравнивать с помощью применения методики «Сравнение понятий» в исследуемой группе

Уровень развития умения анализировать и сравнивать	Первичная диагностика			Повторная диагностика
	Кол-во детей	%	Кол-во детей		%
Высокий уровень	2	10	13		65
Средний уровень	3	15	4		20
Низкий уровень	15	75	3		15

Анализ данных, представленных в таблице 5, позволяет сделать вывод о том, что, в исследуемой группе уровень развития умения анализировать и сравнивать значительно повысился.

Высокий уровень развития умения анализировать и сравнивать выявлен у 13 человек (65%) исследуемой группы. Ученики называли черты сходства и различия более чем 12 пар понятий.

Средний уровень развития умения анализировать и сравнивать выявлен у 4 учащихся (20%) исследуемой группы. Ученики называли черты сходства и различия 8 - 11 пар понятий.

Низкий уровень развития умения анализировать и сравнивать выявлен лишь у 3 учащихся (15%) исследуемой группы. Ученики называли черты сходства и различия менее чем 8-ми пар понятий.

Рис 4. Сравнительные результаты первичной и повторной диагностики уровня развития умения анализировать и сравнивать с помощью применения методики «Сравнение понятий» в исследуемой группе.

Таким образом, сравнительные результаты первичной и повторной диагностики по данной методике позволяют сделать вывод, что в исследуемой группе наблюдается положительная динамика. Более, чем у половины детей исследуемой группы (65%) выявлен высокий уровень развития умения анализировать и сравнивать. Эти дети обладают в достаточной степени умением анализировать и сравнивать. Следовательно, уровень развития умения анализировать и сравнивать детей исследуемой группы, по результатам повторной диагностики – повысился.

Сравнительные результаты первичной и повторной диагностики уровня развития умения классифицировать, обобщать, обосновывать, с помощью методики «Исследование словесно-логического мышления младших школьников» в исследуемой группе представлены в таблице 6 и на рисунке 5.

Таблица 6

Сравнительные результаты первичной и повторной диагностики уровня развития умения классифицировать, обобщать, обосновывать, с помощью методики «Исследование словесно-логического мышления младших школьников» в исследуемой группе

Уровень развития умения классифицировать, обобщать, обосновывать	Первичное исследование		Повторное исследование
	Кол-во детей	%		Кол-во детей	%
Высокий	2	10		13	65
Средний	2	10		5	25
Низкий	16	80		2	10

Анализ данных, представленных в таблице 6, позволяет сделать вывод о том, что, в исследуемой группе уровень развития умения классифицировать, обобщать, обосновывать значительно повысился.

Высокий уровень развития умения классифицировать, обобщать, обосновывать, выявлен у 13 человек (65%) исследуемой группы. Ученики выполняли операции обобщения, были способны к абстрагированию, выделению существенных признаков предметов и явлений; проводили аналогии и делали правильные умозаключения; были хорошо осведомлены.

Средний уровень развития умения классифицировать, обобщать, обосновывать выявлен также у 5 учащихся исследуемой группы (25%). Ученики частично выполняли операции обобщения, были способны к абстрагированию, частично выделяли существенные признаки предметов и явлений; частично проводили аналогии, делали умозаключения, но не всегда верные; осведомленность у учеников средняя.

Низкий уровень развития умения классифицировать, обобщать, обосновывать выявлен лишь у 2 учащихся исследуемой группы (10%). Ученики плохо выполняли операции обобщения, не были готовы к абстрагированию, выделению существенных признаков предметов и явлений; частично проводили аналогии, но не делали правильных умозаключений; были плохо осведомлены.

Рис 5. Сравнительные результаты первичной и повторной диагностики уровня развития умения классифицировать, обобщать, обосновывать, с помощью методики «Исследование словесно-логического мышления младших школьников» в исследуемой группе.

Таким образом, из полученных результатов первичной и повторной диагностики уровня развития умения классифицировать, обобщать, обосновывать, в исследуемой группе наблюдается положительная динамика. Более, чем у половины детей исследуемой группы, у 13 человек (65%) выявлен высокий уровень развития умения классифицировать, обобщать, обосновывать. Эти дети выполняли операции обобщения, были способны к абстрагированию, выделению существенных признаков предметов и явлений; проводили аналогии и делали правильные умозаключения; были хорошо осведомлены. Следовательно, уровень развития умения классифицировать, обобщать, обосновывать детей исследуемой группы по результатам повторной диагностики – повысился.

Сравнительные результаты первичной и повторной диагностики уровня развития умения проводить аналогии, с помощью методики «Последовательность событий» в исследуемой группе представлены в таблице 7 и на рисунке 6.

Таблица 7

Сравнительные результаты первичной и повторной диагностики уровня развития умения проводить аналогии, с помощью методики «Последовательность событий» в исследуемой группе

Уровень развития умения проводить аналогии	Первичная диагностика		Повторная диагностика
	Кол-во детей	%	Кол-во детей	%
Высокий уровень	2	10	14	70
Средний уровень	4	20	5	25
Низкий уровень	14	70	1	5

Анализ данных, представленных в таблице 7, позволяет сделать вывод о том, что, в исследуемой группе уровень развития умения проводить аналогии, значительно повысился.

Высокий уровень развития умения проводить аналогии выявлен у 14 человек (70%). Учениками была составлена верная последовательность рисунков. Дети понимали связь событий, выстраивали последовательный рассказ, умели мыслить логически.

Средний уровень развития умения проводить аналогии выявлен у 5 учащихся исследуемой группы (25%). Учениками составлена верная последовательность рисунков, но дети не могли составить правильный последовательный рассказа, вместо этого предлагали свой вариант рассказа.

Низкий уровень развития умения проводить аналогии выявлен лишь у 1 ученика исследуемой группы (5%). Ученики испытывали сложности в составлении последовательности рисунков. Та последовательность, что составлялась - не соответствовала рассказу. Ученики производили описание отдельных картинок, не связанных между собой. На рисунках ученики просто перечисляли предметы либо вообще отказывались от рассказа.

Рис. 6. Сравнительные результаты первичной и повторной диагностики уровня развития умения проводить аналогии, с помощью методики «Последовательность событий» в исследуемой группе

Таким образом, из полученных результатов первичной и повторной диагностики уровня развития умения проводить аналогии, в исследуемой группе наблюдается положительная динамика. Более, чем у половины детей исследуемой группы, у 14 человек (70%) выявлен высокий уровень развития умения проводить аналогии. Этими детьми была составлена верная последовательность рисунков. Дети понимали связь событий, выстраивали последовательный рассказ, умели мыслить логически. Следовательно, уровень развития умения проводить аналогии детей исследуемой группы по результатам повторной диагностики – значительно повысился.

Таким образом, полученные результаты повторного исследования по вышеперечисленным методикам взаимодополняют друг друга и позволяют сделать вывод о том, что после реализации работы по развитию логических универсальных учебных действий младших школьников средствами нестандартных арифметических задач у детей исследуемой группы наблюдается значительное повышение уровня развития логических универсальных учебных действий. У младших школьников выявлен высокий уровень развития таких умений как: умения анализировать, сравнивать, классифицировать, обобщать, обосновывать, проводить аналогии. Учащиеся называют черты сходства и различия более чем 12 пар понятий, выполняют операции обобщения, имеют способность к абстрагированию, выделению существенных признаков предметов и явлений; проводят аналогии и делают правильные умозаключения; составляют верную последовательность рисунков, понимают связь событий, выстраивают последовательный рассказ, умеют мыслить логически.

Следовательно, проводимая работа по развитию логических универсальных учебных действий младших школьников средствами нестандартных арифметических задач дала положительный результат и её с полным основанием можно считать эффективной.

