О некоторых приёмах развития творческих способностей детей при изучении квадратных уравнений

Учитель математики МОУ "Кужмарская средняя

общеобразовательная школа" Яркеева Вера Михайловна

О некоторых приёмах развития творческих способностей

детей при изучении квадратных уравнений

Уже несколько лет работаю над проблемой развития творческих способностей учащихся средствами математики. Тема «Квадратные уравнения» предоставляет учителю широкие возможности как для повышения интереса детей к предмету, так и для развития их креативности. На изучение данной темы предусматривается выделить (по учебнику «Алгебра – 8», Ю.Н.Макарычев и др.) 22 часа. После ознакомления учащихся с различными видами квадратных уравнений, изучения таких способов их решения, как выделением полного квадрата двучлена, по формуле корней квадратного уравнения и по теореме Виета, обязательно включаю в календарно-тематический план проведение урока по изучению способов решения с использованием свойств коэффициентов квадратного уравнения. Изучение новых для учащихся способов решения позволяет очень быстро и рационально решать многие виды квадратных уравнений и создаёт основу для экономии времени на уроках в старшей ступени школы. Тем более, что в 9-11 классах квадратные уравнения находят широкое применение при решении текстовых и геометрических задач, тригонометрических, логарифмических и показательных уравнений и неравенств, в том числе при подготовке к государственной (итоговой) аттестации в форме ЕГЭ.

Ниже приводится план-конспект урока алгебры в 8 классе общеобразовательной школы, посвящённого изучению различных способов решения квадратных уравнений.

Тема урока: Решение квадратных уравнений различными способами

Задачи урока:

1. Закрепить изученные способы решения квадратных уравнений и открыть новые для учащихся способы. Подготовиться к контрольной работе по данной теме.

2. Провести диагностику уровня освоения учащимися различных способов реше-ния квадратных уравнений.

3. Развивать творческие способности учащихся, умения искать и находить различ-ные пути решения задач, интереса к предмету.

4. Развитие навыков сотрудничества при работе в небольших группах.

Оборудование к уроку:

1. Компьютер.

2. Мультимедийный проектор с экраном.

3. Электронная презентация к уроку «Решение квадратных уравнений различными способами».

4. Карточки-задания, 8 штук: в двух вариантах по 4 экз.

Ход урока

1. Организационая часть.

Приветствие, выяснение отсутствующих на уроке, установление психологического контакта с классом.

1. Сообщение темы урока, обсуждение и формулирование задач урока.

На экране первый слайд электронной презентации к уроку. Дети записывают в те-традях дату и тему урока. Затем переходят к обсуждению и формулированию задач урока. Ребята отмечают, что на сегодняшнем уроке должны закрепить уже изученные способы решения квадратных уравнений и изучить новые. Учитель добавляет, что в конце урока будет проведена небольшая диагностическая работа на оценку, а на следующем уроке – контрольная работа.

1. Актуализация знаний учащихся.

1. Проверка домашнего задания. Учитель выясняет, с какими трудностями встре-тились учащиеся при решении квадратных уравнений с помощью теоремы Виета и другими способами. При необходимости проецирует на экран решения наиболее сложных заданий.

2. Проверка теоретических знаний (на экран проецируется вопрос, а затем при необходимости - правильный ответ):

а) Какое уравнение называется квадратным?

б) Какие виды квадратных уравнений вы знаете?

в) Какие способы решения квадратных уравнений вы знаете?

3. На экране вы видите 10 квадратных уравнений:

3.1. Найдите среди них неполные, полные, приведённые, неприведённые. 3.2. Назовите, какими способами можно решить эти уравнения, и решите их устно, за исключением трёх последних.

Оказывается, что корни и последних трёх квадратных уравнений можно определить устно, как говорится за шесть секунд, и даже не применяя формулы, но надо знать небольшие секреты. К концу урока, разгадав эти секреты, и мы научимся решать их устно.

1. Гимнастика для глаз.

2. Решение полных квадратных уравнений.

