Not integer in triangles.

Тема: Существует ли треугольник с целочисленными сторонами, медианами и площадью? (Взаимообразность треугольника и полукруга).

Автор: Мустафаев Рустэм Эйвасочвич, 02.03.1968 г.

Аннотация: в теме, на основе суммарного углового равенства, сумма углов треугольника равна 180°, – с углом полукруга, тоже 180 °, произведен анализ возможности целостности указанных параметров треугольника…Показано, что каждому треугольнику соответствует определенный полукруг такой же площади; на основе произвольного полукруга лишь линейкой и циркулем построен равный по площади треугольник.

Ключевые слова: равносторонний; равнобедренный; дуги; окружностей; целочисленность; точки; пересечения; ∆АВС; медианы; πR; l круга; остаток.

Решение:

Если предположить какой треугольник может удовлетворять, соответствовать условиям задачи, равенствам целым значениям длин и площади, то, вероятней всего, это могло бы быть у равностороннего треугольника… Построим равносторонний тр-к, ∆АВС; |АВ| = |ВС| = |АС| = 8 см… Построим |AC|, из точек А и С построим дуги двух пересекающихся окружностей с радиусом |AC| = 8 см. Точка В является пересечением дуг. Соединим точки В с А и С, получим ∆АВС, – равносторонний. Значит, |АВ| = |ВС| = |АС| = 8 см, – условие целочисленности сторон треугольника выполняется. Построим из вершин ∆АВС медианы к противоположным сторонам, (делят их пополам), – |CK|; |AL|; |BM|…Для этого из точек А и В образуем циркулем две равные пересекающиеся дуги и через точки их пересечения образуем ), точка К будет сединой |АВ|, отрезки |АК| = |ВК| есть половиной сторон ∆АВС…Отрезок |АК| = |BL| = |AM| отложим на двух других сторонах ∆АВС, образуем |AL| и |BM|, – медианы к сторонам ∆АВС, к |ВС| и |АС|; |AL| ⋂ |BM| ⋂ |KC| = 0 (общая точка пересечения медиан)…Рассмотрим, могут ли медианы быть целочисленными…S∆АВС = |AC|*|BM|, (площадь равна половине произведения |AC| на высоту |BM|; = = = 90°; высота – перпендикуляр к основанию). Определим площадь ∆АВС. |АС| = 8 см… Определим |ВМ|; По теореме Пифагора |BM| = = = = ≈ 6,9282032302 ≈ 7 (см);

Вывод: Медианы в ∆АВС, также в равнобедренных ∆А0С; ∆А0В; ∆В0С, образуются с остатком, близким, (ближе в приближении) к целому значению. Соответственно, исходя из формулы, и площади треугольников образуются с остатком…Попробуем ответить на вопрос, – почему медианы равностороннего треугольника, равнобедренных тр-ков, (|0M| = |0K| = |0L|), выполняющие роль высот, – образуются с остатком; и соответственно, – площади так же с остатком…Рассмотрим корень вопроса, первооснову…

Известно, что сумма углов любого тр-ка есть 180 °…Угол круга окружности есть 360°, т.е. в «угловом смысле» тр-к можно рассматривать как «трансформированный полукруг», основание которого, – прямой отрезок (хорда), вместо двух боковых сторон, – дуга, длина которой составляет половину длины круга, т.е. l круга = πR; Значение π ≈ 3,14159265358979323846…(математическая постоянная, равная отношению длины окружности к её диаметру)…Число «π» имеет точку Фейнмана, – последовательность из шести девяток, что дает предположение о его рациональности. При таком значении π, с длинным остатком, найти «R» для образования целого l круга, практически невозможно…Возьмем три произвольных значения, проверим:

l = 7; 11; 15; R = ; R₁ ≈ 7:3,142 ≈ 2,228; R₂ ≈ 11:3,142 ≈ 3,5; R₃ ≈ 15:3,142 ≈ 4,774.

В полукруге аналогом медианы, высоты, – есть R = |0C|; |0C| ⊥ |AB|; + = …Значения длины дуги полукруга, – 7; 11; 15 можно поделить на целые длины, но при этом высота. медиана, – всегда будет не целым числом, и площадь полукруга также с остатком: S круга = ; πR² образуется с остатком, который уменьшается вдвое…

Предположим, что R, – целое число. Возьмем произвольные значения: 9;10; 12. Тогда l₁ = πR₁ = 3,142*9 = 28,278; l ₂ = 3,142*10 = 31,42; l ₃ = 3,142*12 = 37,704…Видно, что длина дуги полукруга во всех случаях образована с остатком… Значит, поделить дугу на две целых длины невозможно, как и образовать из нее две целых стороны тр-ка, – можно получить либо две не целочисленные, либо одну целую, другую с остатком…(при целом R ⇄ h∆).

Вывод: Вышеуказанное доказывает зависимость полукруге и треугольнике, как «модифицированном полукруге», (полукруг, – «сглаженный, деформированный тр-к») – от некоторой функции «сгибания рёбер треугольника; выпрямления дуги полукруга с образованием выраженного угла и вершины рёбер получаемого тр-ка».