Выводы по главе 2

Теоретический анализ проблемы развития логических универсальных учебных действий младших школьников средствами нестандартных арифметических задач стал основанием экспериментального исследования. Мы провели опытно-экспериментальное исследование, на базе МБОУ «Школа № 130» г. Нижнего Новгорода. В исследовании приняли участие 20 детей 2 класса. Возраст детей 8-9 лет.

С целью выявления уровня развития логических универсальных учебных действий младших школьников мы использовали следующие методики: методика «Сравнение понятий», автор Л.С. Выготский (диагностика умения анализировать и сравнивать); методика «Исследование словесно-логического мышления младших школьников», автор Э.Ф. Замбацявичене (диагностика умения классифицировать, обобщать, обосновывать); методика «Последовательность событий», автор Н.А. Бернштейн (диагностика умения проводить аналогии).

По результатам исследования у детей исследуемой группы выявлен достаточно низкий уровень развития логических универсальных учебных действий. Который характеризуется низким уровнем развития таких умений как: анализировать и сравнивать; классифицировать, обобщать, обосновывать; проводить аналогии. Учащиеся называют черты сходства и различия менее чем 8-ми пар понятий. Младшие школьники плохо выполняют операции обобщения, не готовы к абстрагированию, выделению существенных признаков предметов и явлений; частично проводят аналогии, но не делают правильных умозаключений; плохо осведомлены. Они испытывают сложности в составлении последовательности рисунков. Та последовательность, что составлялась - не соответствовала рассказу. Ученики производили описание отдельных картинок, не связанных между собой. На рисунках ученики просто перечисляли предметы либо вообще отказывались от рассказа.

На основании результатов диагностики мы предложили и реализовали работу по развитию логических универсальных учебных действий младших школьников средствами нестандартных арифметических задач. Цель работы: формирование у детей младшего школьного возраста логических универсальных учебных действий средствами нестандартных арифметических задач. Работа содержала комплекс арифметических задач, направленных на развитие таких умений младших школьников, как: анализировать и сравнивать; классифицировать, обобщать, обосновывать; проводить аналогии.

После реализации работы, мы провели повторное исследование уровня развития логических универсальных учебных действий, и сравнили результаты в исследуемой группе.

По результатам повторного исследования у детей исследуемой группы наблюдается значительное повышение уровня развития логических универсальных учебных действий. У младших школьников выявлен высокий уровень развития таких умений как: умения анализировать, сравнивать, классифицировать, обобщать, обосновывать, проводить аналогии. Учащиеся называют черты сходства и различия более чем 12 пар понятий, выполняют операции обобщения, имеют способность к абстрагированию, выделению существенных признаков предметов и явлений; проводят аналогии и делают правильные умозаключения; составляют верную последовательность рисунков, понимают связь событий, выстраивают последовательный рассказ, умеют мыслить логически. Следовательно, проводимая работа по развитию логических универсальных учебных действий младших школьников средствами нестандартных арифметических задач дала положительный результат и её с полным основанием можно считать эффективной.

Заключение

Выпускная квалификационная работа посвящена теме «Нестандартные арифметические задачи как средство развития логических универсальных учебных действий младших школьников».

Проанализировав психолого-педагогическую литературу по проблеме развития логических универсальных учебных действий младших школьников средствами нестандартных арифметических задач, можно сделать следующие выводы.

Согласно первой задаче, логические универсальные учебные действия – это овладение действиями сравнения, анализа, синтеза, обобщения, классификации по родовидовым признакам, установление аналогий и причинно-следственных связей, построение рассуждений, отнесения к известным понятиям. В процессе развития логических универсальных учебных действий, у младших школьников формируются следующие умения: умение сравнивать – это умение определять черты сходства (сопоставление) и различия (противопоставление); умение анализировать – умение разделения целого на части и тщательное исследование каждого его компонента; умение классифицировать - это умение разделять какие-либо объекты по классам, отделам, разрядам в соответствии с их общими свойствами; умение проводить аналогии - это умение находить общее, по каким-либо признакам, отношениям между предметами, явлениями или понятиями; умение обобщать - это умение выражать главные результаты в общем положении, делать вывод, приводить обобщающее значение чему-либо; умение обосновывать - это приводить убедительные доказательства, или доводы, в результате которых принимается какое-либо утверждение.

Согласно второй задаче, нестандартная арифметическая задача - это текстовая задача, в которой требуется вычислить значение некоторой величины с помощью операций над числами, и для которой в курсе математики нет общих правил и положений, с помощью которых можно определить точный способ их решения. Нестандартные арифметические задачи могут являться важным средством формирования навыка самостоятельного построения учениками новых алгоритмов решения задач. Выделяют 5 типов нестандартных арифметических задач, наиболее применяемых в начальной школе: задачи с естественным рассуждением, задачи – ловушки, задачи с формально – логическим аспектом, задачи с внутренним вопросом, задачи – загадки. Важным в работе над решением нестандартных арифметических задач – является обучение младших школьников думать и рассуждать над задачей, догадываться, делать правильные выводы. Результатом применения таких задач является возможность сформирования различных способов умственной деятельности.

Согласно третьей задаче, возможности применения нестандартных арифметических задач в процессе развития логических универсальных учебных действий младших школьников состоят в том, что в методике обучения нестандартным задачам описываются приемы, использованные при ре­шении той или иной задачи, с помощью которых можно прийти к решению. Развитие логических универсальных учебных действий в процессе решения нестандартных арифметических задач строится по принципу от простой задачи сложной. Учащихся обучают нахождению своего алгоритма решения. Не менее результативным в развитии логических универсальных учебных действий является применение сочетания различных видов нестандартных арифметических задач и систематическое их использование на уроках математики, что расширяет математический кругозор младших школьников и активнее использовать математические знания в повседневной жизни.

В качестве четвёртой задачи, с целью выявления уровня развития логических универсальных учебных действий младших школьников, на базе МБОУ «Школа № 130» г. Нижнего Новгорода, мы провели опытно-экспериментальное исследование. В исследовании приняли участие 20 детей 2 класса. Возраст детей 8-9 лет.

В исследовании мы использовали следующие методики: методика «Сравнение понятий», автор Л.С. Выготский (диагностика умения анализировать и сравнивать); методика «Исследование словесно-логического мышления младших школьников», автор Э.Ф. Замбацявичене (диагностика умения классифицировать, обобщать, обосновывать); методика «Последовательность событий», автор Н.А. Бернштейн (диагностика умения проводить аналогии).

Полученные результаты по данным методикам взаимодополняют друг друга и позволяют сделать вывод о том, что у детей исследуемой группы выявлен достаточно низкий уровень развития логических универсальных учебных действий. Который характеризуется низким уровнем развития таких умений как: анализировать и сравнивать; классифицировать, обобщать, обосновывать; проводить аналогии. Учащиеся называют черты сходства и различия менее чем 8-ми пар понятий. Младшие школьники плохо выполняют операции обобщения, не готовы к абстрагированию, выделению существенных признаков предметов и явлений; частично проводят аналогии, но не делают правильных умозаключений; плохо осведомлены. Они испытывают сложности в составлении последовательности рисунков. Та последовательность, что составлялась - не соответствовала рассказу. Ученики производили описание отдельных картинок, не связанных между собой. На рисунках ученики просто перечисляли предметы либо вообще отказывались от рассказа.

Согласно пятой задаче, на основании результатов диагностики развития логических универсальных учебных действий младших школьников мы предложили и реализовали работу по развитию логических универсальных учебных действий младших школьников средствами нестандартных арифметических задач.

Цель работы: формирование у детей младшего школьного возраста логических универсальных учебных действий средствами нестандартных арифметических задач.