А) Для этого мы разделимся на три творческие группы. Первая и вторая (по четыре человека в каждой) получите карточки-задания и будете разгадывать секреты решения квадратных уравнений, используя свойства их коэффициентов. Пока эти мудрецы будут думать, мы с третьей группой поработаем вместе. Ребята, вы с детства помните, что в сказках часто фигурирует цифра три: три медведя, три брата и др., а также часто действия повторяются три раза. Обратите внимание на экран. Вы видите на нём три квадратных уравнения. К доске вызываются три богатыря-математика (учитель приглашает к доске троих учащихся для решения квадратных уравнений, данных на слайде). А остальные богатыри будут решать в своих тетрадях. (Содержание карточек № 1 и № 2 даны в приложениях, а на экране представлены следующие уравнения).

1. (х + 4)(2х – 1) = х(3х + 11)

2. – х(4х + 1) = (х + 2)(х – 2)

3. х² - х ₌ 2х - 4

3 5

Вызванные к доске ученики решают уравнения на доске, а остальные ребята – в тетрадях. Затем проводится разбор особенностей их решения (первое уравнение сводится к решению квадратного уравнения, которое рациональнее решить выделением полного квадрата двучлена, второе – с помощью формулы корней квадратного уравнения, а третье уравнение не имеет корней, так как его дискриминант меньше нуля (D

Б) Доклады творческих групп.

1-ая группа. Мы решили три квадратных уравнения (проецируются на экран) и заметили, что один из корней каждого уравнения х₁ = 1, а второй корень равен частному от деления свободного члена на первый коэффициент, то есть х₂ = с / а.

а) 2х² + 5х - 7 = 0 х₁ = 1; х₂ = - 7 / 2

б) 7х² - 3х - 4 = 0 х₁ = 1; х₂ = - 4 / 7

в) 5х² - 9х + 4 = 0 х₁ = 1; х₂ = 4 / 5

Для всех ли уравнений выполняется эта закономерность? Нет! Мы обратили внимание на сумму коэффициентов исходных квадратных уравнений. Оказалось, что а + в + с = 0. Проверив нашу догадку на примере других квадратных уравнений подобного типа, пришли к окончательному выводу, что:

если сумма коэффициентов полного квадратного уравнения равна нулю (а + в + с = 0), то обязательно х₁ = 1, х₂ = с / а.

Мы считаем, что применение нашего открытия поможет сэкономить время и рационально решить квадратные уравнения такого типа.

2-ая группа. Аналогично вторая группа учащихся пришла к выводу, позволяющему найти корни квадратного уравнения в частном случае, когда его коэффициенты имеют свойство а - в + с = 0. Применение и этого открытия поможет сэкономить время и рационально решить квадратные уравнения такого типа. Итак,

если коэффициенты полного квадратного уравнения имеют такое свойство, что а - в + с = 0, то обязательно х₁ = - 1, х₂ = - с / а.

Всем учащимся предлагается записать эти выводы в тетрадях.

А теперь вернёмся к нашим десяти уравнениям, которые в начале урока были на экране (возвращаемся к нужному слайду). Сможете ли теперь назвать корни уравнений з, и, к?

Не правда ли, хороший секрет?

1. Дополнительное задание: решить текстовую задачу с помощью квадратного уравнения.

Задача. Огородный участок, имеющий форму прямоугольника, одна сторона которого на 10 м больше другой, требуется обнести изгородью. Определите длину изгороди, если известно, что площадь участка равна 120 м².

(Задача сводится к нахождению корней полученного из условия задачи квадратного уравнения с помощью теоремы Виета или формулы корней).

1. Диагностическая работа.

1. На экране представлены задания в двух вариантах, по пять квадратных уравнений в каждом. Используя все изученные способы их решения, учащимся требуется решить все пять уравнений всего за 6 минут в своих тетрадях. Напоминаю, надо найти рациональные способы решения.

Затем детям предлагается запомнить или записать на черновиках ответы и сдать тетради.

1. А теперь внимание на экран! На экране – правильные ответы.

Поднимите руки те, кто правильно решил все пять уравнений. Поздравляю, у вас «пятёрки». А кто решил правильно четыре уравнения? Молодцы! «Четвёрка» - это тоже успех! У кого три правильных ответа? Тоже неплохо.

