Обобщение опыта работы по теме: «Стохастическая линия в средней школе».

Обобщение опыта работы по теме:

«Стохастическая линия в средней школе».

В настоящее время теория вероятностей завоевала очень серьезное место в науке и прикладной деятельности.

В нашу жизнь властно вошли выборы и референдумы, банковские кредиты и страховые полисы, таблицы занятости и диаграммы социологических опросов. Общество все глубже начинает изучать себя и стремиться сделать прогнозы о себе самом и о явлениях природы, которые требуют представлений о вероятности.

Исследования психологов показывают, что человек изначально плохо приспособлен к осознанию и верной интерпретации вероятностно-статистической информации. Работы психологов утверждают, что наиболее благоприятен для формирования вероятностных представлений возраст 10–13 лет (это 5–7-е классы). Тем более что в среднем звене школы заметно падение интереса к процессу обучения в целом и к математике в частности. А вероятностно-статистическая линия или как ее стали называть стохастическая линия, изучение которой невозможно без опоры на процессы, наблюдаемые в окружающем мире, на реальный жизненный опыт учащихся, способна содействовать возвращению интереса к самому предмету «математика», пропаганде его значимости и универсальности.

Мы должны научить жить наших детей в вероятностной ситуации, а это, значит, извлекать, анализировать и обрабатывать информацию, принимать обоснованные решения в разнообразных ситуациях со случайными исходами.

Изучение элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в основной школе стало обязательным после утверждения федерального компонента государственных образовательных стандартов. Но в связи с тем, что внедрение в практику работы школы этого материала требует времени и нуждается в накоплении методического опыта, Министерство образования РФ рекомендовало образовательным учреждениям начать преподавать курс «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» в основной школе еще в 2003/ 2004 учебном году.

Внедрение вероятностно-статистической линии в базовый школьный курс математики породило немало проблем. К его появлению оказались не готовы буквально все - от учителей математики до авторов учебников. Удивительно, но, обладая одной из наиболее известных и признанных во всем мире академических школ теории вероятностей, мы до сих пор не имеем ни общей концепции преподавания этого раздела математики в школе, ни достаточного количества учебных пособий для школьников, содержащих соответствующий материал.

Как показывает анализ учебников и учебных пособий, содержащих материал по данной теме, существуют проблемы как в вопросах изложения этого достаточно сложного материала в школьном курсе, так и в определении содержания, необходимого для успешного усвоения и понимания основ теории вероятностей и статистики и его соответствия содержанию и требованиям государственного стандарта по математике.

Содержание материала, обязательно изучаемого по данной теме в курсе основной школы, должно включать:

• Понятие и примеры случайных событий;

• Понятия частоты события и вероятности;

• Равновозможные события и подсчет их вероятности;

• Представление о геометрической вероятности;

• Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков;

• Средние результаты измерений;

• Понятие о статистическом выводе на основе выборки.

Согласно требованиям стандарта по математике после изучения данной темы учащиеся должны уметь:

• Находить вероятности случайных событий в простейших случаях;

• Находить частоту событий, используя собственные наблюдения и готовые статистические данные;

• Вычислять средние значения результатов измерений;

• Сравнивать шансы наступления случайных событий, оценки вероятности случайного события в практических ситуациях, сопоставление модели с реальной ситуацией;

• Понимать статистические рассуждения;

• Анализировать реальные числовые данные, представленные в виде диаграмм, графиков, таблиц.

Реализация любой темы в школьном курсе сталкивается с рядом проблем. Одна из них — проблема содержания материала: что именно и в каких количествах изучать в школе. Так как школьный курс ограничен временными рамками, то приходится выбирать некоторый минимум, достаточный для достижения поставленных целей обучения по данной линии и математике вообще.

Опираясь на государственные стандарты образования, анализ учебной и методической литературы, можно выделить следующие моменты в содержании и последовательности изложения материала по данной линии.

Во-первых, необходимо изучать этот материал на протяжении всего курса средней школы. Курс можно разбить на несколько этапов (5–6, 7–8-е классы, 9-й класс). На каждом этапе формируются одни и те же виды деятельности, но на разных уровнях и различными средствами. На каждом этапе материал усложняется, дополняется, отрабатываются усвоенные ранее и формируются новые умения и навыки.

Важным элементом стохастической линии является работа с данными: их сбор, обработка, представление, анализ, практические выводы. Всем этим занимается статистика.

На первом (подготовительном) этапе обучения необходимо обучить учащихся не только работе с готовыми данными, но и научить их самостоятельно собирать информацию и представлять ее в различных формах. Одним из самых распространенных способов представления информации являются таблицы. Учащиеся часто сталкиваются с ними — это расписание уроков, страница классного журнала, программа телепередач, турнирные таблицы и т.п.

Для представления различных данных также удобно использовать диаграммы.

Одним из направлений стохастической линии является теория вероятностей, и одной из важных задач на первом этапе является формирование понятия вероятность случайного события.