Данная работа содержала комплекс арифметических задач, направленных на развитие таких умений младших школьников, как: анализировать и сравнивать; классифицировать, обобщать, обосновывать; проводить аналогии. Всего в нашей работе было использовано 5 типов задач. Задачи с естественным рассуждением, задачи – ловушки, задачи с формально – логическим аспектом, задачи с внутренним вопросом, задачи – загадки.

Согласно пятой задаче, после реализации работы по развитию логических универсальных учебных действий младших школьников средствами нестандартных арифметических задач, мы провели повторное исследование уровня развития логических универсальных учебных действий, и сравнили результаты в исследуемой группе.

Полученные результаты повторного исследования по вышеперечисленным методикам взаимодополняют друг друга и позволяют сделать вывод о том, что после реализации работы по развитию логических универсальных учебных действий младших школьников средствами нестандартных арифметических задач у детей исследуемой группы наблюдается значительное повышение уровня развития логических универсальных учебных действий. У младших школьников выявлен высокий уровень развития таких умений как: умения анализировать, сравнивать, классифицировать, обобщать, обосновывать, проводить аналогии. Учащиеся называют черты сходства и различия более чем 12 пар понятий, выполняют операции обобщения, имеют способность к абстрагированию, выделению существенных признаков предметов и явлений; проводят аналогии и делают правильные умозаключения; составляют верную последовательность рисунков, понимают связь событий, выстраивают последовательный рассказ, умеют мыслить логически. Следовательно, проводимая работа по развитию логических универсальных учебных действий младших школьников средствами нестандартных арифметических задач дала положительный результат и её с полным основанием можно считать эффективной.

Таким образом, цель исследования - изучить и опытно-экспериментальным путем проверить эффективность применения нестандартных арифметических задач как средства развития логических универсальных учебных действий младших школьников, достигнута, поставленные задачи решены.

Подтверждена гипотеза о том, что процесс развития логических универсальных учебных действий младших школьников будет более эффективным, если:

- учитывать возрастные и индивидуальные особенности детей данного возраста;

- использовать возможности применения нестандартных арифметических задач для организации этого процесса.

В заключение необходимо отметить, что перспективным направлением может стать:

- работа с учителями начальных классов в направлении развития логических универсальных учебных действий младших школьников средствами нестандартных арифметических задач;

- работа с родителями в данном направлении.

Список источников и литературы

Нормативные и правовые акты

1. Федеральный Государственный Образовательный Стандарт Начального Образования, с. 8-9 [Текст] – (Электронный ресурс) – Режим доступа: https://fgos.ru/ (дата обращения 19.01.2020).

Учебная литература

1. Асмолов, А. Г., Бурменская Г. В., Володарская И. А. и др. Как проектировать универсальные учебные действия в начальной школе: от действия к мысли: пособие для учителя [Текст] / Под ред. А. Г. Асмолова. - М.: Просвещение, 2016. – 357с.

2. Баврин, И.И. Занимательные задачи по математике [Текст] / И.И. Баврин, Е.А. Фрибус. - М.: Владос, 2018. – 154с.

3. Бантова, М.А., Бельтюкова Г.В. Моро М.И. Математика. Учеб. для кл. нач. шк. [Текст] / М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова М.И. Моро. - М.: Просвещение, 2017. – 189с.

4. Борейко, Л.Н. Нестандартные задачи по математике в начальной школе [Текст] / Л.Н. Борейко. - Ростов н/Д: Феникс, 2018. - 169с.

5. Виноградова, Н.Ф. Математика. 1-4 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений [Текст] / Н.Ф. Виноградова, В.Н. Рудницкая, Т.В. Юдачева. - М.: Вентана-Граф, 2019. – 241с.

6. Волина, В.В. Праздник числа (Занимательная математика для детей). [Текст] – М.: Знание, 2017. – 336с.

7. Гельфман, Э.Г. Дело о делимости и другие рассказы: учеб. Пособие по математике для 4-гокласса [Текст] / Э.Г. Гельфман, Е.Ф. Бенк, Ю.Ю. Вольфенгаут, С.Я. Гриншпонидр. – Томск: Изд-во Том. ун-та, 2016. – 176с.

8. Жикалкина, Т.К. Занимательны и игровые задания по математике [Текст] /Т.К. Жикалкина. - М.: Просвещение, 2017. - 120с.

9. Истомина, Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах [Текст] / Н.Б. Истомина. - М.: Наука, 2018. – 145с.

10. Кондрашова, З.М., Солохин Н.Н. Логические задачи в начальной школе: технология обучения [Текст] / З.М. Кондрашова, Н.Н. Солохин. - Ростов н/Д: Феникс, 2017. - 137с.

11. Лавренко, Т.А. Как научить детей решать задачи: методические рекомендации для учителей нач. кл. [Текст] / Т.А. Лавренко. - Саратов: Лицей, 2019. - 164с.

12. Лихтарников, Л.М. Занимательные логические задачи. Для учащихся начальной школы [Текст] / Л.М. Лихтарников. - СПб.: Лань, 2016. – 287с.

13. Манвелов, С.Г. Конструирование современного урока математики [Текст] / С.Г. Манвелов. – М.: Просвещение – 2018. – 162 с.

14. Мочалова, О.Б. Развитие логических способностей школьников. Учебно-методическое пособие для учителей и учащихся [Текст]/ О.Б. Мочалова. – Казань: Учитель, 2017. – 154с.

15. Останина, Е.Е. Обучение младших школьников решению нестандартных арифметических задач // Обучение младших школьников решению текстовых задач: Сборник статей [Текст] / Е.Е. Останина. - Смоленск: Ассоциация 21 век, 2018. - 272с.

16. Петерсон, Л.Г. Математика. 1 класс / Л.Г. Петерсон. - М.: Ювента, 2017. – 201с.

17. Потанина, В.А. Методы и приёмы решения нестандартных задач в начальных классах [Текст] / В.А. Потанина. – Новый Уренгой: Центр детства, 2017. – 158с.

18. Савинова, Р.В., Белолюбская А.А. Логические игры и упражнения для развития интеллектуальных способностей у детей 6-10 лет [Текст] / Р.В. Савинова, А.А. Белолюбская. - М.: Академия, 2018. - 95с.

19. Селькина, Л.В. Решение нестандартных задач в начальном курсе математики как средство формирования субъекта учебной деятельности [Текст] / Л.В. Селькина. – Пермь: Легион, 2017. – 197с.

20. Стойлова, Л. П. Математика: учебник для студентов отделений и факультетов начальных классов средних и высших педагогических учебных заведений [Текст] / Л. П. Стойлова. – М.: Академия, 2017. – 464с.

21. Тихомирова, Л.Ф. Упражнения на каждый день. Логика для младших школьников [Текст] / Л.Ф. Тихомирова. – Ярославль: Академия развития, 2019. – 247с.

22. Тихоненко, А.В. Теоретические и методические основы изучения математики в начальной школе [Текст] / А.В. Тихоненко. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2017. – 137с.

23. Туркина, В.М. Как развивать математические способности у учащихся начальной школы: Методическое пособие [Текст] / В.М. Туркина. – М.: АРКТИ, 2019. – 148с.

24. Формирование универсальных учебных действий в основной школе: от действия к мысли. Система заданий: пособие для учителя [Текст] / под ред. А. Г. Асмолова. - М.: Просвещение, 2016. - 159с.

25. Фридман, Л.М., Турецкий Е. Н. Как научить решать задачи. Пособие для учащихся [Текст] / Л.М. Фридман, Е. Н. Турецкий. -М.: Просвещение, 2015. – 89с.

26. Фридман, Л. М. Психология детей и подростков: справочник для учителей и воспитателей [Текст] / Л.М. Фридман. - М.: Издательство Института психотерапии, 2018. - 480с.

