Неравенство Коши и его применение во внеурочной деятельности

Этап

урока

Время

Действия учителя

Действия ученика

Орг.

3

Уточняется количество учеников в классе, записывается тема урока, учитель разъясняет план работы на весь урок.

Ученики записывают число и тему занятия.

Всестор.

пров.

знан.

3

Знаменитое неравенство великого французского математика Огюстена Луи Коши от 1821 года о связи между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел () есть неравенство

,

Подг. к усв. нов. знаний.

5

Сегодня мы с вами познакомимся с данным неравенством и решим несколько задач, которые чаще всего используются в части 2 Единого Государственного Экзамена. Начнем с самого неравенства. Вспомним, что среднее арифметическое нескольких чисел записывается, а среднее геометрическое. Об этом вы знаете из курса геометрии 8 класса. Таким образом сформулируем определение: неравенство Коши это неравенство, связывающее между собой среднее арифметическое и среднее геометрическое положительных чисел ().

Усв. и закрепл.

знан.

21

Давайте попробуем решить несколько задач на применение неравенства Коши.

Задача 1. Докажите неравенство

.

Решение. Данное неравенство можно доказать с помощью классического неравенства Коши ( ). Разложим второе слагаемое в заданном неравенстве на сумму двух слагаемых и сгруппируем слагаемые так как нам удобно:

Применим к выражению в скобке неравенство Коши

Полученному применим еще раз неравенство Коши

Таким образом, третий раз применив неравенство Коши доказали неравенство. В цепочке соотношений трижды применялось неравенство Коши для двух положительных чисел.

Задача 2. Докажите неравенство

Решение. Перенесем все в одну часть и приведем подобные слагаемые

Применим к левой части формулу квадрата разности

Каждое из слагаемых полученного выражения неотрицательно, это доказывает справедливость требуемого неравенства. Равенство достигается лишь в том случае, когда . Неравенство доказано.

Задача 3. Решите уравнение

Решение. Область определения неизвестного в данном уравнении есть промежуток . На этом промежутке правую часть уравнения оценим снизу, используя неравенство Коши для чисел:

Заметим, равенство в произведенной оценке достигается тогда и только тогда, когда

Таким образом, . Причем, равенство в этом отношении достигается только при . Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень

Замечание. В приведенном решении оценку

можно получить по средствам применения обобщенного неравенства Коши:

Задача 4. Найдите наименьшее значение функции

Решение. Разобьем свободный член на сумму 4 и 1 и представим в виде

Применим неравенство Коши для двух взаимообратных чисел, тогда:

Прибавим к обеим частям неравенства свободный член 4 и получаем, что – наименьшее значение функции, которое достигается только при . Следовательно,

Рефл.

3

Итак, надеюсь, вы наглядно увидели, что применение неравенства Коши к решению некоторых задач во много раз упрощает их решение. Как правило, задачи, решаемые с помощью неравенства Коши, имеют несколько решений.

Инф. о д.з.

2

Еще раз детально разберите решение сегодняшних задач и постарайтесь найти подобные задачи в КИМах ЕГЭ.