Выразим это так:

Полукруг и треугольник, – взаимопроизводные фигуры, «деформация», смещение их граней происходит в плоскости (системе координат Х; 0; Y), – если речь не идет о сгибе под углом к поверхности фигуры. Тогда смещение происходит в пространстве, в координатах (X; Y; Ƶ)…В любом полукруге l круга = πR, R – радиус соответствует высоте, медиане производного тр-ка, возможно:

1. Целое значение радиуса (y тр-ка – h (высота) медиана) при не целой (с остатком) длине полукруга, (соответствует либо двум не целочисленным рёбрам тр-ка, либо одно ребро целое, другое с остатком; основание тр-ка может быть произвольным, – как целым, так и нет).

2. При целом значении l круга, – рёбра тр-ка могут быть образованы в целых значениях. Но радиус полукруга при этом обязательно с остатком, – и, соответственно, длина образуемых медиан к образуемым рёбрам, высота к основанию тр-ка, – тоже не целые числа…Т.к. установлена зависимость, – при целом основании, сторонах тр-ка, – высота, медианы, опущенные на стороны, – всегда числа с остатком, – и площадь тр-ка равна: S∆ = a*h (а – основание; h – высота;), – площадь тр-ка всегда не целое число, если и очень приближенное до целого…

Подтвердим взаимообразование фигур, – имея произвольный полукруг, лишь циркулем и линейкой без делений, – построим равный ему по площади тр-к…Задача напоминает решение квадратуры круга, – построение квадрата, равного по площади произвольному кругу…

Разделим полукруг с R = |AO| = |OB|, центр точки О на две равные дуги. Для этого из точки А и В образуем две равные по радиусу дуги окружности, найдем точки их пересечения, соединим их, получим |A₁; B₁|, делящий пополам в точке К: + = ;

Для получения треугольника, равного по площади полукругу, основание у них |AB| – общее, –

надо определить «h» – высоту треугольника, перпендикуляр к основанию а = |AB|…Все действия для построения искомого треугольника будут делаться исключительно циркулем и линейкой без делений, для подтверждения геометрической аналогичности фигур. S круга = l *R; S∆ = a*h; l – длина дуги полукруга; R – радиус полукруга; а – основание тр-ка, равна диаметру полукруга, 2R; Значит, необходимо найти h – высоту тр-ка, отрезок, от вершины, точки C, перпендикулярно опущенный на |AB|. Соответственно, надо определить местоположение точки С. Составим равенство, учитывая, что площади полукруга и производного из него тр-ка равны l R = ah;

l R = ah; Если а = 2R, то l R = 2Rh; h = l R:2R = l /2; l = πR; Тогда h = = 1,57R.

Значение высоты, h = |AC| = 1,57R. Найдем его на диаметре |AB|. Разделим методом пересекающихся дуг и построении отрезка от точек их пересечения радиус пополам, для получения |0M|. Затем разделим так же |0M| пополам. Получим точку N; |MN| = |0M| = |MB| = 0,25R (|0M| = );

Тогда |AN| = 1,75R; Надо определить расстояние 1,57R; Если |MN| также, методом построения пересеченных равных дуг и отрезков, делящих пополам, на четыре равных части, – разделить, – будет определена 0,25R:4 = 0,0625R – значение. Прибавим его к |AM|, получим |AL|, – искомая высота треугольника, равная перпендикуляру |0C|. Циркулем и линейкой без делений построим |0C|, соединим точки А;В;С, – получим ∆АВС, равный по площади заданному полукругу.

Вывод: возможность геометрического простого построения равнозначных (по площади), взаимопересекающихся полукруга и треугольника доказывают взаимообратимость данных фигур и связь параметрических числовых расчетов. Фигуры с равным суммарным угловым значением взаимопревращаемы и взаимовычисляемы, что подтверждает, в частности, «квадратура круга», сумма внутренних углов квадрата, как и круга, 360°…Это дает возможность проанализировать различные геометрические параметры фигур.

Примечание:

Погрешность построения равного по площади треугольника, учитывая, что рёбра равны 1,57R, а при определении их длины способом построения дуг и отрезков, соединяющих точки пересечения дуг, делящих радиус, – получено значение: 1,5R + 0,0625R = 1,5625R, – составляет:

-Абсолютная: |1,5625 -1,57| = 0,375;

-Относительная: 0,375*100% = 3,75%.

Предположительно можно считать, что появление дополнительных точек, (в данном случае вершина треугольника «С»), – может вызывать некоторую «потерю длины» при взаимообразовании фигур…Происходит «условное сжатие» отрезков в местах новых точек, а вокруг таких точек появляются «зоны напряжения», наиболее подтвержденные деформации, – области риска при больших нагрузках…сходя из решения данной темы следует, что константы А, образующей на плоскости вершины треугольника площадью «1», – не существует.

Литература:

1. Зорич В.А. «Математический анализ».