27. Щукина, Г.И. Педагогические проблемы формирования познавательных интересов учащихся [Текст] / Г.И. Щукина. - М.: Педагогика, 2019. - 134с.

28. Эрдниев, П.М. Обучение математике в начальных классах [Текст] / П.М. Эрдниев. – М.: Сфера, 2019. – 160с.

Научная литература

1. Абрамова, С.П. Программа «Введение в геометрию» [Текст] / С.П. Абрамова // Современный урок. - 2019. - №1.- С. 122-128.

2. Ассонова, Р.А., Ассонова Н.В. Решение задач методом перебора в курсе математики I и II классов [Текст] / Р.А. Ассонова, Н.В. Ассонова // Начальная школа. – 2018. – № 10. – С. 32–37.

3. Бабкина, Н.В. Нетрадиционный курс Развивающие игры с элементами логики для первых классов начальной школы [Текст] / Бабкина Н.В. // Психологическое обозрение. - 2016. - № 2. - С. 47-52.

4. Белоусов, В. Д., Петрушин, П. К. Классификация математических понятий в школе: по материалам отечеств. исследов. [Текст] / В. Д. Белоусов, П. К. Петрушин // Повышение эффективности обучения математике в школе: Из опыта работы. - 2017. - № 3. – С.92 – 95.

5. Болотина, Л.Р. Развитие мышления учащихся [Текст] / Л.Р. Болотина // Начальная школа. - 2018. - № 11. - С. 28-34.

6. Истомина, Н.Б. Развитие УУД у младших школьников в процессе решения логических задач [Текст] / Н.Б. Истомина, Н.Б. Тихонова // Начальная школа. - 2019. - №6. - С. 30-34.

7. Истомина, Н.Б., Нефедова И.Б. Первые шаги в формировании умения решать задачи. Новые подходы в обучении [Текст] / Н.Б. Истомина, И.Б. Нефедова // Начальная школа. - 2019. - № 11. - С. 14-20.

8. Карабанова, О.А. Что такое универсальные учебные действия и зачем они нужны [Текст] / О. А. Карабанова // Муниципальное образование: инновации и эксперимент. - 2019. - № 2. - С. 11-18.

9. Киргуева, Ф. Х. Работа над математическими понятиями в начальной школе [Текст] / Ф. Х. Киргуева // Начальная школа. – 2018. – №6. – С.50 – 54.

10. Ковалева, И. В. Формирование математических понятий: методология и методика формирования научных понятий у учащихся школ: материалы XV междунар. науч.-практ. конф., 12-13 мая, 2018 [Текст] / И. В. Ковалева. - Челябинск: ИИУМЦ Образование, 2018 – С. 319-322.

11. Левитас, Г.Г. Нестандартные задачи в курсе математики начальной школы [Текст] / Г.Г. Левитас // Начальная школа. – 2017. – №5. – С. 61-66.

12. Липина, И. Развитие логического мышления на уроках математики [Текст] / И.Липина // Начальная школа. - 2017. - № 8. - С. 37-39.

13. Магомеддиберова, З.А. Развитие логических УУД в процессе обучения математике [Текст] / З.А. Магомеддиберова // Начальная школа. - 2016. - №9. - С. 40-44.

14. Мендыгалиева, А. К. Методические основы преемственности в обучении математике [Текст] / А. К. Мендыгалиева // Известия Самарского научного центра РАН. - 2017. - №4. – С. 28-33.

15. Мендыгалиева, А. К. Некоторые виды нестандартных задач в начальном курсе математики / А. К. Мендыгалиева // Научно-методический электронный журнал «Концепт». – 2016. – Т. 17. – С. 686–690. – URL: http://e-koncept.ru/2016/46313.htm (дата обращения 20.02.2020).

16. Морева, Е.Н. Использование нестандартных задач на уроках математики в начальной школе [Текст] / Е.Н. Морева, Т.С. Хазыкова // Актуальные вопросы совре­менного образования: Сборник статей VII Международной научной конферен­ции. - Ставрополь: Логос, 2016. - С. 79-83.

17. Сергеева, Д.А. Нестандартные арифметические задачи - одно из средств формирования исследовательских умений [Текст] / Д.А. Сергеева // Начальная школа. - 2019. - №11. - С. 62-65.

18. Смирнова, С.И. Использование чертежа при решении простых задач [Текст] / С.И. Смирнова // Начальная школа. - 2018. - № 5. - С. 13-19.

19. Царева, С.Е. Виды работы с задачами на уроке математики [Текст] / С.Е. Царева // Начальная школа. – 2020. – № 1. – С. 37-42.

20. Царева, С.Е. Нестандартные виды работы с задачами на уроке как средство реализации современных педагогических концепций и технологий [Текст] / С.Е. Царева // Начальная школа. – 2019. – № 4. – С. 49-56.

21. Ячменникова, Т. С. Деятельностный подход в формировании универсальных учебных действий на уроках математики в 1 классе [Текст] / Т. С. Ячменникова // Муниципальное образование: инновации и эксперимент. - 2017. - №1. – С. 24-30.

Приложения

Приложение 1

Методика «Сравнение понятий», автор Л.С. Выготский

Цель: Определить уровень сформированности операции анализа и сравнения у младших школьников.

Испытуемому называют два слова, обозначающие те или иные предметы или явления, и просят сказать, что общего между ними и чем они отличаются друг от друга. При этом экспериментатор все время стимулирует испытуемого в поиске возможно большего количества черт сходства и различия между парными словами: «Чем они похожи?», «Еще чем?», «Чем они отличаются друг от друга?»

Рекомендованное время для интерпретации одной пары понятий составляет 3–5 минут для учащихся младших классов.

От испытуемого требуется указать сначала то, чем сходны предлагаемые понятия, а затем — как они отличаются. Соблюдение этой последовательности имеет важное значение для последующей интерпретации результатов

Список слов для сравнения

утро – вечер

велосипед - мотоцикл

ворона – рыба

лев - собака

лев – тигр

ворона - воробей

поезд – самолет

яблоко - вишня

корова – лошадь

летчик - тракторист

обман – ошибка

собака - кошка

трамвай – автобус

река – озеро

Обработка результатов

Количественная обработка заключается в подсчете числа черт сходства и различия.

а) Высокий уровень - школьник назвал черты сходства и различия более чем 12 пар понятий.

б) Средний уровень - школьник назвал черты сходства и различия 8 - 11 пар понятий.

в) Низкий уровень - школьник назвал черты сходства и различия менее чем 8-ми пар понятий.

Качественная обработка состоит в том, что экспериментатор анализирует, какие черты отметил учащийся в большем количестве - сходства или различия.

Приложение 2

Методика «Исследование словесно-логического мышления младших школьников», автор Э.Ф. Замбацявичене

Цель методики: исследование уровня развития и особенностей понятийного мышления, сформированности важнейших логических операций.

Оцениваемые универсальные учебные действия - познавательные логические:

1. Анализ объектов с выделением существенных и несущественных признаков.

2. Логические действия сравнения, классификации по заданным критериям.

3. Сформированность логического действия «умозаключения», умения устанавливать аналогии.

4. Сформированность умения обобщать, осуществлять генерализацию и выведение общности для ряда или класса единичных объектов на основе выделения сущностной связи.

Оборудование: опросник, включающий четыре вербальных субтеста.

Характер предъявления – возможно групповое, возможно индивидуальное предъявление.

Описание методики: в методику входят 4 субтеста, включающих в себя 40 вербальных заданий (по 10 заданий в каждом), подобранных с учетом программного материала начальных классов.

В состав первого субтеста входят задания направленные на выявление осведомленности, требующие от испытуемых дифференцировать существенные признаки предметов или явлений от несущественных, второстепенных. По результатам выполнения некоторых задач субтеста можно судить о запасе знаний испытуемого.