Необходимо познакомить учащихся с понятием «случайное событие» и сформировать у них представление о том, какое событие называется достоверным, какое невозможным и какие события называются равновероятными. Все эти понятия нужно вводить, опираясь на понятные примеры, и просить школьников самих приводить такие примеры. Учитель должен все время фиксировать внимание учащихся на случайных событиях в быту, в природе и технике.

Параллельно с вероятностной линией должна изучаться и комбинаторика. Оптимальный вариант, если работа по формированию комбинаторного мышления начинается уже с начальных классов.

Начинать обучение комбинаторике целесообразно с решения простых комбинаторных задач методом непосредственного перебора. Операция перебора раскрывает идею комбинирования, служит основой формирования комбинаторных понятий и хорошей подготовкой к выводу комбинаторных формул и закономерностей.

Основными комбинаторными понятиями являются сочетания, перестановки и размещения. Но сами термины вводить не обязательно, главное, чтобы учащийся осознавал, наборы какого типа требуется составить в данной задаче (важен ли порядок и возможны ли повторения).

После того как учащиеся научатся составлять наборы из элементов заданного множества по заданному свойству, на первый план выходит задача по подсчету количества возможных наборов. Такие комбинаторные задачи решаются с помощью рассуждений, раскрывая принцип умножения. Хорошей наглядной иллюстрацией правила умножения является дерево возможных вариантов. Очень важно показать его применение при решении комбинаторных задач.

Первое знакомство со статистикой происходит при изучении основных статистических характеристик, при их нахождении и использовании для анализа и практических выводов. При изучении основных статистических характеристик важно понимать их практическую значимость, уметь использовать их для анализа имеющейся информации и делать правильные выводы на их основе.

Статистические исследования являются завершающим фрагментом вероятностно-ста­тистической линии курса. Здесь рассматриваются доступные учащимся примеры комплексных статистических исследований, в ходе которых используются полученные ранее знания. Также вводятся некоторые новые понятия. Изучение этого материала направлено на формирование умения понимать и интерпретировать статистические результаты.

Представляю методику изучения стохастической линии в основной школе по учебному комплекту А.Г. Мордкович и др. по классам.

5 класс: Достоверные, случайные и невозможные события. Равновероятностные события; дерево вариантов.

6 класс: Правило умножения для комбинаторных задач; понятие «Вероятность», подсчёт вероятности.

7 класс:

Занятие 1.Понятие о науке «Комбинаторика». Цели занятия:

• дать понятие науки «Комбинаторика»;

• познакомить учащихся с историей данной науки;

• привести примеры нескольких комбинаторных задач с решениями для привития интереса учащимся к данной науке.

Занятие 2.Правило произведения. Цели занятия:

• на простейших комбинаторных задачах вспомнить дерево вариантов и правило произведения в комбинаторике;

• познакомить учащихся с понятием «факториал»;

• закрепить на задачах пройденный материал.

Занятие 3.Размещения. Цели занятия:

• проверить усвоение правила произведения;

• сформулировать определение размещений с повторениями и без повторений;

• закрепить на задачах число размещений с повторениями и без повторений.

Занятие 4.Перестановки. Цели занятия:

• проверить усвоение темы прошлого занятия через проверку домашнего задания;

• познакомить учащихся с перестановками без повторений и с повторениями;

• закрепить новую тему при решении задач.

Занятие 5.Сочетания. Цели занятия:

• дать понятие сочетаний с повторениями и без повторений;

• закрепить тему при решении задач.

Занятие 6.Решение задач. Цель занятия:

закрепить навыки решения комбинаторных задач простейшего типа.

Занятие 7.Решение задач. Цель занятия:

закрепление навыков решения простейших комбинаторных задач.

Занятие 8.Зачет. Цель занятия:

контроль за усвоением материала, выявление уровня усвоения.

8 класс:

Занятие 1.История развития теории вероятностей. Предмет теории вероятностей.

Цель занятия:

• повторить основные элементы комбинаторики

• рассмотреть этапы развития теории вероятностей

Занятие 2.События достоверные, невозможные и случайные.

Цель занятия:

• разобрать основополагающее понятия теории вероятности;

• разобрать типы событий;

• рассмотреть примеры, поясняющие те или иные события.

Занятие3.Классическое определение вероятности. Комбинаторные методы решения задач.

Цель занятия:

• разобрать понятие классической вероятности;

• рассмотреть свойства вероятности.

Занятие 4.Статистическое определение вероятности. Комбинаторные методы решения задач.

Занятие 5.Геометрическое определение вероятности. Комбинаторные методы решения задач.

Занятие6.Вероятность суммы несовместных событий. Вероятность противоположного события

Занятие 7.Решение задач.

Занятие 8.Зачётное занятие.

9 класс:

Занятие 1.Введение в статистику. Место статистики в изучении окружающего мира.

Занятие 2.Сбор и группировка статистических данных.

Занятие 3.Среднее арифметическое. Размах. Мода.

Занятие 4.Медиана.

Занятие 5.Понятие выборки генеральной совокупности.

Занятие 6.Наглядное представление статистических данных.

Занятие 7.Наглядное представление статистических данных.

Занятие 8.Творческий отчёт. Исследовательская работа.