Объем шарового сегмента,шарового слоя и шарового сектора

Объем шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора

На уроке мы рассмотрим части шара: шаровой сегмент, шаровой слой и шаровой сектор

Определение. Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью.

Секущая плоскость разбивает шар на два шаровых сегмента.

Круг, получающийся в сечении, называется основанием каждого из этих сегментов, а длины отрезков диаметра, перпендикулярного к секущей плоскости, называются высотами сегмента.

На экране высоты сегментов обозначены

Теорема. Объем шарового сегмента равен

где R – радиус шара;

h – высота сегмента.

Доказательство.

Применим уже известную нам интегральную формулу для вычисления объемов тел.

Проведем ось Ox перпендикулярно к плоскости основания.

Тогда произвольное сечение, проведенное перпендикулярно к оси Ox, будет кругом, а его площадь S выражается формулой:

, при R- hxR.

Эту формулу мы получили при выводе формулы объема шара.

Вычислив соответствующий определенный интеграл, получаем:

.

Итак,

Ч. т. д.

Теорема. Объем шарового сегмента равен

где R – радиус шара;

h– высота сегмента.

Доказательство.

Проведем ось Oxк плоскости основания.

Тогда произвольное сечение, проведенное Ox, будет кругом, а его площадь S выражается формулой:

, при R- hxR.

Вычислим соответствующий интеграл:

.

Итак,

Ч. т. д.

Определение. Шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными сечениями.

Расстояние h между сечениями называется высотой слоя, а сами сечения – основаниями слоя.

Объем шарового слоя можно вычислить как разность объемов двух шаровых сегментов.

Например, объем шарового слоя, изображенного на экране, равен разности объемов шаровых сегментов с высотами AC и BC.

Определение. Шаровым сектором называется тело, полученное вращением кругового сектора с углом меньшим 90⁰, вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих сектор радиусов.

Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса.

Если радиус шара равен R, а высота шарового сегмента равна h, то объем V шарового сектора вычисляется по формуле:

Переходим к решению задач.

Задача 1

Диаметр шара разделен на три равные части и через точки деления проведены плоскости, перпендикулярные к диаметру. Найдите объем получившегося шарового слоя, если радиус шара равен R.

Дано:

Шаровой слой.

R – радиус шара

D –диаметр, точки C, D делят диаметр на три равные части:

AC = CD = DC

Нужно найти:

Задача 1

Диаметр шара разделен на три равные части и через точки деления проведены плоскости, перпендикулярные к диаметру. Найдите объем получившегося шарового слоя, если радиус шара равен R.

Дано:

Шаровой слой

R – радиус шара

AB–диаметр,

AC = CD = DC

Найти :

81

Решение:

Объем шарового слоя можно найти как разность объемов двух шаровых сегментов, с высотами AD и AC.

Обозначим высоты сегментов через

На чертеже отрезок AB – диаметр шара и он равен двум радиусам, высота первого сегмента h1 — отрезок AD, высота второго h2 — отрезок AC.

Так как по условию задачи, точки C и D делят диаметр шара AB на три равные части (AC = СD = DB), то

Общая формула для нахождения объема шарового сегмента:

Найдем объем большего сегмента:

Найдем объем меньшего сегмента:

Теперь мы можем вычислить объем шарового слоя, вычислив их разность:

Ответ:

Решение.

Обозначим высоты сегментов через

На чертеже AB – диаметр шара, AB = 2R,

.

Ответ:

Задача 2

Радиус основания шарового сегмента 8 см, а его высота – 4 см.

Найти объем сегмента.

Дано:

Шаровой сегмент.

Радиус основания r=8 см.

Высота h = 4 см.

Нужно найти объем шарового сегмента V.

Задача2.

Радиус основания шарового сегмента 8 см, а его высота – 4 см.

Найти объем сегмента.

Дано:

Шаровой сегмент

r= 8 см

h = 4 см

Найти: V_сегм.

Решение.

Формула для вычисления объема шарового сегмента:

где R – радиус шара;

h – высота сегмента.

1. Найдем радиус шара R.

Проведем ось Ox перпендикулярно основанию шарового сектора. Она пройдет через центр основания (свойство высоты, опущенной из центра шара на секущую плоскость) и будет перпендикулярна его радиусу ().

Рассмотрим осевое сечение.

Так как OA = OB = R, то OC = R –AC = R – 4

– прямоугольный (.

По теореме Пифагора:

После подстановки значений получим уравнение с одной переменной:

Решая это уравнение, найдем R.

8R= 80;

R = 10

1. Теперь можно вычислить объем

Ответ:

Решение.

Формула для вычисления объема шарового сегмента:

где R – радиус шара;

h– высота сегмента.

1. Найдем радиус шара R.

Проведем ось Ox перпендикулярно основанию шарового сектора.

Рассмотрим осевое сечение.

Так как OA =OB = R, то OC = R –AC = R – 4

– прямоугольный (.

По теореме Пифагора

.

Подставив значения, получим уравнение:

Решая его, найдем R.

8R = 80;

R = 10

1. Вычисляем объем

Ответ:

Задача 3.

Найдите объем шарового сектора, если радиус окружности основания соответствующего шарового сегмента равен 60 см, а радиус шара равен 75 см.

Дано:

Шаровой сектор.

r = 60 см

R = 75 см

Найти:

Решение.

Формула для нахождения объема шарового сектора:

,

где R – радиус шара;

h – высота шарового сегмента.

Радиус шара нам известен по условию задачи.

Не известно значение высоты h.

Для нахождения h проведем ось Ox перпендикулярно основанию шарового сектора и рассмотрим осевое сечение.

На чертеже AO = OB = R, поэтому h = CB = R – CO.

Отрезок CO можно найти из треугольника ACO.

Так как ось Ox перпендикулярна основанию сегмента, то она перпендикулярна его радиусу (.

Треугольник AOC – прямоугольный.

По теореме Пифагора:

= 45см

Теперь можно найти h:

h = R – CO=75 – 45=30 см

Осталось вычислить объем:

Ответ: 112 500 πсм³.

Задача 3.

Найдите объем шарового сектора, если радиус окружности основания соответствующего шарового сегмента равен 60 см, а радиус шара равен 75 см.

Дано: шаровой сектор

r= 60 см

R = 75 см

Найти:

Решение.

Формула для нахождения объема шарового сектора:

,

где R – радиус шара;

h – высота шарового сегмента.

Для нахождения h проведем ось Ox перпендикулярно основанию шарового сектора и рассмотрим осевое сечение.

Так как AO = OB = R, то h = CB = R – CO.

ΔACO– прямоугольный ():

=45см

Находим h:

h = R –CO=75 – 45=30 см

Вычисляем объем:

Ответ: 112 500 πсм³.