Второй субтест направлен на выявление сформированности логического действия (классификация), способности к абстрагированию; состоит из заданий, представляющих собой словесный вариант исключения "пятого лишнего".

Третий субтест - задания на сформированность логического действия «умозаключения» (по решению аналогий). Для их выполнения испытуемому необходимо уметь установить логические связи и отношения между понятиями.

Четвертый субтест направлен на сформированность обобщающих понятий (подведение двух понятий под общую категорию – обобщение), выявление умения обобщать (испытуемый должен назвать понятие, объединяющее два слова, входящих в каждое задание субтеста).

К каждому субтесту даётся своя инструкция:

I субтест " Продолжите предложение одним из слов, содержащихся в скобках. Для этого подчеркните его». (Какое слово из всех, что я назову, подходит больше всего? Правильный ответ подчеркните).

задание

У сапога есть (шнурок, пряжка, подошва, ремешки, пуговицы).

В теплых краях обитает (медведь, олень, волк, верблюд, тюлень).

В году (24, 3, 12, 4, 7 месяцев).

Месяц зимы (сентябрь, октябрь, февраль, ноябрь, март).

В России не живет (соловей, аист, синица, страус, скворец).

Отец старше своего сына (часто, всегда, иногда, редко, никогда).

Время суток (год, месяц, неделя, день, понедельник).

Вода всегда (прозрачная, холодная, жидкая, белая, вкусная).

У дерева всегда есть (листья, цветы, плоды, корень, тень).

Город России (Париж, Москва, Лондон, Варшава, София)).

II субтест "Одно слово из пяти лишнее, оно не подходит ко всем остальным. Послушайте внимательно, какое слово лишнее? Правильный ответ подчеркните".

задание

Тюльпан, лилия, фасоль, ромашка, фиалка.

Река, озеро, море, мост, болото.

Кукла, медвежонок, песок, мяч, лопата.

Киев, Харьков, Москва, Донецк, Одесса.

Шиповник, сирень, тополь, жасмин, боярышник.

Окружность, треугольник, четырехугольник, указка, квадрат.

Иван, Петр, Нестеров, Макар, Андрей.

Курица, петух, лебедь, гусь, индюк.

Число, деление, вычитание, сложение, умножение.

Веселый, быстрый, грустный, вкусный, острожный.

III субтест "К слову "птица" подходит слово "гнездо ", скажите, какое слово подходит к слову "собака " так же, как к слову "птица" подходит слово "гнездо". Почему? Теперь надо подобрать пару к другим словам. Какое слово подходит к слову "георгин" так же, как к слову "огурец" подходит слово "овощ". Выберите из тех, что я вам назову. Итак, огурец - овощ, а георгин- ... Правильный ответ подчеркните ".

задание
1	Огурец	Георгин
	Овощ	сорняк, роса, садик, цветок, земля
2	Учитель	Врач
	Ученик	очки, больные, палата, больной, термометр
3	Огород	Сад
	Морковь	забор, грибы, яблоня, колодец, скамейка
4	Цветок	Птица
	Ваза	клюв, чайка, гнездо, яйцо, перья
5	Перчатка	Сапог
	Рука	чулки, подошва, кожа, нога, щетка
6	Темный	Мокрый
	Светлый	солнечный, скользкий, сухой, теплый, холодный
7	Часы	Термометр
	Время	стекло, температура, кровать, больной, врач
8	Машина	Лодка
	Мотор	река, моряк, парус, волна, берег
9	Стул	Игла
	деревянный	острая, тонкая, блестящая, короткая, стальная
10	Стол	Пол
	Скатерть	мебель, ковер, пыль, доска, гвозди

IV субтест "Каким общим словом можно назвать ... ?

Правильный ответ запишите".

Задание

1. Метла, лопата (инструменты)

2. Окунь, карась (рыбы)

3. Лето, зима (времена года)

4. Огурец, помидор (овощи)

5. Сирень, шиповник (кустарники)

6. Шкаф, диван (мебель)

7. День, ночь (время суток)

8. Слон, муравей (животные)

9. Июнь, июль (месяцы)

10. Дерево, цветок (растения)

Обработка результатов. Оценка в баллах по каждому заданию получается путем суммирования всех правильных ответов по данному субтесту.

Общий балл сравнивается с максимально возможным баллом по данному тесту в целом (он составляет 40 баллов), и в соответствии с ним устанавливается уровень развития словесно-логического мышления школьников:

40б. - 30б. (100%—75%) — высокий уровень развития;

29- 20б. (74%—50%)— средний уровень развития;

19 б. и менее (49%—25%)— низкий уровень развития

Приложение 3

Методика «Последовательность событий», автор Н.А. Бернштейн

В отечественной психологической практике данная методика предложена Н.А.Бернштейном (С. Л. Рубинштейн, 1979).

Цель исследования: определить способность к логическому мышлению, обобщению, умению понимать связь событий и строить последовательные умозаключения.

Материал и оборудование: сюжетные картинки (от 3 до б), на которых изображены этапы какого-либо события. Популярным экспериментальным материалом для этой методики являются сюжетные рисунки Х.Бидструпа (например, рис. 20).

Процедура исследования

Ребенку показывают беспорядочно разложенные картинки и дают следующую инструкцию: «Посмотри, перед тобой лежат картинки, на которых изображено какое-то событие. Порядок картинок перепутан, и тебе надо догадаться, как их поменять местами, чтобы стало ясно, что нарисовал художник. Подумай, переложи картинки, как считаешь нужным, а потом составь по ним рассказ о том событии, которое здесь изображено».

П

осле того, как ребенок разложит все картинки, экспериментатор записывает в протоколе порядок картинок (например, 1, 2, 4, 3). Затем он просит ребенка рассказать по порядку о том, что получилось, т.е. составить устный рассказ по этим картинкам.

Бывают случаи, когда при неправильно составленной последовательности рисунков испытуемый тем не менее сочиняет логичную версию рассказа. Такое выполнение задания рассматривается как верное.

Если ребенок правильно установил последовательность картинок, но не смог составить хорошего рассказа, необходимо задать ему несколько вопросов, чтобы уточнить причину затруднения. Если ребенок правильно нашел последовательность, но не смог составить рассказ даже с помощью наводящих вопросов, то такое выполнение задания рассматривается как неудовлетворительное.

Особо рассматриваются случаи, когда молчание ребенка обусловлено личностными причинами: боязнь общения с незнакомыми людьми, страх допустить ошибку, ярко выраженная неуверенность в себе и др.

Считается, что испытуемый не справился с заданием, если: 1) не смог найти последовательность событий и отказался от рассказа; 2) по найденной им самим последовательности картинок составил нелогичный рассказ; 3) составленная испытуемым последовательность не соответствует рассказу (за исключением тех случаев, когда ребенок после наводящего вопроса взрослого меняет последовательность и соответствующий рассказ); 4) каждая картинка описывается отдельно, сама по себе, не связанно с остальными — в результате рассказа не получается; 5) на каждом рисунке просто перечисляются отдельные предметы.

Приложение 4

Система работы по развитию логических универсальных учебных действий младших школьников средствами нестандартных арифметических задач

Цель работы: формирование у детей младшего школьного возраста логических универсальных учебных действий средствами нестандартных арифметических задач.

Задачи работы:

1. Способствовать развитию умений анализировать, синтезировать, сравнивать, подводить под понятие и выдвигать гипотезу.

2. Формировать умения классифицировать, обобщать, обосновывать, делать выводы.

3. Развивать умения излагать мысли в четкой логической последовательности.

4. Обучать умению проводить аналогии и самостоятельно находить ответы на вопросы путем логических рассуждений.