1. Домашнее задание. Представлено на слайде презентации, проецируется на экран. Домашнее задание трёхуровневое. Дети сами выбирают уровень сложности задания: А, В или С. Задания первого уровня сложности являются стандартными, соответствуют требованиям государственных стандартов. Задания второго уровня сложности – более сложные и требуют от детей более высокого уровня их математи-ческой подготовки. Задания третьего уровня сложности являются творческими.

А). Решить квадратные уравнения: №№ 634(а,б), 641(д,е,ж).

В). Решить квадратные уравнения №№ 642(а,б,в), 645; решить задачу № 653.

С). Решить квадратные уравнения №№ 660(б,в); решить задачу № 658. Решить следующую задачу на доказательство: доказать, что если сумма коэффициентов квадратного уравнения а + в + с = 0, то обязательно х₁ = 1, х₂ = с / а, если а - в + с = 0, то х₁ = - 1, х₂ = - с / а. Используйте теорему Виета.

К А Р Т О Ч К А – З А Д А Н И Е № 1

Т е м а: Решение полных квадратных уравнений

(вида ах² + вх + с = 0)

1. Решите на черновике квадратные уравнения и запишите напротив каждого из них на этой карточке значения корней:

а) 2х² + 5х - 7 = 0 х₁ = ; х₂ =

б) 7х² - 3х - 4 = 0 х₁ = ; х₂ =

в) 5х² - 9х + 4 = 0 х₁ = ; х₂ =

2. Обратите внимание на сумму коэффициентов исходных квадратных урав-нений а + в + с = ?

3. Попробуйте определить закономерность, которая позволяет найти корни такого типа квадратных уравнений (см. п.2), не решая их. Сформулируйте этот вывод: х₁ = ; х₂ = .

4. Проверьте Ваш вывод на примере уравнения 3х² - 8х + 5 = 0, для чего подставьте предполагаемые значения корней х₁ = ; х₂ = в исходное квадратное уравнение. Сформулируйте окончательный вывод.

5. Составьте сами и запишите на этой карточке два квадратных уравнения данного типа:

а)

б)

При возможности проверьте Ваш вывод.

6. Вы молодцы! Совершили важное открытие, позволяющее найти корни квадратного уравнения в частном случае, когда сумма его коэффициентов равна нулю. Применение Вашего открытия поможет сэкономить время и рационально решить квадратные уравнения такого типа.

Теперь подготовьте, пожалуйста, сообщение о Вашем НОУ-ХАУ всем одноклассникам.

Благодарю за сотрудничество.

К А Р Т О Ч К А – З А Д А Н И Е № 2

Т е м а: Решение полных квадратных уравнений

(вида ах² + вх + с = 0)

1. Решите на черновике квадратные уравнения и запишите напротив каждого из них на этой карточке значения корней:

а) 4х² + 3х - 1 = 0 х₁ = ; х₂ =

б) 6х² + 11х + 5= 0 х₁ = ; х₂ =

в) 5х² + 7х + 2 = 0 х₁ = ; х₂ =

2. Обратите внимание на сумму коэффициентов исходных квадратных урав-нений а - в + с = ?

3. Попробуйте определить закономерность, которая позволяет найти корни такого типа квадратных уравнений (см. п.2), не решая их. Сформулируйте этот вывод: х₁ = ; х₂ = .

4. Проверьте Ваш вывод на примере уравнения 3х² + 8х + 5 = 0, для чего подставьте предполагаемые значения корней х₁ = ; х₂ = в исходное квадратное уравнение. Сформулируйте окончательный вывод.

5. Составьте сами и запишите на этой карточке два квадратных уравнения данного типа:

а)

б)

При возможности проверьте Ваш вывод.

6. Вы молодцы! Совершили важное открытие, позволяющее найти корни квадратного уравнения в частном случае, когда его коэффициенты имеют свойство а - в + с равно нулю. Применение Вашего открытия поможет сэкономить время и рационально решить квадратные уравнения такого типа.

Теперь подготовьте, пожалуйста, сообщение о Вашем НОУ-ХАУ всем одноклассникам.

Благодарю за сотрудничество.