5. Формировать умение устанавливать причинно-следственные связи.

6. Формировать умение решать нестандартные арифметические задачи;

7. Развивать вычислительные навыки;

8. Обучать умению отстаивать свою точку зрения.

Занятие 1. «Что такое нестандартные задачи, каковы их особенности»

Учащимся предлагалось сравнить тексты обычных сюжетных арифметических задач, которые входят в начальный курс математики и нестандартных задач. После того, как сравнение и анализ особенностей проведены, необходимо сделать выводы о том, какие отличительные особенности есть у нестандартных задач.

Стандартной называется задача, в которой четко определено условие, известны способ решения и его обоснование, а также даны упражнения на воспроизведение известного.

Пример: За два дня девочка прочитала 10 страниц. В І день она прочитала 2 страницы. Сколько страниц она прочитала во ІІ день?

10 стр.

В І день – 2 стр.

Во ІІ день – ? стр.

Решение:

10-2=8(стр.)

Ответ: 8 страниц.

Нестандартная задача, пример:

Тройка лошадей проскакала 15 км. Сколько км проскакала каждая лошадь?

Хочется выполнить деление 15:3 и тогда ответ: 5 км. На самом деление выполнять совсем не требуется, поскольку каждая лошадь проскакала столько же, сколько и тройка.

Далее проводилась работа, в процессе которой дети познакомятся с приемами решения нестандартных задач.

Процесс решения любой нестандартной задачи состоит в последовательном применении двух операций:

1. сведение путем преобразований нестандартной задачи к другой, ей сходной, но уже стандартной задаче;

2. разбиение нестандартной задачи на несколько стандартных подзадач. Для сведения нестандартной задачи к стандартной не существует определенных правил. Однако если внимательно, вдумчиво анализировать, решать каждую задачу, фиксируя в своей памяти все приемы, с помощью которых были найдены решения, какими методами были решены задачи, то вырабатывается умение в таком сведении.

3. Детям предлагается рассмотреть использование этого правила на примере нестандартной задачи:

По тропинке, вдоль кустов, шел десяточек хвостов,

Сосчитать я также смог, что шагало тридцать ног.

Это вместе шли куда – то петухи и поросята.

Ну а мой вопрос таков – сколько было петухов?

И узнать я был бы рад - сколько было поросят?

Если не удается решить данную задачу, попытаемся свести ее к сходной.

Переформулируем:

1.Придумаем и решим похожую, но более простую.

2. Используем её решение для решения данной.

Трудность в том, что в задаче два типа зверей. Пусть все будут поросятами, тогда ног будет 40.

Составим похожую задачу:

По тропинке, вдоль кустов, шел десяточек хвостов.

Сосчитать я также смог, что шагало сорок ног.

Это вместе шли куда – то петухи и поросята.

Ну а мой вопрос таков - сколько было петухов?

И узнать я был бы рад – сколько было поросят?

Ясно, что если ног в 4 раза больше, чем хвостов, то все животные – поросята.

В похожей задаче взяли 40 ног, а в основной их было 30. Как уменьшить число ног? Заменить поросенка петушком.

Решение основной задачи: если бы все животные были поросятами, то у них было 40 ног. Когда заменяем поросенка петушком, число ног уменьшается на два. Всего надо сделать пять замен, чтобы получить 30 ног.

Значит, шагало 5 петушков и 5 поросят.

Как придумать «похожую» задачу?

2 способ решения задачи.

В данной задаче можно применить принцип уравнивания.

Пусть все поросята встанут на задние ноги.

10*2 =20 столько ног шагает по тропинке

30 – 20 =10 столько передних ног у поросят

10:2 = 5 поросенка шло по тропинке Ну а петушков 10 -5 =5.

Занятие 2. Ознакомление с несколькими правилами решения нестандартных задач»

1. «Простое» правило: не пропустите самую простую задачу. Обычно простую задачу не замечают. А начинать надо именно с неё.

2. «Очередное» правило: условия по возможности надо менять по очереди. Количество условий - конечное число, так что до всех рано или поздно дойдет очередь.

3. «Неизвестное» правило: изменив одно условие, другое, связанное с ним обозначьте х, а потом подберите его так, чтобы вспомогательная задача решалась при данном значении и не решалась при увеличении х на единицу. 4. «Интересное» правило: делайте условия задачи более интересными. 5. «Временное» правило: если в задаче идет какой-то процесс и конечное состояние более определенно, чем начальное, стоит запустить время в обратную сторону: рассмотреть последний шаг процесса, потом предпоследний и т.д.

Рассмотрим применение этих правил.

При решении использовалось «простое» правило.

Задача № 1.

На кустике висело 7 ягод клубники. Когда несколько ягод созрело и упало, осталось 5 ягод. Сколько ягод созрело и упало?

Было - 7 ягод.

Упало - ? ягод.

Осталось – 5 ягод.

7 – 5 = 2 (яг.)

Ответ: 2 ягоды созрело и упало.

При решении использовалось «очередное» правило.

Задача № 2.

Кузнец подковывает одно копыто за 15 минут. Сколько времени потребуется 8 кузнецам, чтобы подковать 10 лошадей. (Лошадь не умеет стоять на двух ногах).

Используем приём пропорционального уменьшения.

1шаг. Лошадей и кузнецов слишком много, уменьшим пропорционально их количество, составив задачу. Кузнец подковывает одно копыто за пять минут. Сколько времени потребуется четверым кузнецам, чтобы подковать пять лошадей?

Ясно, что минимально возможное время 25 минут, но может ли оно быть достигнуто? Необходимо организовать работу кузнецов без простоев. Будем15 действовать, не нарушая симметрии. Расположим пять лошадей по кругу. После того как четверо кузнецов подкуют каждый одно копыто лошади, кузнецы сдвинутся на одну лошадь по кругу. Чтобы обойти полный круг, потребуется пять тактов работы по пять минут. Во время 4 тактов каждая лошадь будет подковываться, а один такт отдыхать. В итоге все лошади будут подкованы за 25 минут.

2 шаг. Возвращаясь к исходной задаче, заметим, что 8=2* 4, а 10=2*5. Тогда 8 кузнецов нужно разбить на две бригады по 4 человека в каждой, а лошадей – на два табуна по 5 лошадей в каждом. За 25 минут первая бригада кузнецов подкует первый табун, а вторая – второй.

При решении использовалось «неизвестное» правило.

Задача № 3.

Пять девочек нашли девять ромашек. Докажите, что хотя бы двое из них нашли ромашек поровну.

1шаг. Девочек очень много. Пусть их будет на 2 меньше в следующей задаче. «Три девочки нашли х ромашек. Докажите, что хотя бы двое из них нашли ромашек поровну».

Для доказательства установим, при каких х задача имеет решение. При х=0, х=1, х=2 задача имеет решение, при х=3 задача не имеет решение.

Сформулируем похожую задачу.

Три девочки нашли 2 ромашки. Докажите, что хотя бы две из них нашли ромашек поровну.

Пусть все три девочки нашли разное число ромашек. Тогда минимальное число ромашек равно 3, поскольку 3=0+1+2. Но по условию число ромашек меньше 3, поэтому две девочки из трех нашли одинаковое число ромашек. При решении исходной задачи рассуждения точно такие же. Пусть все, пять девочек, нашли разное число ромашек. Минимальное число ромашек тогда должно равняться 10. (10 =0+1+2+3+4). Но по условию число ромашек меньше 10, поэтому две девочки нашли одинаковое число ромашек.

При решении задач № 3и № 4 использовали «временное» правило.

Задача № 4.

Над озерами летели лебеди. На каждом садилась половина лебедей и еще пол-лебедя, остальные летели дальше. Все сели на семи озерах. Сколько было лебедей?

1шаг. Идет процесс, начальное состояние не определено, конечное – нулевое, т.е. не стало летящих лебедей.

Запускаем время в обратную сторону, придумав такую задачу:

Над озерами летели лебеди. На каждом взлетало пол-лебедя и еще столько, сколько теперь летело. Все взлетали с семи озер. Сколько было лебедей?

2шаг. Начинаем с нуля:

(((((((0+1/2)2+1/2)2+1/2)2+1/2)2+1/2)2+1/2)2+1/2)2=127.

Задача № 5.

У моста через речку встретились лодырь и черт. Лодырь пожаловался на свою бедность. В ответ черт предложил:

- Я могу помочь тебе. Каждый раз, как ты перейдешь этот мост, у тебя деньги удвоятся. Но каждый раз, перейдя мост, ты должен будешь отдать мне 24 копейки. Три раза переходил мост лодырь, а когда заглянул в кошелек, там стало пусто. Сколько денег было у лодыря? (((0+24):2+24):2+24):2= 21

Занятие 3. «Ознакомление с задачами «с естественным рассуждением»

Дети решали задачи у доски, с помощью учителя. Задачи дети решали с помощью карточек, цветных магнитов.

Задача № 1.

Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: ''Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский». Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?

Решение. Имеется три утверждения:

Вадим изучает китайский; Сергей не изучает китайский; Михаил не изучает арабский.

Если верно первое утверждение, то верно и второе, так как юноши изучают разные языки. Это противоречит условию задачи, поэтому первое утверждение ложно.

Если верно второе утверждение, то первое и третье должны быть ложны. При этом получается, что никто не изучает китайский. Это противоречит условию, поэтому второе утверждение тоже ложно.

Остается считать верным третье утверждение, а первое и второе – ложными. Следовательно, Вадим не изучает китайский, китайский изучает Сергей.

Ответ: Сергей изучает китайский язык, Михаил – японский, Вадим – арабский.

Задача № 2.

Крестьянину нужно перевезти через реку волка, козу и капусту. Но лодка такова, что в ней может поместиться только крестьянин, а с ним или один волк, или одна коза, или одна капуста. Но если оставить волка с козой, то волк съест козу, а если оставить козу с капустой, то коза съест капусту.

Как перевез свой груз крестьянин?

Решение: Ясно, что приходится начать с козы. Крестьянин, перевезши козу, возвращается и берет волка, которого перевозит на другой берег, где его и оставляет, но зато берет и везет обратно на первый берег козу. Здесь он оставляет ее и перевозит к волку капусту. Вслед затем, возвратившись, он перевозит козу, и переправа оканчивается благополучно.

Задача № 3.

Организационная деятельность учащихся: детям давались карточки с буквами и они раскладывали варианты ответов.

Три товарища, Алёша, Коля и Саша, сели на скамейку в один ряд.

Сколькими способами они могут это сделать?

Пусть А – Алёша, К – Коля, С – Саша. Тогда возможны варианты:

А,К,С; А,С,К; К,А,С; К,С,А; С,А,К; С,К,А.

Алёша, Коля и Саша могут расположиться на скамейке 6 способами.

Задача № 4.

Организационная деятельность учащихся: дети показывали варианты ответов на доске с помощью цветных магнитов. Дима, это были синие магниты, а Вова, это были зелёные магниты.

У Димы и Вовы 3 открытки. Сколько открыток у Димы? Сколько открыток у Вовы?

Задание предполагает 4 варианта решения:

1. открытка у Димы и 2 открытки у Вовы;

2. открытки у Димы и 2 открытки у Вовы; 3 открытки у Димы и у Вовы ни одной; ни одной открытки у Димы и 3 открытки у Вовы.

Задача № 5.

Организационный момент учащихся: дети выходили к доске и прыгали с ноги на ногу, как будто с берега на берег.

Женя решил прогуляться и пошел по левому берегу ручья. Во время прогулки он 3 раза перешел ручей. На левом или на правом берегу находится Женя?

Решение: Женя шёл по левому берегу, прыгнул 1 раз, оказался на правом берегу, прыгнул 2 раз, оказался на левом берегу, прыгнул 3 раз, оказался на правом берегу.

Ответ: Женя находится на правом берегу.

Задача № 6.

Сколько существует трехзначных чисел, у которых каждая цифра —1, 2 или 3?

На первое место можно поставить любую из трех цифр. На второе — любую из трех цифр. Значит, первые два места можно заполнить 3 · 3 = 9 способами. В любом из этих случаев можно на третье место поставить любую из трех цифр. Поэтому всего таких чисел 9 · 3 = 27 чисел.

Ответ: 27.

Задача № 7.

Пять победителей конкурса «Кто громче крикнет» получили в награду по одинаковому количеству орехов. Трое из них сразу съели по 5 орехов и увидели, что у них вместе осталось столько орехов, сколько было выдано двум другим. Сколько всего орехов было выдано всем пятерым?

Трое съели 15 орехов. После этого у них осталось столько, сколько было выдано двум другим. А до этого у них было столько, сколько выдали троим. Значит, 15 орехов было выдано каждому из них.

15 * 5 = 75 (орехов было выдано всем пятерым победителям)

Ответ: 75 орехов было выдано всем пятерым победителям.

Занятие 4. «Ознакомление с задачами – ловушками»

Организационная деятельность учащихся : дети делятся на несколько групп, каждая группа отдельно решает нестандартные задачи, а затем решения сравнивают.

Задачи № 1.

Какое из чисел 333, 555, 666, 999 не делится на 3?

Поскольку 333=3х111, 666=3х222, 999=3*333, то многие учащиеся, отвечая на вопрос, называют число 555.

Но это неверно, так как 555=3*185. Правильный ответ: Никакое.

Задача № 2.

Тройка лошадей проскакала 15 км. Сколько км проскакала каждая лошадь?

Хочется выполнить деление 15:3 и тогда ответ: 5 км. На самом деление выполнять совсем не требуется, поскольку каждая лошадь проскакала столько же, сколько и тройка.

Задача № 3.

Шёл мужик в Москву, а навстречу ему шли 7 богомолок, у каждой из них было по мешку, а в каждом мешке – по коту. Сколько существ направлялось в Москву?

Решающий с трудом удерживается от того, чтобы сказать: «15 существ, так как 1+7+7=15», но ответ неверен, сумму находить не требуется.

Ответ: Ни сколько существ не направлялось в Москву, ведь в Москву шёл один мужик.

Задача № 4.

Два мальчика играли в шашки 2 часа. Сколько играл каждый из них? Ответ: Каждый мальчик играл в шашки 2 часа, т.к говорится, что они оба играли.

Задача № 5.

Масса петуха на двух ногах 4 кг. Какова будет масса, если петух встанет на 1 ногу?

Ответ: И на 1 ноге масса петуха будет 4 кг, т.к объём петуха не изменится.

Задача № 6.

Что тяжелее 1 кг пуха или 1 кг железа?

Многие полагают, что пуд пуха легче, поскольку железо тяжелее пуха. Но этот ответ неверен: пуд железа имеет массу – 16 кг и масса пуда пуха тоже – 16 кг.

кг- это единица измерения и она постоянна. Могут только меняться предметы, которые измеряются, будет только меняться объём предмета. Следовательно кг, это и есть кг. Естественно, что железо само по себе тяжелее, поэтому его будет меньше в объёме, а пух легче, поэтому его будет больше в объёме.

Задача № 7.

У семи братьев по одной сестре. Сколько всего детей в семье?

В семье 8 детей, т.к у 7 братьев одна и та же сестра.

Ответ: 8 детей.

Задача № 8.

Пара лошадей пробежала 40 км. Сколько пробежала каждая лошадь?

Каждая лошадь пробежала 40 км, т.к они бежали вместе.

Задача № 9.

6 котов за 6 минут съедают 6 мышей. Сколько понадобится котов, чтобы за 100 минут съесть 100 мышей?

Обычно учащиеся отвечают: «100 котов», но это неверно. Правильный ответ: «6 котов». Чтобы это понять, полезно себе представить 6 котов как единую стаю, которая за 6 минут съедает 6 мышей, а значит, в 1 минуту эта стая съедает 1 мышь. Тогда она съест 100 мышей за 100 минут. Значит количество котов остаётся 6.

Ответ: 6.

Занятие 5. «Ознакомление с задачами формально- логического аспекта»

Организационная деятельность учащихся: дети самостоятельно по очереди решали задачи у доски, разбирали решения задач с комментариями.

Задача№1.

У бабушки Лизы – внуки и поросята. Сколько ребят и сколько поросят, если на всех приходится 6 хвостов и 30 ног?

Решение:

Хвосты только у поросят. Значит, 6*4=24 ноги у поросят, 30-24=6 ног у внуков 6:2= 3 внука, 6 поросят .

Ответ: 3 внука и 6 поросят.

Задача№2.

Разгадай ребус:

Напишем очевидные цифры:

Теперь определяется первый множитель:

405 · * дает 2**5, значит * = 5, и второй множитель разгадан. Ответ: 405 · 205 = 83025.

Задача № 3.

Мама купила 4 воздушных шара: красные и голубые. Красных шаров больше, чем голубых. Сколько шаров каждого цвета купила мама?

Ответ: 3 красных шара и 1 голубой.

Задача № 4.

Разгадай ребус: 5* + **3 = **01.

Решение. Достаточно записать пример в столбик, и решение будет очевидным.

Ответ: 58 + 943 = 1001.

Занятие 6. «Ознакомление с задачами с внутренним вопросом»

Организационная деятельность учащихся: дети самостоятельно, с помощью счётных палочек решают задачи.

Задача№1.

Переложи две спички, чтобы равенство стало верным:

Ответ:

Задача № 2.

Переложи одну спичку, чтобы равенство стало верным (это можно сделать двумя способами):

Решение. Надо воспользоваться тем, что в римской нумерации XI – это 11, а IX – это 9.

Ответ: 1-й способ

2-й способ

Задача № 3.

Переложить 2 спички из числа имеющихся так, чтобы образовалась фигура, состоящая из четырех одинаковых квадратов.

Перейдем теперь к вопросу о формировании ассоциативного аспекта мышления.

Как известно, интеллект человека во многом определяется числом задействованных связей между клетками его мозга. Естественно, что для развития математического мышления необходимо устанавливать связи между фактами, понятиями, задачами и т.д. Причем устойчивость возникшей связи зависит от того, насколько самостоятельно она была открыта. “Тем, что вы были вынуждены открыть сами, можете снова воспользоваться, когда в этом возникает необходимость” (Г. Лихтенберг). Решение задач часто возникает по ассоциации с чем-то известным, подчеркну, что не по аналогии, а “по ассоциации”.

Задача № 4.

Масса 4 одинаковых яблок такая же, как масса одного грейпфрута. Масса 1-го яблока и грейпфрута равна 750 г. Найдите массу яблока.

Решение: Положим на весы вместо грейпфрута 4 яблока тогда будет 5 яблок и их масса = 750 гр. Значит 750 : 5 = 150 гр. Вес одного яблока Ответ: Масса одного яблока 150 гр.

Занятие 7. «Ознакомление с задачами – загадками»

Организационная деятельность учащихся: дети решают задачи в игровой форме.

Задача№1. Организационная деятельность учащихся: Дети по 1 человеку вставали в 4 угла.

В комнате четыре угла. В каждом углу сидит кошка. Напротив каждой кошки сидит кошка. На хвосте каждой кошки по кошке. Сколько же всего кошек в комнате?

Ответ: в комнате находится всего 4 кошки, т.к в комнате четыре угла и в каждом углу по одной кошке.

Задача№2. Организационная деятельность учащихся: дети брали ленту и отрезали кусочки.

Портной имеет кусок сукна в 16 метров, от которого он ежедневно отрезает по 2 метра. По истечении скольких дней он отрежет последний кусок?

1. день минус 2 осталось 14

2. день минус 2 осталось 12

3. день минус 2 осталось 10

4. день минут 2 осталось 8 5 день минус 2 осталось 6

1. день минус 2 осталось 4

2. день минус 2 осталось 2

Ответ: последний кусок будет отрезан по истечении 7 дней.

Задача № 3.

Сосчитай быстро: 012345678910.

Задача № 4. Организационная деятельность учащихся: с помощью макета часов, и рисунков солнца и луны, дети решали задачу.

Если в 12 часов ночи идет дождь, то можно ли надеяться, что через 120 часов будет солнечная погода?

С помощью макета часов, и рисунков солнца и луны, дети отсчитывали 24 часа. Когда было 12 ч ночи, над стрелочкой прикрепляли луну, а когда было 12 ч дня, над стрелочкой прикрепляли солнце.

Через 120 часов пройдут ровно пять суток, и опять будет ночь, так что солнца не будет.

Ответ: Нет.

Занятие 8. «Решение задач разными способами, самостоятельно» (закрепление)

В конце урока была небольшая самостоятельная, дети решали задачи для закрепления и сдавали тетради на проверку.

Задача № 1.

- За забором стоят цапли. Сколько цапель за забором?

Путем рассуждения дети приходят к выводу, что задача имеет несколько правильных ответов. Цапель может быть 4: каждая стоит на одной ноге. Может быть 2: обе стоят на двух ногах. Может быть 3: 2 стоят на одной ноге и одна на двух ногах.

Задача № 2.

Человек отвечает на вопросы только «да» или «нет» и имеет право один раз сказать неправду. После нескольких вопросов его спросили: «Ты уже соврал?», и он ответил «Да». Имеет ли он право соврать при ответе на следующие вопросы?

Может быть, он соврал при ответах на предыдущие вопросы, и на последний вопрос ответил правду. А может быть, он не врал при ответах на первые вопросы и соврал в ответе на последний вопрос. В любом случае при последующих ответах он не может врать.

Задача № 3.

У Мальвины 3 юбочки и 2 кофточки. Сколькими способами она может составить комплект из юбочки и кофточки?

Дети составят графиков для решения. Для этого на рисунке нужно соединить линиями каждую юбочку с каждой кофточкой и посчитать количество получившихся комплектов.

Рассуждали двумя способами.

Первый способ:

1)- Юбку в горошек можно одеть с кофточкой с воротничком и с кофточкой с пуговицами (проводим соответствующие линии).

• Юбку с оборкой можно также одеть с кофточкой с воротничком и кофточкой с пуговицами (проводим соответствующие линии).

• Юбку со складками можно одеть с кофточкой с воротничком и с кофточкой с пуговицами (проводим соответствующие линии).

• Получилось 6 комплектов.

Второй способ:

2) - Кофточку с пуговицами можно одеть с юбкой в горошек, с юбкой со складками и с юбкой с оборкой (проводим соответствующие линии). - Кофточку с воротничком можно одеть с юбкой в горошек, с юбкой со складками и с юбкой с оборкой (проводим соответствующие линии).

- Получилось 6 комплектов.

Аналогично математическая запись решения задачи может быть составлена двумя способами.

Каждую юбку можно одеть с 2 кофточками, то есть каждая юбка составляет с имеющимися кофточками 2 комплекта. Так как юбок 3, то таких пар комплектов будет 3:2 + 2 + 2 = 6.

Каждая кофточка составляет с имеющимися юбками 3 комплекта. Так как кофточек 2, то таких троек будет 2: 3 + 3 = 6.